【数学】群论与Polya计数

【数学】群论与Polya计数

本该写作Pólya，这里为了省事就记为Polya了。

模板是这样一道题：

给定一个 $n$ 个点，$n$ 条边的环，有 $n$ 种颜色，给每个顶点染色，问有多少种本质不同的染色方案，答案对 ${10}^9+7$ 取模

注意本题的本质不同，定义为：只需要不能通过旋转与别的染色方案相同。

群：集合$G$和$G$上的一个二元运算 · 构成一个群，当且仅当其满足：

• 封闭性：$\mathrm{\forall }f,g\in G,f·g\in G$。

• 结合律：$\mathrm{\forall }f,g,h\in G,(f·g)·h=f·(g·h)$。

• 单位元：$\mathrm{\exists }e\in G,\mathrm{\forall }g\in G,g·e=e·g=g$。

• 逆元：$\mathrm{\forall }f\in G,\mathrm{\exists }g\in G,f·g=g·f=e$。

例如，整数和加法就可以构成一个群。

我们定义一个置换形如：$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& ..& n\\ p_1& p_2& p_3& ..& p_n\end{array}\right)$

其中$p$是$1\to n$的一个排列。

置换群：元素都是置换的群。

（对于以下行为，读者先不用急着了解这些东西要干什么，先理解好，后面就推出来了。）

对于一个置换，如果我们将$i$向$p_i$，那么我们发现我们得到了一个由一堆环组成的一个图。我们称这个环为轨道。

对于一个染色方案$c$，我们称这个染色方案的稳定子为$\{g|g\in G,g(c)=c\}$，即一些对这个染色置换后这个染色不变的置换，例如

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$

对于染色$(1,0,0)$来说就是稳定子的一个元素。

轨道-稳定子定理：

$$|G^x|\times |G(x)|=|G|$$

即一个染色轨道大小乘上稳定子个数等于置换群的大小。

Burnside引理：

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$

即轨道个数等于置换不动点的平均值，可以将”本质不同“问题转化为不动点问题。

不动点：对于一个置换$g$，染色$c$的个数使$g(c)=c$。

Polya引理：

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}colo{r}^{c(g)}$$

其中$c(g)$是一个置换的环个数，将$Burnside$中的不动点转化到染色上。