【数据结构】吉司机线段树

【数据结构】吉司机线段树(Segment Tree Beats)

吉司机线段树，是由杭州学军中学的吉如一在2016年国集论文当中提出的，解决了区间最值操作和区间历史最值问题。

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的数列 $A$ ，同时定义一个辅助数组 $B$ ， $B$ 开始与 $A$ 完全相同。接下来进行了 $m$ 次操作，操作有五种类型，按以下格式给出：

1 l r k：对于所有的 $i \in [l, r]$ ，将 $A_{i}$ 加上 $k$ （ $k$ 可以为负数）。
2 l r v：对于所有的 $i \in [l, r]$ ，将 $A_{i}$ 变成 $min (A_{i}, v)$ 。
3 l r：求 $\sum_{i = l}^{r} A_{i}$ 。
4 l r：对于所有的 $i \in [l, r]$ ，求 $A_{i}$ 的最大值。
5 l r：对于所有的 $i \in [l, r]$ ，求 $B_{i}$ 的最大值。

在每一次操作后，我们都进行一次更新，让 $B_{i} \leftarrow max (B_{i}, A_{i})$ 。

算法描述

对于1、3、4操作，是最基本的线段树区间加，区间求和、求max的操作，详见P3372 【模板】线段树 1 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)，我们先来解决操作2，我们发现想要动态探测哪些值大于 $v$ ，并进行min操作十分艰难，因为每个大于 $v$ 的数不一样，所以每个大于 $v$ 的数要减去的数就不一样，很难统计。

那就让区间内大于 $v$ 的数只有一个好了。

对于一个区间，我们记录一个最大值 $m a x n$ ，和一个严格次大值 $s e c$ （只有一个值时为 $- i n f$ ），对于区间取 $m i n$ 操作，我们分为以下三种情况讨论：

1. $k \geq m a x n$ ， $k$ 在这个区间之内不能更新任何一个值，直接 $r e t u r n$

2. $m a x n > k > s e c$ ， $k$ 只能更新 $m a x n$ ，让 $s u m - = m a x n * c n t$ (区间最大值个数) $, m a x n = k$ ，因为要下传操作，所以让 $t a g 2$ (更新 $m a x n$ 的 $t a g$ )减去( $m a x n - k$ )

3. $k \leq s e c$ ,分别向 $l c$ 和 $r c$ 两边递归更新答案。

这样我们就完成了对最小值的更新，同时向两边递归，会不会影响复杂度？事实上这个操作的复杂度仍然是 $O (l o g n)$ 的，证明如下：
（选自吉如一2016国家集训队论文）

简单理解一下，就是考虑记树的势能为所有自己的子树最大值不等于父亲的子树最大值的点个数。考虑每次 min 操作向下递归两边的时候，一定会花费 $O (l o g n)$ 的代价找到最下面的点，然后更新，由于新值 $k \leq s e c$ ，所以路径上起码一个点最大值不等于父亲，所以可以消掉一个点。所以我们可以耗费 $O (l o g n)$ 的代价消掉一个点，开始这样的点个数是不超过 $n$ 个的。所以复杂度是正确的。

对于区间加，这不改变超过 $O (l o g n)$ 个点，所以复杂度是 $O (l o g^{2} n)$ 的。

代码：

inline void modify_min(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{
	if(k >= t[pos].maxn) return;
	if(L <= l && r <= R && k > t[pos].sec)
	{
		t[pos].sum -= 1ll * t[pos].cnt * (t[pos].maxn - k);
		t[pos].tag2 -= t[pos].maxn - k;
		t[pos].maxn = k;
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_min(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_min(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}

现在来看操作5，我们发现，因为修改只有加，一个位置的历史最大值，其实是这个位置原来的值（不一定是原始值，可以看作是pushdown之前的值）加上pushdown之前出现过最大的tag，我们发现在上面的 $m o d i f y_m i n$ 操作中最大值会单独改变，所以区间中的最大值与其他数改变的量（也就是tag）是不一样的，所以我们记录 $t a g 1$ , $t a g 2$ 代表其他数，最大值的改变量，用 $t a g 3$ , $t a g 4$ 表示 $t a g 1$ , $t a g 2$ 在pushdown之前的最大值，这样我们在pushdown的时候就有：

h i s t o r y_m a x_{p o s} = m a x {h i s t o r y_m a x_{p o s}, m a x_{p o s} + t a g 4}

每次更新 $k 1$ 和 $k 3$ 的时候，都相应的更新 $k 2$ 和 $k 4$

其实最难的部分在更新标记上，这里我们先讲上传：

和、最大值、历史最大值都可以左右区间直接合并更新，但是对于次大值和最大值个数，我们分类讨论：

1. $m a x n_{l c} == m a x n_{r c}$ : 这个时候次大值应当等于两儿子的次大值取 $m a x$ ，而最大值计数等于两边相加。

2. $m a x n_{l c} > m a x n_{r c}$ : 次大值等于左边的次大值和右边的最大值取 $m a x$ ，最大值计数等于左边的 $c n t$

3. $m a x n_{l c} < m a x n_{r c}$ : 次大值等于左边的最大值和右边的次大值取 $m a x$ ，最大值计数等于右边的 $c n t$

这样就完成了上传

inline void pushup(int pos)
{
	t[pos].sum = t[pos << 1].sum + t[pos << 1 | 1].sum;
	t[pos].maxn = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	t[pos].hismax = max(t[pos << 1].hismax,t[pos << 1 | 1].hismax);
	if(t[pos << 1].maxn == t[pos << 1 | 1].maxn) 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt + t[pos << 1 | 1].cnt;
	else if(t[pos << 1].maxn > t[pos << 1 | 1].maxn)
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].maxn),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt;
	else 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1 | 1].cnt;
}

对于下传，我们也需要分类讨论：
如果全局最大值在左边，那么左边的最大值要按照最大值的方式来更新（即将 $t a g 2$ 和 $t a g 4$ 传下去），否则就将左边不管是不是左边的最大值，都用 $t a g 1$ 和 $t a g 3$ 来更新。

如果全局最大值在右边，同理。

注意这两个条件可以同时成立，不要写else

inline void pushdown(int pos,int l,int r)
{
	int mid = (l + r) >> 1;
	int mx = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	if(mx == t[pos << 1].maxn) change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	if(mx == t[pos << 1 | 1].maxn) change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	t[pos].tag1 = 0;
	t[pos].tag2 = 0;
	t[pos].tag3 = 0;
	t[pos].tag4 = 0;
}
inline void change(int pos,int l,int r,int k1,int k2,int k3,int k4)
{
	t[pos].sum += 1ll * (r - l + 1 - t[pos].cnt) * k1 + 1ll * t[pos].cnt * k2;
	t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn + k4);
	t[pos].maxn += k2;
	if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k1;
	t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2 + k4);
	t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1 + k3);
	t[pos].tag1 += k1;
	t[pos].tag2 += k2;
}

注意 $s e c$ 一行，如果这个节点没有次大值（就是整个区间只有一个值），那么就不能更新值为 $- i n f$ 的次大值。

区间加时注意要更新全部变量：

inline void modify_add(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{ 
	if(L <= l && r <= R)
	{
		t[pos].sum += 1ll * k * (r - l + 1 - t[pos].cnt) + 1ll * k * t[pos].cnt;
		t[pos].maxn += k;
		t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn);
		if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k;
		t[pos].tag1 += k;t[pos].tag2 += k;
		t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1);
		t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2); 
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_add(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_add(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}

对最大值，和，历史最大值的查询正常查询就好，注意在建树的时候给次大值附上 $- i n f$ 的初值

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5,inf = 2e9;
struct Node{
	long long sum;
	int maxn,sec,cnt,hismax,tag1,tag2,tag3,tag4;
}t[N * 4];
int n,m;
inline void pushup(int pos)
{
	t[pos].sum = t[pos << 1].sum + t[pos << 1 | 1].sum;
	t[pos].maxn = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	t[pos].hismax = max(t[pos << 1].hismax,t[pos << 1 | 1].hismax);
	if(t[pos << 1].maxn == t[pos << 1 | 1].maxn) 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt + t[pos << 1 | 1].cnt;
	else if(t[pos << 1].maxn > t[pos << 1 | 1].maxn)
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].sec,t[pos << 1 | 1].maxn),t[pos].cnt = t[pos << 1].cnt;
	else 
		t[pos].sec = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].sec),t[pos].cnt = t[pos << 1 | 1].cnt;
}
inline void change(int pos,int l,int r,int k1,int k2,int k3,int k4)
{
	t[pos].sum += 1ll * (r - l + 1 - t[pos].cnt) * k1 + 1ll * t[pos].cnt * k2;
	t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn + k4);
	t[pos].maxn += k2;
	if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k1;
	t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2 + k4);
	t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1 + k3);
	t[pos].tag1 += k1;
	t[pos].tag2 += k2;
}
inline void pushdown(int pos,int l,int r)
{
	int mid = (l + r) >> 1;
	int mx = max(t[pos << 1].maxn,t[pos << 1 | 1].maxn);
	if(mx == t[pos << 1].maxn) change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1,l,mid,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	if(mx == t[pos << 1 | 1].maxn) change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag2,t[pos].tag3,t[pos].tag4);
	else change(pos << 1 | 1,mid + 1,r,t[pos].tag1,t[pos].tag1,t[pos].tag3,t[pos].tag3);
	t[pos].tag1 = 0;
	t[pos].tag2 = 0;
	t[pos].tag3 = 0;
	t[pos].tag4 = 0;
}
inline void build(int l,int r,int pos)
{
	if(l == r)
	{
		cin>>t[pos].sum;
		t[pos].maxn = t[pos].sum;
		t[pos].hismax = t[pos].maxn;
		t[pos].sec = -inf;
		t[pos].tag1 = t[pos].tag2 = t[pos].tag3 = t[pos].tag4 = 0;
		t[pos].cnt = 1;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(l,mid,pos << 1);
	build(mid + 1,r,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}
inline void modify_add(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{ 
	if(L <= l && r <= R)
	{
		t[pos].sum += 1ll * k * (r - l + 1 - t[pos].cnt) + 1ll * k * t[pos].cnt;
		t[pos].maxn += k;
		t[pos].hismax = max(t[pos].hismax,t[pos].maxn);
		if(t[pos].sec != -inf) t[pos].sec += k;
		t[pos].tag1 += k;t[pos].tag2 += k;
		t[pos].tag3 = max(t[pos].tag3,t[pos].tag1);
		t[pos].tag4 = max(t[pos].tag4,t[pos].tag2); 
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_add(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_add(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}
inline void modify_min(int l,int r,int L,int R,int k,int pos)
{
	if(k >= t[pos].maxn) return;
	if(L <= l && r <= R && k > t[pos].sec)
	{
		t[pos].sum -= 1ll * t[pos].cnt * (t[pos].maxn - k);
		t[pos].tag2 -= t[pos].maxn - k;
		t[pos].maxn = k;
		return;
	}
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) modify_min(l,mid,L,R,k,pos << 1);
	if(R > mid) modify_min(mid + 1,r,L,R,k,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
}
inline long long query_sum(int l,int r,int L,int R,int pos)
{
	if(L <= l && r <= R) return t[pos].sum;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1;
	long long ret = 0;
	if(L <= mid) ret += query_sum(l,mid,L,R,pos << 1);
	if(R > mid) ret += query_sum(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1);
	pushup(pos);
	return ret;
}
inline int query_max(int l,int r,int L,int R,int pos)
{
	if(L <= l && r <= R) return t[pos].maxn;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1,ret = -inf;
	if(L <= mid) ret = max(ret,query_max(l,mid,L,R,pos << 1));
	if(R > mid) ret = max(ret,query_max(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1));
	pushup(pos);
	return ret;
}
inline int query_hismax(int l,int r,int L,int R,int pos)
{
	if(L <= l && r <= R) return t[pos].hismax;
	pushdown(pos,l,r);
	int mid = (l + r) >> 1,ret = -inf;
	if(L <= mid) ret = max(ret,query_hismax(l,mid,L,R,pos << 1));
	if(R > mid) ret = max(ret,query_hismax(mid + 1,r,L,R,pos << 1 | 1));
	pushup(pos);
	return ret;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	build(1,n,1);
	int op,l,r,k;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		cin>>op>>l>>r;
		switch(op)
		{
			case 1:
				cin>>k;
				modify_add(1,n,l,r,k,1);
				break;
			case 2:
				cin>>k;
				modify_min(1,n,l,r,k,1);
				break;
			case 3:
				cout<<query_sum(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
			case 4:
				cout<<query_max(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
			case 5:
				cout<<query_hismax(1,n,l,r,1)<<endl;
				break;
		}
	}
	return 0;
}

"所有的真理，都是符合客观事实的，更是顺着逻辑的。"

posted @ 2023-05-31 20:50 The_Last_Candy 阅读(1366) 评论(0) 编辑收藏举报

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