2023.3.28 【图论】KM算法 | 二分图最大权完美匹配

2023.3.28 【模板】KM算法 | 二分图最大权完美匹配

题目概述

给定一张二分图，左右部均有 $n$ 个点，共有 $m$ 条带权边，且保证有完美匹配。

求一种完美匹配的方案，使得最终匹配边的边权之和最大。

数据规模与约定

• 对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $1\le n\le 500$，$1\le m\le n^2$，$-19980731\le h\le 19980731$ 。且保证没有重边。

我们看到，在一般情况下，这道题可以用普通的最大费用最大流解决，但是dinic的上限复杂度是$O(n^{2}m)$的，在这道题中毒瘤出题人就会将其卡成$O(n^4)$，难以通过这题，所以我们要用一种新的算法——KM算法

km算法（Kuhn－Munkres算法），是一种在二分图上求解最大权完美匹配的算法，用邻接矩阵存图即可。相比费用流较高的复杂度，km算法有着更为优秀的效率，但局限性在于只能做匹配，而不像费用流那样灵活可变。

前置芝士：匈牙利算法

我们记一个点的顶标为$lx[i]$(左部点)，$ly[i]$(右部点)，满足性质：对于任意一条边(u,v),$lx[u]+ly[v]>=e[u][v]$，当取等号时，我们把这条边叫做相等边。

所有点和所有相等边所组成的子图称为相等子图。

核心算法：贪心地将増广所需的边中，边权最大的那些边变成相等边，即逐渐扩大相等子图。

核心性质：扩大相等子图至其刚好有完美匹配时，该匹配即为原图的最大权完美匹配（很好理解，因为扩大相等子图的过程是贪心的）

因为所有点都要被匹配，所以最终的顶标和满足$\mathrm{\Sigma }lx[u]+\mathrm{\Sigma }ly[v]>=\mathrm{\Sigma }{e}_i$

$e_i$即匹配选中的边

所以当$\mathrm{\Sigma }{e}_i=\mathrm{\Sigma }lx[u]+\mathrm{\Sigma }ly[v]$时，边权和最大，同时我们尽量让顶标和最大，就能得到答案，这是基于贪心思想得出的。

参考Luogu上第一篇题解的定义，设：

$lx[i]$左部点的顶标

$ly[i]$右部点的顶标

$vx[i]$左部点遍历标记

$vy[i]$右部点遍历标记

$px[i]$左部点匹配

$px[i]$右部点匹配

$pre[i]$对于一个右部点，当前匹配到的左部点(暂未确定)

$slack[i]$对于指向右部点i的所有边，$min(lx[u]+ly[i]-e[u][i])$的值，即松弛量（初始化为inf）

为什么$slack[i]$如此定义呢？

可以简单地理解为，当无法匹配的时候，我们要适当修改顶标，让其匹配，修改量就应该是所有点可以修改的量中最小的，而为了满足顶标的定义，即$lx[u]+ly[i]-e[u][i]>=0$，我们取$lx[u]+ly[i]-e[u][i]$中最小的，这样就算是最小的顶标，减去后仍然满足$lx+ly-e==0$，满足以上条件。

所以当$slack[i]==0$时，代表i进入了一个相等子图。

为了满足要求，初始的左部点顶标$lx[i]$设为与i连接的边中最大的边权，右部点$ly[i]$全部设为0。

算法流程

首先，对于每个点，我们都尝试用匈牙利算法来将其匹配一次，为了减小时间复杂度，我们使用bfs搜索（详见Luogu P6577 题解第一篇）。队列里的点即试图匹配的点，我们将当前待匹配点s推进去。

对于当前队头x，我们试图在它上面扩展相等子图，顺便匹配。对于一个右部点i，如果它在当前轮没有被搜索过，即$vy[i]==0$（不代表它没有匹配），我们尝试与其匹配，并且扩展相等子图，即当且仅当$lx[x]+ly[i]-e[u][i]<slack[i]$时进行更新（因为我们要尽量使$slack[i]==0$,才能添加进相等子图），将$pre[i]$记为x，如果$slack[i]==0$的话，就将i与x正式匹配，即记$vy[i]=1$，因为队列中待匹配的点是由s引申出来的，所以如果$py[i]==0$，即i没有被匹配过，就意味着找到了一条增广路，将增广路上的点的$px$和$py$

更新。然后退出当前轮匹配，不然就让x与i匹配，让原来匹配的左部点($py[i]$)尝试匹配，推进队列。

以上过程更新结束过后，代表没有找到一个增广路，需要修改顶标，记录一个变量

$d=Mi{n}_{vy[i]==0}slack[i]$，我们要将一个暂未匹配的右部点，通过修改顶标，将其变成相等子图中的点。

找好d以后，对于每一条边(u,v)：

1.若$vx[u]==1\mathrm{\&}vy[i]==1$：两个点都已经是相等子图中的点，$slack$不变

2.若$vx[u]==0\mathrm{\&}vy[i]==1$：$slack[i]+=d$，因为不知道这条边是不是相等子图     中的边，如果是，则会拉出相等子图，但是$vy[i]==1$，下次增广不会用到这条边，如果不是，加后仍然不是，所以没有影响
    3.若$vx[u]==1\mathrm{\&}vy[i]==0$，代表这条边不是相等边，但是修改后可能使其成为相等子图中的边，所以$slack[i]-=d$

4.若$vx[u]==0\mathrm{\&}vy[i]==0$，没有遍历到，$slack[i]$不变

以上四条可以巧妙地用以下四行解决

for(int i = 1;i <= n;i++)
{
	if(vx[i]) lx[i] -= d;
	if(vy[i]) ly[i] += d; else slack[i] -= d;
}

更新以后，再扩大一遍相等子图即可。

所有的扩大相等子图操作都在$v[i]==0$的情况下操作，因为$v[i]==1$时代表这个右部点已经加入了相等子图。

因为每扩大一次相等子图就要找一次在相等子图上找一次增广路，所以以上操作是循环的，通过函数实现，找到增广路并更新后直接return即可。

关于更新操作，我们在之前记了一个$pre[i]$数组，这样就可以记下当前搜索状态，用bfs替代dfs，更新时沿着pre数组倒回去，每次更新一个右部点(x)和一个左部点($pre[x]$)即可。

完结撒花

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 505,inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll e[N][N],vx[N],vy[N],px[N],py[N],lx[N],ly[N],slack[N],d,pre[N];
int n,m;
queue <int> q;
inline void upd(int x)
{
	int t;
	while(x)
	{
		t = px[pre[x]];
		px[pre[x]] = x;
		py[x] = pre[x];
		x = t;
	}
}
inline void bfs(int s)
{
	memset(vx,0,sizeof(vx));
	memset(vy,0,sizeof(vy));
	memset(slack,0x3f,sizeof(slack));
	while(!q.empty()) q.pop();
	q.push(s);
	while(1)
	{
		while(!q.empty())
		{
			int x = q.front();
			q.pop();
			vx[x] = 1;
			for(int i = 1;i <= n;i++)//右部点 
			{
				if(!vy[i])
				{
					if(lx[x] + ly[i] - e[x][i] < slack[i])
					{
						slack[i] = lx[x] + ly[i] - e[x][i];
						pre[i] = x;//pre[i]代表“可能成为增广路的预选值” 
						if(slack[i] == 0)
						{
							vy[i] = 1;
							if(!py[i])
							{
								upd(i);
								return;
							}
							else q.push(py[i]);
						}
					}
				}
			}
		}	
		d = inf;
		for(int i = 1;i <= n;i++) 
			if(!vy[i])
				d = min(d,slack[i]);
		for(int i = 1;i <= n;i++)
		{
			if(vx[i]) lx[i] -= d;
			if(vy[i]) ly[i] += d;
			else slack[i] -= d;
		}
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			if(!vy[i])
				if(slack[i] == 0)
				{
					vy[i] = 1;
					if(!py[i])
					{
						upd(i);
						return;
					}
					else q.push(py[i]);
				}
	}
}
int main()
{
	ll x,y,z;
	cin>>n>>m;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= n;j++)	
			e[i][j] = -inf;
	memset(ly,0,sizeof(ly));
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		cin>>x>>y>>z;
		e[x][y] = z;
		lx[x] = max(lx[x],e[x][y]);
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++) bfs(i);//左部点 
	ll ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++) ans += e[py[i]][i];
	cout<<ans<<endl;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cout<<py[i]<<" ";
	return 0;
}