2023.3.24 【字符串】KMP 算法

题目描述

有这样一个问题：

给定 \(n\) 个模式串 \(s_i\) 和一个文本串 \(t\)，求有多少个不同的模式串在文本串里出现过。
两个模式串不同当且仅当他们编号不同。

题面多简单qwq

如果我们简化一下这个问题，模式串和文本串都只有一个，那么我们就可以用一个10行就能写完的算法——KMP字符串匹配来解决问题。

我们在匹配之前，先将这个模式串“自匹配”，设数组\(next[i]\)表示模式串前\(i\)个字符能进行自匹配的最大长度，这里我们定义“自匹配”：

如果字符串s的前k个字符等于后k个字符，且k是满足条件的最大值，那么我们就说k是s自匹配的最大长度。

从1到n(长度)循环，如果\(s[next[i - 1] + 1] == s[i]\)，那么\(next[i]\)就可以由\(next[i - 1]\)延续而来，由于\(next[i - 1]\)是最大值，\(next[i]\)一定是最大值(匹配长度最多增加一位)

如果不等于，说明当前匹配长度\(next[i - 1]\)无法延伸到\(next[i]\)，我们称这种情况叫做失配，失配后我们需要找到备选答案，即满足对于前\(i - 1\)个字符（第i个尚未匹配），有前k个字符等于后k个字符，但是k是小于\(next[i - 1]\)的（因为\(next[i - 1]\)不可取），然后再检验\(s[k + 1]\)是否等于\(s[i]\)。我们要想办法不重不漏、从大到小地选择这样的k值。

我们观察到一个性质，由于前i - 1个字符中，\(next[i - 1]\)已经是前后匹配的最大值，所以对于\(k < next[i - 1]\)，前\(next[i - 1]\)这一段的后k个字符一定等于前\(i - 1\)个的后k个字符，也就是说，\(s[next[i - 1] - k + 1] \to s[next[i - 1]] == s[i - k] \to s[i - 1]\)

然而我们又要\(s[1] \to s[k] == s[i - k] \to s[i - 1]\)

所以\(s[1] \to s[k] == s[next[i - 1] - k + 1] \to s[next[i - 1]]\)

注意到，前\(next[i - 1]\)个字符中，前k个等于后k个，又因为我们要k除\(next[i - 1]\)外的最大值，所以根据定义 ，我们要的k就是\(next[next[i - 1]]\)

如图：

完成自匹配后，其实文本串和模式串匹配是一样的，记录当前\(t[i - 1]\)的最大匹配长度k，i每次增加是检验\(t[i]\)与\(s[k + 1]\)是否相等，如果不相等，就将\(k = next[k]\)再匹配即可，当\(k == s.length\)时，就是s在t中的一次出现。

Code

for(int i = 2,j = 0;i <= n;i++)
{
	while(j > 0 && s[i] != s[j + 1]) j = next[j];
	if(s[i] == s[j + 1]) j++;
	next[i] = j;
}
for(int i = 1,j = 0;i <= m;i++)
{
	while(j > 0 && (t[i] != s[j + 1] || j == n)) j = next[j];
	if(t[i] == s[j + 1]) j++;
	f[i] = j;
	if(j == n)
		otp.push(i - j + 1);
}

（此处s和t都从1开始）

这时向前看，我们就会发现\(next\)数组多了一种意义：当前模式串的前i个匹配后，如果失配了，接下来应该匹配模式串的前几个。相当于为我们指明了当前状态失配后应该转移到哪里去。这个在后来的AC自动机，PAM和SAM中都是十分普遍的概念。我们后来叫它fail数组，即“失配数组”。

KMP算法的复杂度是O(n + m)的，因为它的两个循环分别次数为n 和 m ，对于当前记录的长度k（即程序里的j），每次只会向后+1,而减少的量不会多于增加的量，所以最多移动2n个单位，复杂度也是\(O(n)\)的。