同余式
同余式
在同余的基础上，引入同余式的概念，这里将要介绍如何求解一次同余式，以及如何求解同余式方程组。
求解同余式
一次同余式的求解思路：
\(\mathrm{Thm. 1}\)：设\(m\)是一个正整数，整数\(a\)满足\(m\nmid a\)，则同余式\(ax\equiv 1\mod m\)有解的充要条件是\((a,m)=1\)，并且解唯一。
证明.
由贝祖等式可知，存在唯一的整数\(s,t\)满足\(sa+tm=(a,m)=1\)，而贝祖等式中的整数\(s,t\)可以通过广义欧几里得除法算出。
\(\mathrm{Remark}\): 最效率的求逆元的方法是通过广义欧几里得除法。
如果有逆元，即\(a\cdot a'\equiv 1 \mod m\)，那么求解\(ax\equiv b\mod m\)也很简单了，即\(x\equiv a'b\mod m\)，其中\(a'\)为\(a\)的逆元。
\(\mathrm{Thm. 2}\)：设\(m\)是一个正整数，整数\(a\)满足\(m\nmid a\)，则同余式\(ax\equiv b\mod m\)有解的充要条件是\((a,m)|b\)，并且其解为：
\(x\equiv \frac{b}{(a,m)}\cdot ((\frac{a}{(a,m)})^{-1}(\mod \frac{m}{(a,m)})) + t\cdot\frac{m}{(a,m)}\mod m\)
\(\mathcal{Proof}\):
必要性.
当\(ax\equiv b\mod m\)有解\(x_0\)时，意味着\(\exist y_0\in\Z\)，满足\(ax_0 - y_0m = b\)
同时，\((a,m) \mid a, (a,m) \mid m\)
\(\because \forall a\)，若满足\(a\mid b, a\mid c\)，则\(a \mid sa+tb, \forall s,t\in\Z\)
\(\therefore (a,m) \mid ax_0 - y_0m = b\)
充分性.
若\((a,m)\mid b\)，则\(\frac{b}{(a,m)}\in\Z\)
考虑如下同余式：
\(\frac{a}{(a,m)} x\equiv 1\mod \frac{m}{(a,m)}\)
由算术基本定理可得，\((\frac{a}{(a,m)}, \frac{m}{(a,m)}) = 1\)
根据\(\mathrm{Thm. 1}\)，则能得到上述同余式的解\(x_0\)
则同余式：
\(\frac{a}{(a,m)}x\equiv \frac{b}{(a,m)}\mod \frac{m}{(a,m)}\)
的解为\(x_1=x_0\cdot\frac{b}{(a,m)}\mod \frac{m}{(a,m)}\)，即：
\(\frac{a}{(a,m)}\cdot x_1=\frac{b}{(a,m)} + t\cdot\frac{m}{(a,m)}, t\in\Z\)
那么显然有：\(ax_1\equiv b\mod m\)
\(\mathrm{Remark}\): 同余式 \(ax\equiv b\mod m\)，相当于是\((a,m)=1, ax\equiv b\mod m\)同余式的基础上，\(k\in\Z, (ax)\cdot k\equiv b\cdot k\mod (m\cdot k)\)
所以，可以将\(ax\equiv b\mod m\)的求解问题归约到求解同余式\((a,m)=1, ax\equiv 1\mod m\)问题上。
中国剩余定理
\(\mathrm{Chinese Remainder Theorem}\)：设\(m_1,m_2,\dots,m_k\)是\(k\)个两两互素的正整数，则对任意的整数\(b_1,b_2,\dots, b_k\)同余式组：
\(\begin{cases}x\equiv b_1\mod m_1\\\vdots\\x\equiv b_k\mod m_k\end{cases}\)
一定有解，且解唯一，令：\(m=m_1\cdot m_2\cdots m_k\)
\(M_i=\frac{m}{m_i}\)
\(M_i'\cdot M_i\equiv 1\mod m_i\)
则上述同余式组的解可以表示为：
\(x\equiv b_1\cdot M_1\cdot M_1' + b_2\cdot M_2\cdot M_2' + \cdots + b_k\cdot M_k\cdot M_k'\mod m\)
也就是说，上述同余式有解的充要条件是\(m_1, m_2, \dots, m_k\)两两互素。
\(\mathcal{Proof}\):
已知\((m_i, m_j)=1, i\ne j\)，且\(m=m_1\cdot m_2\cdots m_k\)，而
\(M_i=\frac{m}{m_i}=m_1\cdot m_2\cdots m_{i-1}\cdot m_{i+1}\cdots m_k\)
所以有\((m_i, M_i)=1\)，即一组与\(m_i\)互素的数的乘积仍然与\(m_i\)互素
对于满足\(M_i'\cdot M_i\equiv 1\mod m_i\)的整数\(M_i'\)，可进行如下构造：
\(x\equiv b_1\cdot M_1'\cdot M_1+b_2\cdot M_2'\cdot M_2 + \cdots b_k\cdot M_k\cdot M_k'\mod m\)
将其代入到上述同余式中的任意式子：
\(b_1\cdot M_1'\cdot M_1+b_2\cdot M_2'\cdot M_2 + \cdots b_k\cdot M_k\cdot M_k' \equiv b_i\mod m_i\)
因为\(m_i | M_j, i\ne j\)，因此上述同余式转换为：
\(0+0+\cdots +b_i\cdot M_i\cdot M_i'+0+\cdots+0\equiv b_i\mod m_i\)
而\(M_i\cdot M_i'\equiv 1\mod m_i\)
所以上述构造显然是成立的，并且唯一性显然成立。
\(\mathrm{Example}\): 取自《孙子算经》：“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
\(\begin{cases}x\equiv 2\mod 3\\x\equiv 3\mod 5\\x\equiv 2\mod 7\end{cases}\)
则\(m=3\cdot 5\cdot 7=105\)
\(M_1=35, M_2=21, M_3=15\)，算出对应的逆元\(M_1'=2, M_2'=1, M_3'=1\)，构造同余式解：
\(x=2\cdot 70 + 3\cdot 21 + 2\cdot 15 = 233 \equiv 23\mod 105\)
环上中国剩余定理
也就是中国剩余定理在环论中的延伸。
在环论中，环\(R\)与其理想\(I\)构成的商集\(R/I\)也能构成一个环，这个环称为商环。
理想\(I\)满足，\(\forall a\in R, aI\in I, Ia\in I\)
构造理想的方式通常是取\(n\in R, I=nR=\{na | \forall a\in R\}\)
环上中国剩余定理，对于环\(R\)，其中理想\(I\)满足\(I=I_1\cdot I_2\cdots I_k\)，并且\(I_i\)两两互素，则根据中国剩余定理能够如下的映射：
\(s:R/I\to R/I_1\times R/I_2\times \cdots \times R/I_k\)
\(s(a): a\mapsto a\mod I_1, a\mod I_2, \dots, a\mod I_k\)
该映射是同构映射：同态，\(s(ab) = s(a)s(b)\)；满射，\(s^{-1}(b_1, b_2, \dots, b_k)=b\in R/I\)。而构造该映射的逆映射\(s^{-1}\)的方法可以参考中国剩余定理进行构造。
这在多项式环上的运算会有用。
可以用环\(\Z_m\)理解中国剩余定理:
\(m=m_1\cdot m_2\cdots m_k\)，其中\((m_i,m_j)=1, i\ne j\)，则可构造同构映射：
\(s:\Z_m\to \Z_{m_1}\times \Z_{m_2}\times\cdots\times \Z_{m_k}\)
\(s(a): a\mapsto (a\mod m_1, a\mod m_2,\dots, a\mod m_k)\)
同构映射的逆映射\(s^{-1}\)的构造，实际就是中国剩余定理。
