域论基本概念

域

定义：如果K对加法构成一个交换群，并且K*=K$\setminus${0}也对乘法构成一个交换群，那么称K是一个域

定理：如果域的特征不为零，则其特征必为素数

证明.
设域K的特征为 p，p $\ne$ 0。
1.如果p为合数，则存在$1<p_1,p_2<p$，使得$p=p_1\cdot p_2$，则
$(p_11_k)(p_21_k)=(p_1\cdot p_2)1_k=0$
而$p_11_k$和$p_21_k$都是域K中的一个元素，并且K中没有零因子
所以有$p_11_k=0$或$p_21_k=0$，但这与p是K的特征的前提矛盾
所以p不能是合数
2.如果p=1，那么就有$1_k=0_k$，这与K是域的前提矛盾
综上，p必然是一个素数

定理：设域F的特征为p，则对任意的a$\in$F，a $\ne$ 0，m$\in$Z，则ma=0的充要条件是：p | m

证明.
必要性显然成立.
充分性：
令m=np+r，n$\in$Z，0$\le$r<p，则
$ma=(ma)1_F=(m1_F)a=0$
$\because a\ne 0$且 F 中没有零因子
$\therefore m1_F=0$
$(np+r)1_F=(np)1_F+r1_F=n(p1_F)+r1_F=0+r1_F=0$
$r1_F=0$
这与 p 是F的特征的前提矛盾

定理：有限域的阶只能是素数幂，并且对任何一个素数幂整数Q都有一个阶为Q的有限域。

定理：两个阶相同的域必然同构

定理：设$F_q$是一个q阶的有限域，则$F_q\setminus${0}对于乘法构成一个循环群

证明.
$\because F_q$是一个域
$\therefore F_q\setminus${0}对于乘法也构成一个阶为q-1有限群
令F' = $F_q\setminus${0}，则$\forall a\in F', aF' = F'$
则$\prod_{i\in aF'} i=\prod_{j\in F'} j$
$a^{q-1}\prod_{j\in aF'}j=\prod_{j\in aF'}j$
$a^{q-1}=1$
所以$F_q\setminus${0}的阶为q-1
设元素a的阶为ord(a)，则ord(a) | q-1
令F(d)表示F'中阶为d的元素的个数
则$\Sigma_{d\mid (q-1)} F(d)=q-1$
将$x^d=1$的解表示成集合{$a,a^1,\dots,a^{d-1}$}
而在集合{$a,a^1,\dots,a^{d-1}$}中，由定理$ord(a^n)=\frac{ord(a)}{(n,ord(a))}=\frac{d}{(n,d)}$可知，阶为d的元素个数为$\varphi(d)$
如果F'中不存在阶为d的元素，那么F(d)=0
$\therefore F(d)\le\varphi(d)$
而$\Sigma_{d\mid(q-1)}\varphi(d)=q-1$
$\therefore\Sigma_{d\mid(q-1)}(\varphi(d)-F(d))=0$
$\therefore$对所有能够整除q-1的整数d都有，F(d)=$\varphi$(d)
所以F(q-1) = $\varphi$(q-1) $\ne$ 0
$\exists g\in F',ord(g)=q-1$
$\therefore F'=\lbrace g^0,g^1,\dots, g^{q-2}\rbrace$
所以F'是一个循环群

多项式环

设R是整环，x是一个变量，则R上形为：$a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0, a_i\in R$的元素称为R上的多项式
设f(x)=$a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0,a_n \ne 0$是整环R上的多项式，则称多项式f(x)的次数为n，记为deg f =n

多项式上的运算：
记整环R上的多项式集合为R[x]，则对于多项式的加法和乘法，R[x]也分别构成一个整环，其加法的单位元为0，乘法的单位元为1。

多项式整除与不可约多项式：
设f(x)，g(x)是整环R上的任意两个多项式，其中g(x) $\ne$ 0，如果存在一个多项式q(x)使得f(x)=q(x)$\cdot$g(x)，则称g(x)整除f(x)或者f(x)被g(x)整除.
记作g(x) $\mid$ f(x)，称g(x)为f(x)的因式，f(x)为g(x)的倍式。

多项式整除和整数的整除有着类似的性质，比如整除的传递性，以及如果h(x)是f(x)和g(x)的公因式，那么h(x)能整除任意的s(x)·f(x)+t(x)·g(x)

不可约多项式：设f(x)是整环R上的非常数多项式，如果除了1和f(x)外，f(x)没有其他非常数因式，则称f(x)为不可约多项式，否则称为合式。

不可约多项式其实就对应于整数中的素数，所以对于不可约多项式也有类似的Eratoshene筛法：
设f(x)是域K上的多项式，如果对所有的不可约多项式p(x)，deg p $\le$ $\frac{1}{2}$deg f，都有p(x) $\nmid$ f(x)，则f(x)一定是不可约多项式

实例：$\forall f(x) \in F_2[x]$ f(x)被x整除当且仅当其常数项为0，被x+1整除当且仅当其非零系数项恰有偶数个

多项式欧几里得除法：
设f(x)=$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，g(x)=$x^m+\cdots+b_1x+b_0$是整环R上的两个多项式，则一定存在多项式q(x)和r(x)使得
f(x)=q(x)·g(x)+r(x)，其中deg r < deg g

实例：设$F_7[x]$上的两个多项式f(x)=$6x^2+3x+1$和g(x)=4x+1，求q(x)和r(x)满足f(x)=q(x)·g(x)+r(x)
f(x)=(5x+3)·g(x)+4
$\therefore q(x)=5x+3,r(x)=4$

推论：一阶多项式g(x)=x-a能够整除f(x)的充要条件是f(a)=0

此外，类比整数除法可以定义出多项式的最大公因式、最小公倍式、多项式广义欧几里得除法以及贝祖等式

多项式同余

设m(x)是多项式环上的一个首一多项式，有两个多项式f(x)，g(x)，如果m(x) | f(x)-g(x)，则称f(x)和g(x)同余，记作f(x)$\equiv$g(x) (mod m(x))

和整数同余一样，a(x)$\equiv$b(x) (mod m(x))的充要条件是存在多项式s(x)满足a(x)=b(x)+s(x)·m(x)

此外，多项式的同余关系仍然是一个等价关系，即多项式的同余关系具有自反性、对称性以及传递性，而且多项式同余也具有保运算性

定理：设p(x)是K[x]中的多项式，则<p(x)>={f(x)|f(x)$\in$K[x],p(x)|f(x)}是K[x]中的理想，由此得到商环K[x]/<p(x)>，该商环上的运算法则为
加法：f(x)+g(x)=(f+g)(x) mod p(x)
乘法：f(x)·g(x)=(f·g)(x) mod p(x)

域的扩张

定义：设F是一个域，如果K是F的子域，则称F为K的扩域

如果F是K的扩域，则$1_F=1_K$，而且，F可作为K上的线性空间，事实上，对任意$\alpha,\beta\in F,k\in K$有，$\alpha+\beta\in K,k·a\in K$，用[F:K]表示F在K上的线性空间的位数，称F为K的有限扩域或无限扩域，如果[F:K]是有限的或无限的

定理：设E是F的扩域，F是K的扩域，则[E:K] = [E:F][F:K]

代数数与超越数
设R是一个整环，K是包含R的一个域，F是K的一个扩域
1）对于F中的某个元素a，如果存在一个非零多项式f$\in$R[x]使得f(a)=0，则称a为整环R上的代数数，如果这个多项式的最高次项系数为1，则称a为代数整数
2）对于F中的某个元素a，如果不存在任何非零首一多项式f$\in$R[x]使得f(a)=0，则称a为整环R上的超越数

如果F的每个元素都是K上的代数数，则称F为K上的代数扩张；如果F中至少有一个元素是K上的超越数，则称F为K上的超越扩张

有限域的构造方法：任给一个素数p和一个正整数n，在域$F_p$上任取一个n次不可约多项式p(x)（这一步一般都不太容易，有时甚至是困难的），则域$F_p$上的多项式环$Z_p[x]$的商环$Z_p[x]/<p(x)>$就是一个$p^n$阶的有限域。

实例：$F_2$={0,1}是一个有限域，构造$F_{2^4}$:
$F_2[x]$上的4阶不可约多项式有：$x^4+x^3+x^2+x^2+x+1,x^4+x^3+1,x^4+x+1$，任取一个不可约多项式：$x^4+x+1$，则
GF($2^4$)={0,1,$x,x^2,x^3,x+1,x^2+x,x^3+x^2,x^3+x+1,x^2+1,x^3+x,x^2+x+1,x^3+x^2+x,x^3+x^2+x+1,x^3+x^2+1,x^3+1$}