环与理想
环
环论是取模运算的基础
环的定义:设R是具有两种运算的非空集合，如果以下条件成立：
i)R对于加法构成一个交换群
ii)R上的乘法有，对于任意的a, b, c\(\in\)R，有(ab)c = a(bc)
iii)对任意的a, b, c\(\in\)R，有(a+b)c = ac + bc，a(b+c) = ab + ac
则称R为一个环
换句话说，如果R对于加法运算满足交换群的定义，对于乘法满足广群的定义，并且满足分配律，则R是一个环。
\(\mathrm{Notation}:\)
i)如果环的乘法满足交换律，则称R为交换环
ii)如果R中有一个元素e = \(1_R\)对于R上的乘法有\(\forall a\in R, a1_R = 1_R a=a\)，则称R为有单位元环，或者称为含幺环
iii)如果R中存在两个不为零的元素a, b对于R上的乘法满足ab=0，则称R为有零因子环
iv)如果R同时为一个交换环和一个含幺环，但没有零因子，则称R为整环
\(\mathrm{Example}:\) 整数集合\(\Z\)以及整数加减法就构成了一个整环。
环的性质
1.对任意的a\(\in\)R，有0a=a0=0
证明.
\(\because\) 0a=(0+0)a=0a+0a
\(\therefore\) 0a=0
同理可得 a0 = 0
2.对任意的a,b\(\in\)R，有(-a)b = a(-b) = -(ab)
证明.
\(\because\) (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
\(\therefore\)(-a)b=a(-b)=-(ab)
3.对任意a,b\(\in\) R，有(-a)(-b)=ab，这实际上就是第二个性质的一个实例
4.对任意的n\(\in\)Z，a,b\(\in\)R，(na)b=a(nb)=n(ab)，即n个a的和乘以b，或者a乘以n个b的和都等于n个ab乘积的和。
5.对任意的\(a_i, b_j\in R\)有
\((\Sigma_{i=1}^n a_i)(\Sigma_{j=1}^m b_j)=\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^m a_i b_j\)
6.设R是一个整环，则R中有消去律成立，即当c$\ne$0，c·a = c·b时，有a=b
理想
这里需要先回顾关于陪集(coset)的定义。
陪集的定义：设\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\)是\(G\)中某个元素，那么集合：\(aH=\{ah | \forall h\in H\}\)，其中\(ah\)是指在群\(G\)上的运算，构成\(G\)中\(H\)的左陪集。
同理可以定义，\(Ha=\{ha, \forall h\in H\}\)，为\(G\)中\(H\)的右陪集。
若\(aH=Ha\)，则称\(aH\)为\(G\)中\(H\)的陪集。\(aH\)中的元素叫做\(aH\)的代表元(representative element)。
\(\mathrm{Example}\): 整数集合\(\Z\)与整数加法运算构成了一个群，其子群\(n\Z=\{nk, k\in\Z\}\)，其中\(n\gt 1\)，\(nk\)表示\(n\)个整数\(k\)的和。
则子集\(a\in\Z, a+n\Z=\{a + n\Z\}=\{a + nk, k\in\Z\}\)就构成\(\Z\)中\(n\Z\)的陪集
比如\(n=7\)，\(a=10\)，那么\(a+7\Z=\{10 + 7\Z\} = \{3 + 7 + 7\Z\} = \{3 + 7\Z\}\)就构成了\(\Z\)中\(7\Z\)的左陪集。
也就是\(10\)和\(3\)属于同一个陪集，或者说\(10\)属于代表类为\(3\)的\(7\Z\)陪集。
商集的定义：设\(H\)是群\(G\)的子群，则\(H\)在\(G\)中不同左陪集组成的新集合称为\(H\)在\(G\)中的商集，记为\(G/H=\{aH, a\in G\}\)。
\(\mathrm{Example}\): 整数集合\(\Z\)与整数加法运算构成了一个群\(G\)，其子群\(H=n\Z=\{nk, k\in\Z\}\)，其中\(n\gt 1\)，\(nk\)表示\(n\)个整数\(k\)的和。
则子集\(G/H=\{a + n\Z\}=\{a + nk | k\in\Z\, a=0, 1, \dots, n-1\}\)就构成\(\Z\)中\(n\Z\)的商集。
比如\(n=7\), 则集合\(\Z/7\Z=\{a+7\Z | a=0, 1,\dots, 6\}\)构成商集。
商集的性质：如果\(H\)是\(G\)的正规子群，那么其商集\(G/H\)构成群。（不难证明）
正规子群即满足\(\forall a \in G, aH=Ha\)的子群
从正规子群的定义可知，任何交换群的子群都是正规子群
那么正规子群的所有左陪集都是右陪集，都是陪集
\(\mathcal{Intuition}:\) 对于环\(R\)以及其子环\(S\subset R\)，其加法构成交换群，所以其任意商集\(R/S\)对加法构成群，现在如何使\(R/S\)构成一个环？
对于加法，不难证明\(\forall a,b\in R, (a + S) + (b + S) = (a+b) + S \in R/S\)
对于乘法，需要满足\(\forall a,b\in R, (a + S)(b + S)\in R/S\)
上面的问题可以转换为:
若\(a + S = c + S\)，\(b + S = d + S\)，如何使得\(ab+S=cd + S\)？
\(a+S=c+S\Rightarrow (a-c)\in S\)
\(b+S=d+S\Rightarrow (b-d)\in S\)
\(\therefore \exist s_1, s_2\in S, a-c=s_1, b-d=s_2, a=c+s_1, b=d+s_2\)
\(ab=(c+s_1)(d+s_2)=cd + cs_2+s_1d+s_1s_2 = cd + cs_2+s_1d + S\)
所以上面的问题可以转换成如何满足\(cs_2, s_1d\in S\)？
为了使商集\(R/S\)构成一个环，需要引入理想的定义。
理想定义：设\(R\)是一个环，\(I\)是\(R\)的子环，如果对任意的 \(r\in R\) 和 \(a\in I\) ，都有 \(ra\in I\)，这里的\(ra\)是环上的乘法，则称\(I\)是\(R\)的左理想，如果对任意的 \(r\in R\) 和 \(a\in I\)都有\(ar\in I\)，则称\(I\)是\(R\)的右理想。
如果\(I\)同时是\(R\)的左理想和右理想，则称\(I\)是\(R\)的理想。
\(\mathrm{Example}\): 对于整环\(\Z\)，其子环\(7\Z=\{7n, n\in\Z\}\)，构成一个理想。
Notation： {0}和R都是R的理想，叫做R的平凡理想。
理想的充要条件：
1.对任意的a, b\(\in\)I，都有a-b\(\in\)I
2.对任意的 r\(\in\)R 和 a\(\in\)I 都有 ra\(\in\)I，ar\(\in\)I
证明.
必要性显然成立
充分性：
由第一个条件可知 I 是 R 的子群
再由第二个条件可知 I 对乘法是封闭的，并且 I 作为R的子集，对乘法是满足分配律的，所以 I 是R子环
同时，I 也满足R理想的条件。
定理：设\(\lbrace A_j\rbrace_{i\in J}\)是R的一族理想，则\(\bigcap_{j\in J}A_j\)也是一个理想
证明.
\(\because A_j\)是理想
\(\therefore \forall a,b\in A_j,a-b\in A_j,\)对于所有的j\(\in\)J
\(\therefore a-b\in\bigcap_{j\in J}A_j\)
对于任意的r\(\in\)R和任意的\(a\in\bigcap_{j\in J} A_j\)，则有a\(\in A_j\)，j\(\in\)J
因为\(A_j\)是R的理想，所以ra\(\in A_j\)，ar\(\in A_j\)，j\(\in\)J
所以\(ra\in\bigcap_{j\in J}A_j\)，\(ar\in\bigcap_{j\in J}A_j\)
所以\(\bigcap_{j\in J}A_j\)也是R的理想
\(\mathrm{Remark}\): 理想通常通过环上的乘法进行构造，如果是交换环，那么其所有左理想都是理想。
生成理想
定义：设\(X\)是环\(R\)的一个子集，设\(\lbrace A_j\rbrace_{j\in J}\)是环\(R\)中包含\(X\)的所有理想，则新的理想\(\bigcap_{j\in J}A_j\)称由\(X\)生成的理想，记为\((X)\)。
\(\mathcal{Notation}\)：
- \(X\)中的元素叫做理想\((X)\)的生成元，如果\(X=\{a_1,\cdots,a_n\}\)，则理想\((X)\)记为\((a_1,\cdots,a_n)\)，称为有限生成的。
- 如果\(X={a}\)，则称其生成理想\((a)\)叫做主理想
- 如果环\(R\)的所有理想都是主理想，则称环\(R\)为主理想环
定理：设R是环，则主理想(a)={\(ra+ar'+na+\Sigma_{i=1}^mr_ias_i | r,r',r_i,s_i\in R,m\in N, n\in Z\)}
实例：整环Z是主理想环，且I=(a)的表达式为\(I=(a)=\lbrace sa|s\in Z\rbrace\)
推论：设I=(a)是整环Z中的理想，则整数b\(\in\)I 的充要条件是a | b
特征
定义：设\(R\)是一个环，如果存在一个最小正整数\(p\) 使得对任意\(a\in R\)，都有：
\(pa=a+\cdots+a=0\)
则称环\(R\)的特征为\(p\)，如果不存在这样的正整数，则称环\(R\)的特征为\(0\)
定理：
1.设含幺环R的特征\(c\ne 0\)，则\(c\)是满足 \(c1_R=0\)的最小正整数
2.有限环的特征必然有一个特征，或者说有限环的特征必不为0
3.如果\(R\)是含幺环，并且存在\(a,b\in\)R满足\(ab=ba\)则，
\((a+b)^n=\Sigma_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}\)
4.含幺交换环特征是素数\(p\)，则\((a+b)^p=a^p+b^p\)
商环
定理：设\(R\)是一个环，\(I\)是\(R\)的一个理想，则\(R/I=\{a+I | a\in R\}\)，即\(R\)的商群，构成一个环。
对加法运算封闭：\((a+I)+(b+I)=(a+b)+I\in R/I\)
对乘法运算封闭：\((a+I)(b+I)=(ab)+I\in R/I\)
证明(非正式).
由商群的定义可知，商环\(R/I\)对加法构成一个交换群。
对于乘法：\((a+I)(b+I)=(a+i_1)(b+i_2)=ab+ai_2+i_1b+i_1i_2\)
\(\because\) \(I\)是\(R\)的一个理想
\(\therefore ai_2\in I, i_1b\in I\)
\(\therefore ai_2+i_1b+i_1i_2\in I\)，即\((a+I)(b+I)=(ab)+I\)
称\(R/I\)为商环，并且当\(R\)是一个交换环或者是一个含幺环时，商环\(R/I\)也是一个交换环或者含幺环。如果\(R\)是一个整环，那么其商环\(R/I\)也是一个整环。
比如\(\Z/7\Z\)就构成一个整环。
\(\mathrm{Remark}\): 若\(\exists a\in R/I\)和商环特征\(p\)互素，那么存在另一元素\(a'\in R/I\)，满足\(aa'=1\)。那么如果商环中特征为素数\(p\)，那么\(\forall a\in R/I\)都与之互素，则\(\forall a\in R/I, \exists a'\in R/I\)，满足\(aa'=1\)，那么商环\(R/I\)就构成了一个有限域。
比如\(\Z/7\Z\)就构成一个有限域，但是\(\Z/8\Z\)就只是一个有限的整环。
环同态分解定理
环同态：环的同态在群的同态的基础上添加了一个条件：对于\(G\)和\(G'\)中的乘法，满足\(f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)\)
相应的，群同态中的定理也能够对应到环同态中
自然映射：设\(f\)是环\(R\)到环\(R'\)的一个同态，则核\(\ker(f)=\{a\in R, f(a)=0_{R'}\}\)是\(R\)的理想；反过来，如果\(I\)是\(R\)的理想，则映射，\(s:R\to R/I\)是核为\(I\)的同态。
证明 1.
\(\forall a,b\in \ker(f), f(a-b)=f(a)-f(b)=0_{R'} - 0_{R'}=0_{R'}\)
\(\therefore a-b\in\ker(f)\)
\(\forall a\in R, k\in\ker(f), f(ak)=f(ka)=f(k)f(a)=f(k)0_{R'}=0\)
\(\therefore ak, ka\in\ker(f)\)
\(\therefore \ker(f)\)是\(R\)的一个理想
证明 2.
\(\forall a,b\in R, s(ab)=(ab)+I=(a+I)(b+I)=s(a)s(b)\)
\(\therefore\) 映射\(s\)是同态映射
而商环\(R/I\)中的加法单位元\(e\)满足：\(a+I + e = a + I\)，即\(e = I\)
\(\because s(a) = \in I\)，当且仅当\(a\in I\)
\(\therefore \ker(s)=I\)
所以\(s\)是核为\(I\)的同态映射
$\mathrm{Example}: $
\(s: \Z\to\Z/7\Z\)
\(s: a\mapsto a\mod 7\)
那么，映射\(s\)显然构成同态映射，并且当且仅当\(a\in 7\Z, s(a)=0\)，所以\(\ker(s)=7\Z\)
同态分解：设\(f\)是环\(R\)到环\(R'\)的同态，则存在唯一的\(R/\ker(f)\)到群\(f(R)\)的同构映射\(f':a+\ker(f)\mapsto f(a)\)。
同样的，能够得到一个映射转换关系：\(f=i\cdot f'\cdot s\)，其中s是环R到商环\(R/\ker(f)\)的自然同态，\(i:c\mapsto c\)是f(R)到R'的恒等映射。即：
同态分解定理的作用是由一个同态映射构造一个同构映射。
