计算机内数字的表示

计算机中的数字有三种表示：无符号数、补码（带符号数）、浮点数

信息的存储与寻址：计算机中将字节作为最小可寻址单元。而字节的排列顺序分大端法和小端法两种。大端法就是指将最高位放在最前面的存储方式，而小端法则是将最低位放在最前面的存储方式。

C语言中的移位运算：

• 左移：将x向左移动k位，丢弃最高的k位，并在右端补k个0
• 逻辑右移：将x向右移k位后，在左端补k个0
• 算术右移：将x向右移k位后，在左端补k个最高有效位的值。

带符号数与无符号数的转换：

带符号数->无符号数：若x<0，则返回x+2^w

　　　　　　　　　　若x>=0，则返回x

无符号数->带符号数：若x<=TMax，则返回x

　　　　　　　　　　若x>TMax，则返回x-2^w

整数的扩展：将一个较小类型的数，转换为较大类型

　　　　　　无符号数，在数字的二进制表示的开头添0，这被称为零扩展

　　　　　　带符号数，在数字的二进制表示的开头添加最高有效位的值符号扩

整数的截断：将一个较大类型的数，转换为较小类型

　　　　　　无符号数，先将数字的二进制表示直接转换成对应的无符号数，然后再用这个无符号数进行模2的k次方运算

　　　　　　带符号数，先将数字的二进制表示直接转换成对应的无符号数，然后再用这个无符号数进行模2的k次方运算，然后经过模运算后得到的无符号转转换成带符号数。 

无符号数加法：若x+y≥2^w（溢出），则为x+y-2^w；否则为x+y

　　　　　　　溢出判断：令s=x+y，当且仅当s<x或者s<y时，发生了溢出

无符号数的非：若x=0，则为x，否则为2^w-x

带符号数加法：若x+y≥2^w-1，则为x+y-2^w（正溢出）；若x+y＜-2^w-1，则为x+y+2^w（负溢出）；否则为x+y

　　　　　　　溢出判断：令s=x+y，当且仅当x>0,y>0，但s<=0时，发生了正溢出；当且仅当x<0,y<0，但s>=0时，发生了负溢出

带符号数的非：若x=TMIN，则为x，否则为-x

无符号数的乘法：(x*y) mod 2^w

带符号数的乘法：U2T((x*y) mod 2^w)

乘以2的幂：对于无符号数，C表达式x<<k产生x*2^k的值

　　　　　  对于带符号数，C表达式x<<k产生x*2^k的值

除以2的幂：无符号数处以2的幂，C表达式x>>k产生数值 floor( x/2^k )

　　　　　  带符号数除以2的幂，向下舍入，C表达式x>>k产生数值 floor( x/2^k )

　　　　　  带符号数除以2的幂，向上舍入，C表达式 ( x+(1<<k)-1)>>k 产生数值 ceil( x/2^k )

浮点数：IEEE浮点标准用V=(-1)^s * M * 2^E的形式来表示一个浮点数

 

　　　　

• 在规格化的表示中，exp段既不是全1，也不是全0。在这种情况下，阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号数。也就是说，阶码的值E=exp-Bias，其中exp是一个k位的无符号数，而Bias则等于2^k-1-1（即最高位为0，其余位为1）。而尾数定义为M=1+frac。
• 在非规格化的表示中，即阶码域位全0的形式，在这种情况下，阶码值是E=1-Bias，而尾数的值是M=frac，也就是小数字段的值。
• 在特殊情况下，当阶码域位全1的时候，如果小数字段位全0则表示无穷大，如果小数字段不为全0则表示这不是一个数(NaN)

浮点数的特殊值总结：

以一个8位的浮点数为例：

 

浮点数的舍入：

1. 向偶数舍入（即四舍五入）
2. 向零舍入
3. 向下舍入（相当于ceil函数）
4. 向上舍入（相当于floor函数）

C语言中的浮点数：

从int转换成float，数字不会溢出，但是可能被舍入。

从int或float转换成double，因为double有更大的位数，所以能够保留精确的数值。

从double转换成float，因为范围较小，所以值可能溢出成+∞或-∞。并且，由于精度较小，它还可能被舍入。

从float或者都变了转换成int，值将会向零舍入。