卡尔曼滤波

卡尔曼滤波算法介绍

一、 滤波简介

滤波：通过一定的算法将信号中特定波段频率滤除，排除可能的随机干扰，提高检测精度的一种手段。

功能：平滑、预测，微分、积分、信号分离和噪声抑制等功能。

信号种类：

a)    数字滤波：使用软件编程/可编程逻辑器件设计

b)    模拟滤波：采用电容，电阻和电感的组合来完成。

算法（频域/时域）：

a)    经典滤波：信号和噪声处于不同的频段。高通、低通、带通、带阻滤波器。

b)    现代滤波：利用信号和噪声的随机统计特性。维纳滤波，Kalman滤波，自适应滤波，小波变换等。

二、 状态估计原理简介

状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。

估计问题：  观测数据（可以直接得到）-> 定量判断 ->  随机状态量（很难直接得到）

状态估计：观测数据（输入输出：外部特性）-> 定量判断 ->内部状态量（动态规律，很难直接得到）< --- >信号平滑/插值（过去）信号的滤波（现在）信号的预测（将来）

状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义。

状态估计方法：最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。

卡尔曼滤波算法即为递推最优估计理论，采用状态空间描述法，以线性最小均方误差为估计准则来得到对状态变量的最优估计。

三、 卡尔曼滤波引例

卡尔曼滤波：是一种高效率的递归滤波器（自回归滤波器），它能够从一系列完全包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。

基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。

实质：由测量值重构系统的状态向量。它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据测量值来消除随机干扰，再现系统的状态。

卡尔曼滤波的两个重要假设：

1. 被建模的系统是线性的：K时刻的系统状态可以用某个矩阵与k-1时刻的系统状态的乘积表示。
2. 影响测量的噪声属于高斯分布的白噪声：噪声与时间不相关，且只用均值和协方差就可以准确地建模。

问题描述

已知条件：    房间温度的当前感觉值               都带有误差

                       房间温度计的当前读数

希望得到      · 五分钟以后房间温度的实际值

 

              感觉值+测量值  ？=  未来时刻的真实值

l  预测：根据K-1时刻温度的最优估计值预测K仕客德温度为23度，其高斯噪声的偏差是5度（设K-1时刻温度的最优估算的偏差是3，自己预测的不确定度是4度，它们平方相加再开方，就是5）。

l  预测：从温度计那里得到K时刻的温度值，假设是25度，同时刻值的偏差是4度。

l  更新：根据预测误差和观测误差的协方差有kg^2=5^2/(5^2+4^2)，即kg=0.78，则可估算出K时刻的实际温度值（最优估计）是：23+0.78*（25-23）=24.56度。

递推关键：由此可知，进行K+1时刻的最优估计，需要K时刻的最优估计值和其偏差。偏差计算：（（1-kg）*5^2）^0.5=2.35。这里的5就是上面K时刻温度预测为23度时的偏差，得出2.35就是K时刻估算出的最优温度值的偏差（对应上面的3）。

卡尔曼滤波器不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。其运行的很快，只保留了上一时刻的covariance。