数字图像处理笔记
第五章、正交变换
一、正交变换基本概念
图像是许多点冲激函数的累加,图像通过系统的效果就是每一点冲激函数通过系统的响应之和。
任何图像都可以分解为基图像之和,基图像相互是正交的,图像变换的本质是寻找合适的基图像来表达图像。
广泛应用于图像增强,复原,编码,描述和特征提取等方面。
图像正交变换分三大类:
*正弦/余弦变换‘;
*方波型变换;
*基于特征向量的变换。
二、离散傅里叶变换
离散傅里叶变换是最经典的一种正弦/余弦型正交变化。
建立了空间域与频域间的联系,具有明确的物理意义,能够更直观、方便地解决许多图像处理问题。
具有许多在工程上有重要意义的独特性质,而且具有快速算法,广泛应用于数字图像处理领域。
*定义:
狄里赫莱条件:有限个间断点;有限个极值点;绝对可积。
傅里叶变换---值域动态范围压缩。
*应用:
傅里叶变换特点:
1) 反应频域特性;
2) 将卷积运算化为乘积运算。
1、在图像滤波中的应用
变化后的图像,中间部分为低频部分,越靠外频率越高。可以在Fourier变换图中,选择所需要的高频或低频分量。
2、在图像压缩的应用中
高频反应细节、低频反映景物概貌的特征。
三、其它正交变化
1、一维DCT
傅里叶变换的参数都是复数,在数据的描述上相当于实数的两倍。
实偶函数的傅里叶变换也必然是实偶函数。基本思想将一个实函数对称延拓成一个实偶函数,其傅里叶变换为实偶函数,仅包含余弦项。连续函数和离散函数的余弦变换都是基于这一原理。
余弦变换是傅里叶变换的特例,是简化傅里叶变换的重要方法。
离散余弦变换DCT是图像数据压缩中常用的一个变换编码方法。
DCT的本质仍然是DFT,f(t)的DCT结果所表现出来的频域特征本质上是和DFT所反映的频域特征是相同的。
2、二维余弦变换
基本思想:形成二维偶函数。先做水平镜像,再做垂直镜像。
3、余弦变换的性质
*可分离性
二维DCT的正反变换的变换核都相同,且是可分离的。
二维DCT的频谱分布的特点:
DCT相当于对带有中心偏移的偶函数进行二维DFT,因此,其频谱与DFT相差一倍。
4、DCT变换的应用
a)余弦变换主要用于图像压缩,国际压缩标准JPEG格式中用到了DCT变换。
b)与DFT相似。即高频部分压缩多一点,低频部分压缩少一点。