2025省选模拟15

合集 - 高一下二月(18)

1.高一下二月上旬日记02-022.来自aakennes的新年祝福02-033.2025省选模拟902-064.2025多校冲刺省选模拟赛902-065.2025多校冲刺省选模拟赛1002-096.2025省选模拟1002-097.高一下二月中旬日记02-108.2025多校冲刺省选模拟赛1102-149.2025多校冲刺省选模拟赛1202-1410.2025多校冲刺省选模拟赛1302-1511.2025省选模拟1102-1712.2025多校冲刺省选模拟赛1402-1813.2025多校冲刺省选模拟赛15 && 2025省选模拟1202-2114.高一下二月下旬日记02-2115.2025省选模拟1302-2216.2025省选模拟1402-23

17.2025省选模拟1502-24

18.预祝2025省选嗨翻天02-26

收起

2025省选模拟15

题目来源： 2025多校冲刺省选模拟赛17

$T1$ P1045. 数 $100pts$

• 原题： SP6408 KKKCT2 - Counting Triangles 2 | SP5464 CT - Counting triangles

• 考虑枚举直角顶点 $(i,j),0\le i\le x,0\le j\le y$，然后分为了 $8$ 种贡献情况。

  

• 设 $\{\begin{array}{l}a=min(i,y-j)\\ b=min(x-i,j)\\ c=min(i,j)\\ d=min(x-i,y-j)\end{array}$ ， $8$ 种情况的贡献分别为 $a,d,b,c,ad,bd,ac,ad$ ，加起来后得到 $(a+b+1)(c+d+1)-1$ ，但没有什么可以优化的地方。

• 观察乘积项，以 $ac$ 为例，考虑固定 $i$ 这个常量，统计 $j$ 的贡献，分讨 $0,y-j,j,y$ 划分成的三个区间内部的转移即可。

  点击查看代码

  const ll p=20120712;
  ll s1(ll n)
  {
      return n*(n+1)/2;
  }
  ll s2(ll n)
  {
      return n*(n+1)*(2*n+1)/6;
  }
  ll ask(ll up,ll a,ll b)
  {
      ll ans=0;
      ans+=s1(min(a,up))+max(0ll,(up-a))*a;//2e8
      ans+=s2(min(min(a,b)-1,up));//2e12
      if(min(min(a,b)-1,up)<min(max(a,b),up))
          ans+=(min(min(a,b)-1,up)+1+min(max(a,b),up))*(min(max(a,b),up)-min(min(a,b)-1,up))/2*min(a,b);//2e12
      ans+=max(0ll,(up-max(a,b)))*a*b;//1e12
      return ans;
  }
  int main()
  {
  #define Isaac
  #ifdef Isaac
      freopen("count.in","r",stdin);
      freopen("count.out","w",stdout);
  #endif
      int t,x,y,i,j;
      ll ans;
      cin>>t;
      for(;t>=1;t--)
      {
          cin>>x>>y;  ans=0;
          // a=min(i,y-j),b=min(x-i,j),c=min(i,j),d=min(x-i,y-j)
          for(i=0;i<=x;i++)
          {
              ans+=ask(y,i,x-i);// bc+c
              ans+=ask(y,x-i,i);// ad+d
          }
          for(i=0;i<=y;i++)
          {
              ans+=ask(x,y-i,i);// ac+a
              ans+=ask(x,i,y-i);// bd+b
          }
          cout<<ans%p<<endl;
      }	
      return 0;
  }
  

$T2$ P1047. 树 $10pts$

• 部分分

  • $10pts$ ：去大样例里把 $n\le 8$ 的数据粘过来。

• 正解

  • 拼劲全力无法战胜。

  

  

  

  • 解法 $5$ 中提到的在输出答案的时候除以 $n$ 的处理方法同 暑假集训CSP提高模拟3 T1 P117. abc猜想 。
  点击查看 std

  #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  int n, T;
  long long mod, mat[31][2][2];
  int main() {
      freopen("tree.in", "r", stdin);
      freopen("tree.out", "w", stdout);
      ios::sync_with_stdio(0);
      cin.tie(NULL);
      cout.tie(NULL);
      mat[0][0][0] = 0;
      mat[0][0][1] = 1;
      mat[0][1][0] = 1;
      mat[0][1][1] = 1;
      cin >> T;
      while (T--) {
          cin >> n >> mod;
          mod *= n;
          int tmp = n;
          vector<int> pr, fac;
          for (int i = 2; i <= sqrt(tmp); i++)
              if (tmp % i == 0) {
                  pr.push_back(i);
                  while (tmp % i == 0) tmp /= i;
              }
          if (tmp != 1) pr.push_back(tmp);
          for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++)
              if (n % i == 0) {
                  fac.push_back(i);
                  if (i * i != n) fac.push_back(n / i);
              }
          for (int i = 1; i < 31; i++) {
              mat[i][0][0] = (__int128(mat[i - 1][0][0]) * mat[i - 1][0][0] +
                              __int128(mat[i - 1][0][1]) * mat[i - 1][1][0]) %
                          mod;
              mat[i][0][1] = (__int128(mat[i - 1][0][0]) * mat[i - 1][0][1] +
                              __int128(mat[i - 1][0][1]) * mat[i - 1][1][1]) %
                          mod;
              mat[i][1][0] = (__int128(mat[i - 1][1][0]) * mat[i - 1][0][0] +
                              __int128(mat[i - 1][1][1]) * mat[i - 1][1][0]) %
                          mod;
              mat[i][1][1] = (__int128(mat[i - 1][1][0]) * mat[i - 1][0][1] +
                              __int128(mat[i - 1][1][1]) * mat[i - 1][1][1]) %
                          mod;
          }
          long long ans = 0;
          for (auto i : fac) {
              int phi = n / i;
              for (auto j : pr)
                  if (phi % j == 0) phi = phi / j * (j - 1);
              long long f[2] = {1, 1}, g[2];
              for (int j = 0; j < 31; j++)
                  if (i + i - 2 & (1 << j)) {
                      g[0] = (__int128(f[0]) * mat[j][0][0] +
                              __int128(f[1]) * mat[j][1][0]) %
                          mod;
                      g[1] = (__int128(f[0]) * mat[j][0][1] +
                              __int128(f[1]) * mat[j][1][1]) %
                          mod;
                      f[0] = g[0];
                      f[1] = g[1];
                  }
              ans = (ans + __int128(phi) * (f[0] + f[0] + f[1] - 2)) % mod;
          }
          cout << ans / n << '\n';
      }
  }
  
  

$T3$ P1046. 书 $0pts$

• 原题： HDU2484 Build the Tower

• 对书进行排序后，有 $f_S=1+\frac{1}{c+1}(f_{S⨁\mathrm{lowbit}(S)}+\sum f_{S|(1<<i)})$ 。从 $S⨁\mathrm{lowbit}(S)$ 向 $S$ 连一条有向边得到树形关系后考虑树上高斯消元。

• 观察到实际上栈顶元素和厚度和相同时，后续决策是相同的，于是状态数从 $O(2^n)$ 优化到了 $O(nm)$ 。

• 此时有 $f_x=1+\frac{1}{c+1}{f}_{f{a}_x}+\frac{\sum _{y\in \mathrm{Son}(x)}{f}_y}{c+1}=a_x{f}_{f{a}_x}+b_x$ ，解得 $a_x=\frac{1}{(c+1)(1-\frac{1}{c+1}\sum _{y\in \mathrm{Son}(x)}{a}_y)},b_x=\frac{1+\frac{1}{c+1}\sum _{y\in \mathrm{Son}(x)}{b}_y}{1-\frac{1}{c+1}\sum _{y\in \mathrm{Son}(x)}{a}_y}$ 。

• 实际实现时，可以设 $f_{i,j}$ 表示栈顶为 $i$ 厚度和为 $j$ 的期望，从 $f_{k,j+b_k^{\prime }}$ 转移而来；加入一个根节点 $n+1$ 取 $f_{n+1,0}$ 作为答案。

  点击查看代码

  pair<int,int>c[110];
  double a[110][110],b[110][110];
  int main()
  {
  // #define Isaac
  #ifdef Isaac
      freopen("book.in","r",stdin);
      freopen("book.out","w",stdout);
  #endif
      int n,m,cnt,i,j,k;
      double suma,sumb;
      while(cin>>n>>m)
      {
          c[n+1].first=101;
          for(i=1;i<=n;i++)  cin>>c[i].first>>c[i].second;
          sort(c+1,c+1+n);
          for(i=1;i<=n+1;i++)
          {
              for(j=0;j<=m;j++)
              {
                  cnt=suma=sumb=0;
                  for(k=1;k<=i;k++)  cnt+=(c[k].first<c[i].first);
                  for(k=1;k<=i;k++)
                  {
                      if(c[k].first<c[i].first&&j+c[k].second<=m)
                      {
                          suma+=a[k][j+c[k].second];
                          sumb+=b[k][j+c[k].second];
                      }
                  }
                  a[i][j]=1/(1-suma/(cnt+1))/(cnt+1);
                  b[i][j]=(sumb/(cnt+1)+1)/(1-suma/(cnt+1));
              }
          }
          if(b[n+1][0]>18000)  cout<<"INF"<<endl;
          else  printf("%.3lf\n",b[n+1][0]);
      }
      return 0;
  }
  

总结

• $T2$ 尝试拉格朗日插值但因为不保证模数是质数，遂无果。