2025多校冲刺省选模拟赛13

合集 - 高一下二月(18)

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2025多校冲刺省选模拟赛13

$T 1$ A. 逆序对 $56 p t s$

原题： luogu P5972 [PA 2019] Desant

部分分

$56 p t s$ ：爆搜。

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int a[50];
pair<int,ll>ans[50];
struct BIT
{
    int c[50];
    int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    void add(int x,int val)
    {
        for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))  c[i]+=val;
    }
    int getsum(int n,int x)
    {
        int ans=0;
        for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))  ans+=c[i];
        return ans;
    }
}B;
void dfs(int pos,int n,int len,int sum)
{
    if(pos==n+1)
    {
        if(ans[len].first>sum)  ans[len]=make_pair(sum,1ll);
        else if(ans[len].first==sum)  ans[len].second++;
    }
    else
    {
        B.add(a[pos],1);
        dfs(pos+1,n,len+1,sum+B.getsum(n,a[pos]+1));
        B.add(a[pos],-1);
        dfs(pos+1,n,len,sum);
    }
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("des.in","r",stdin);
    freopen("des.out","w",stdout);
#endif
    int n,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)  cin>>a[i];
    memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
    dfs(1,n,0,0);
    for(i=1;i<=n;i++)  cout<<ans[i].first<<" "<<ans[i].second<<endl;
    return 0;
}

正解

折半搜索瓶颈在于无法快速合并两个区间的答案，没有前途。
考虑状压，设 $f_{i, S}$ 表示 $[1, i]$ 中选出的数的集合为 $S$ 时的逆序对数， $O (2^{n})$ 的状态数无法接受，需要进一步优化。
观察到对于后续加入 $a_{i + 1 \sim n}$ 的贡献，我们只关心 $(0, a_{i + 1}^{'}), (a_{i + 1}^{'}, a_{i + 2}^{'}), \dots, (a_{n - 1}^{'}, a_{n}^{'}), (a_{n}^{'}, n + 1)$ 内元素的数量（钦定 $a_{i + 1 \sim n}^{'}$ 为 $a_{i + 1 \sim n}$ 升序排序后的结果）。不妨将每一段内元素的数量作为状态进行转移。由相关理论可知和为 $n$ 的若干个数的积最大为 $e^{\frac{n}{e}}$ ，若必须为正整数则最大值规模大概是 $O (3^{\frac{n}{3}})$ 。
集合 $S$ 直接作为下标的话需要哈希表进行辅助，不妨直接将每段的长度作为当前段数的进制转成 int 类型的数作为下标，询问时再进行反着解码回去即可。
转移时枚举下一位选或不选刷表转移即可，注意因两段合成一段的下标移位问题。

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int a[50],suf[50][50],d[50],c[50][50];
vector<pair<int,ll> >f[50];
pair<int,ll> sx_min(pair<int,ll> a,pair<int,ll> b)
{
    if(a.first==b.first)  return make_pair(a.first,a.second+b.second);
    else  return (a.first<b.first)?a:b;
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("des.in","r",stdin);
    freopen("des.out","w",stdout);
#endif
    int n,id,tmp,sum,i,j,k,w;
    cin>>n;  a[n+1]=n+1;
    for(i=1;i<=n;i++)  cin>>a[i];
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        for(j=i+1;j<=n+1;j++)  
        {
            suf[i][0]++;  suf[i][suf[i][0]]=a[j];
        }
        sort(suf[i]+1,suf[i]+1+suf[i][0]);
        for(j=w=1;j<=suf[i][0];j++)
        {
            c[i][j]=w;  w*=((j==1)?suf[i][j]:(suf[i][j]-suf[i][j-1]));
        }
        f[i].resize(w);  fill(f[i].begin(),f[i].end(),make_pair(0x3f3f3f3f,0));
    }
    f[0][0]=make_pair(0,1);
    for(i=0;i<=n-1;i++)
    {
        id=0;
        for(j=1;j<=suf[i][0];j++)  if(suf[i][j]==a[i+1])  id=j;
        for(j=0;j<f[i].size();j++)
        {
            w=j;  sum=tmp=0;
            for(k=suf[i][0];k>=1;k--)
            {
                d[k]=w/c[i][k];  w%=c[i][k];
                if(k>=id+1)  sum+=d[k];
                if(k==id||k==id+1)  tmp+=d[k]*c[i+1][id];// 两段合成一段
                else  tmp+=d[k]*c[i+1][k-(k>=id+2)];//移位
            }
            f[i+1][tmp]=sx_min(f[i+1][tmp],f[i][j]);
            tmp+=c[i+1][id];// 段内元素数量 +1
            f[i+1][tmp]=sx_min(f[i+1][tmp],make_pair(f[i][j].first+sum,f[i][j].second));
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++)  cout<<f[n][i].first<<" "<<f[n][i].second<<endl;
    return 0;
}

$T 2^{'}$ B. 网格图 $100 p t s$

$n = 3$ 时做法同 2025多校冲刺省选模拟赛9 T2 B.雪雀。
$n = 1$ 时手推下，对答案的贡献系数为 $2 ((m - 1) + (m - i) (i - 1))$ 。

$n = 2$ 时类似 $n = 3$ 进行分治，但 $D P$ 转移简单了不少。

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const ll p=1000000007;
ll a[4][200010],L[4][4][200010],R[4][4][200010],d[600010],n,m,ans=0;
struct node
{
    ll x,y,val,op;
    bool operator < (const node &another) const
    {
        return (x==another.x)?(op<another.op):(x<another.x);
    }
};
vector<node>q;
struct BIT
{
    ll c[2][600010];
    void clear()
    {
        for(ll i=1;i<=d[0];i++)  c[0][i]=c[1][i]=0;
    }
    ll lowbit(ll x)
    {
        return (x&(-x));
    }
    void add(ll m,ll x,ll val1,ll val2)
    {
        for(ll i=x;i<=m;i+=lowbit(i))
        {
            c[0][i]=(c[0][i]+val1)%p;
            c[1][i]=(c[1][i]+val2)%p;
        }
    }
    ll getsum(ll x,ll val)
    {
        ll sum1=0,sum2=0;
        for(ll i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        {
            sum1=(sum1+c[0][i])%p;
            sum2=(sum2+c[1][i])%p;
        }
        return (sum1+sum2*val%p)%p;
    }
}T;
void work()
{
    T.clear();  sort(q.begin(),q.end());
    d[0]=0;
    for(ll i=0;i<q.size();i++)  d[++d[0]]=q[i].y;
    sort(d+1,d+1+d[0]);  d[0]=unique(d+1,d+1+d[0])-(d+1);
    for(ll i=0;i<q.size();i++)
    {
        q[i].y=lower_bound(d+1,d+1+d[0],q[i].y)-d;
        if(q[i].op==0)  T.add(d[0],q[i].y,q[i].val%p,1);
        else  ans=(ans+T.getsum(q[i].y,q[i].val%p))%p;
    }
}
struct Subtest1
{
    ll solve()
    {
        ll ans=0;
        for(ll i=1;i<=m;i++)  ans=(ans+a[1][i]*2%p*((m-1)%p+(m-i)%p*(i-1)%p)%p)%p;
        return ans;
    }
}S1;
struct Subtest2
{
    void dp(ll l,ll r,ll mid)
    {
        L[1][1][mid]=a[1][mid];  L[1][2][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];
        L[2][1][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];  L[2][2][mid]=a[2][mid];
        for(ll op=1;op<=2;op++)
        {
            for(ll i=mid-1;i>=l;i--)
            {
                L[op][1][i]=min({L[op][1][i+1]+a[1][i],L[op][2][i+1]+a[2][i]+a[1][i]});
                L[op][2][i]=min({L[op][2][i+1]+a[2][i],L[op][1][i+1]+a[2][i]+a[1][i]});
            }
        }
        mid++;
        R[1][1][mid]=a[1][mid];  R[1][2][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];
        R[2][1][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];  R[2][2][mid]=a[2][mid];
        for(ll op=1;op<=2;op++)
        {
            for(ll i=mid+1;i<=r;i++)
            {
                R[op][1][i]=min({R[op][1][i-1]+a[1][i],R[op][2][i-1]+a[2][i]+a[1][i]});
                R[op][2][i]=min({R[op][2][i-1]+a[2][i],R[op][1][i-1]+a[2][i]+a[1][i]});
            }
        }
    }
    void solve(ll l,ll r)
    {
        if(l==r)
        {
            ans=(ans+a[1][l]+a[2][l])%p;
            return;
        }
        ll mid=(l+r)/2;
        solve(l,mid);  solve(mid+1,r);
        dp(l,r,mid);
        for(ll z=1;z<=2;z++)
        {
            q.clear();
            ll x=((z==1)?2:1);
            for(ll op=1;op<=2;op++)
            {
                for(ll i=l;i<=mid;i++)  q.push_back((node){L[z][op][i]-L[x][op][i]+(z!=1),0,L[z][op][i],0});
                for(ll i=mid+1;i<=r;i++)  q.push_back((node){R[x][op][i]-R[z][op][i],0,R[z][op][i],1});
            }	
            work();
        }
    }
}S2;
struct Subtest3
{
    ll f[200010],g[200010];
    void init()
    {
        f[0]=g[m+1]=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
        for(ll i=1;i<=m;i++)  f[i]=min(f[i-1],a[2][i])+a[1][i]+a[3][i];
        for(ll i=m;i>=1;i--)  g[i]=min(g[i+1],a[2][i])+a[1][i]+a[3][i];
    }
    void dp(ll l,ll r,ll mid)
    {
        L[1][1][mid]=a[1][mid];  L[1][2][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];  L[1][3][mid]=min(f[mid],g[mid]);
        L[2][1][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];  L[2][2][mid]=a[2][mid];  L[2][3][mid]=a[2][mid]+a[3][mid];
        L[3][1][mid]=min(f[mid],g[mid]);  L[3][2][mid]=a[2][mid]+a[3][mid];  L[3][3][mid]=a[3][mid];
        for(ll op=1;op<=3;op++)
        {
            for(ll i=mid-1;i>=l;i--)
            {
                L[op][1][i]=min({L[op][1][i+1]+a[1][i],L[op][2][i+1]+a[2][i]+a[1][i],L[op][3][i+1]+f[i]});
                L[op][3][i]=min({L[op][1][i+1]+f[i],L[op][2][i+1]+a[2][i]+a[3][i],L[op][3][i+1]+a[3][i]});
                L[op][2][i]=min({L[op][1][i]+a[2][i],L[op][2][i+1]+a[2][i],L[op][3][i]+a[2][i]});
            }
        }
        mid++;
        R[1][1][mid]=a[1][mid];  R[1][2][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];  R[1][3][mid]=min(f[mid],g[mid]);
        R[2][1][mid]=a[1][mid]+a[2][mid];  R[2][2][mid]=a[2][mid];  R[2][3][mid]=a[2][mid]+a[3][mid];
        R[3][1][mid]=min(f[mid],g[mid]);  R[3][2][mid]=a[2][mid]+a[3][mid];  R[3][3][mid]=a[3][mid];
        for(ll op=1;op<=3;op++)
        {
            for(ll i=mid+1;i<=r;i++)
            {
                R[op][1][i]=min({R[op][1][i-1]+a[1][i],R[op][2][i-1]+a[2][i]+a[1][i],R[op][3][i-1]+g[i]});
                R[op][3][i]=min({R[op][1][i-1]+g[i],R[op][2][i-1]+a[2][i]+a[3][i],R[op][3][i-1]+a[3][i]});
                R[op][2][i]=min({R[op][1][i]+a[2][i],R[op][2][i-1]+a[2][i],R[op][3][i]+a[2][i]});
            }
        }
    }
    void solve(ll l,ll r)
    {
        if(l==r)
        {
            ans=(ans+a[1][l]+2*a[2][l]+a[3][l]+min(f[l],g[l]))%p;
            return;
        }
        ll mid=(l+r)/2;
        solve(l,mid);  solve(mid+1,r);
        dp(l,r,mid);
        for(ll z=1;z<=3;z++)
        {
            q.clear();
            ll x=((z==1)?2:1),y=((z==3)?2:3);
            for(ll op=1;op<=3;op++)
            {
                for(ll i=l;i<=mid;i++)  q.push_back((node){L[z][op][i]-L[x][op][i]+(z!=1),L[z][op][i]-L[y][op][i]+(z==3),L[z][op][i],0});
                for(ll i=mid+1;i<=r;i++)  q.push_back((node){R[x][op][i]-R[z][op][i],R[y][op][i]-R[z][op][i],R[z][op][i],1});
            }	
            work();
        }
    }
}S3;
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("grid.in","r",stdin);
    freopen("grid.out","w",stdout);
#endif
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        for(ll j=1;j<=m;j++)  cin>>a[i][j];
    }
    if(n==1)  cout<<S1.solve();
    if(n==2)
    {
        S2.solve(1,m);  cout<<ans*2%p<<endl;
    }
    if(n==3)
    {
        S3.init();
        S3.solve(1,m);  cout<<ans*2%p<<endl;
    }
    return 0;
}

$T 2$ HZTG2487. 选拔 $100 p t s$

部分分

$10 p t s$ ：输出大样例。
$30 p t s$ ：预处理所有字符串的哈希值。

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#include<bits/extc++.h>
using namespace __gnu_pbds;
const ll mod=1000003579,base=13331;
struct node
{
    int nxt,to,w;
}e[60010];
int head[30010],hsh[30010],cnt=0;
gp_hash_table<int,bool>vis;
char s[30010];
void add(int u,int v,int w)
{
    cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w};  head[u]=cnt;
}
int sx_hash(char s[],int len)
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=len;i++)  ans=(1ll*ans*base%mod+s[i])%mod;
    return ans;
}
void dfs(int x,int fa)
{
    vis[hsh[x]]=1;
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            hsh[e[i].to]=(1ll*hsh[x]*base%mod+e[i].w)%mod;
            dfs(e[i].to,x);
        }
    }
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("selection.in","r",stdin);
    freopen("selection.out","w",stdout);
#endif
    int n,m,u,v,i;
    char c;
    cin>>n;
    if(n==30000)
    {
        cout<<"NO\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nYES\nNO\nYES\nNO\nNO\nNO\nYES\n";
    }
    else
    {
        for(i=1;i<=n-1;i++)
        {
            cin>>u>>v>>c;
            add(u,v,c);  add(v,u,c);
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            hsh[i]=0;  dfs(i,0);
        }
        cin>>m;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>(s+1);
            cout<<((vis.find(sx_hash(s,strlen(s+1)))==vis.end())?"NO":"YES")<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

$100 p t s$ ：每组询问按位遍历所有字符串。

点击查看代码

struct node
{
    int nxt,to;
    char w;
}e[60010];
int head[30010],cnt=0,len,f[30010],g[30010],limit;
char s[30010];
void add(int u,int v,char w)
{
    cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w};  head[u]=cnt;
}
bool dfs(int x,int fa,int tot)
{
    if(tot==len+1)  return true;
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa&&e[i].w==s[tot]&&dfs(e[i].to,x,tot+1)==true)
        {
            return true;
        }
    }
    return false;
}
void dfs(int x,int fa)
{
    f[x]=g[x]=0;
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            dfs(e[i].to,x);
            if(f[e[i].to]+1>f[x])
            {
                g[x]=f[x];
                f[x]=f[e[i].to]+1;
            }
            else  g[x]=max(g[x],f[e[i].to]+1);
        }
    }
    limit=max(limit,f[x]+g[x]);
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("selection.in","r",stdin);
    freopen("selection.out","w",stdout);
#endif
    int n,m,u,v,flag,i,j;
    char c;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>u>>v>>c;
        add(u,v,c);  add(v,u,c);
    }
    dfs(1,0);
    cin>>m;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>(s+1);  len=strlen(s+1);  flag=0;
        for(j=1;j<=n&&flag==0&&len<=limit;j++)
        {
            if(dfs(j,0,1)==true)  flag=1;
        }
        cout<<((flag==0)?"NO":"YES")<<endl;
    }
    return 0;
}

正解

观察到模式串的出现方式一定是一条从下到上的路径和一条从上到下的路径拼起来。
设 $f_{x, i, j}$ 表示从下到上走到 $x$ 能否匹配 $t_{i, [1, j]}$ ， $g_{x, i, j}$ 表示从上到下从 $x$ 出发能否匹配 $t_{i, [j, | t_{i} |]}$ 。将所有模式串用特殊字符隔开后用 bitset 加速即可。
一种方便的代码实现是每两个模式串之间用两个特殊字符隔开分别作为前一个串的末尾和后一个串的开头辅助转移（即某条路径为空的情况），但空间开不下。单独处理路径为空的情况即可。
在 $D F S$ 的途中转移会爆递归栈。

点击查看代码

struct node
{
    int nxt,to,w;
}e[60010];
int head[30010],l[30010],r[30010],fa[30010],pos[30010],w[30010],tot=0,cnt=0;
bitset<60010>f[30010],g[30010],id[30],ans[3];
char s[60010],t[30010];
void add(int u,int v,int w)
{
    cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w};  head[u]=cnt;
}
void dfs(int x,int father)
{
    fa[x]=father;
    tot++;  pos[tot]=x;
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=father)
        {
            w[e[i].to]=e[i].w;
            dfs(e[i].to,x);
        }
    }
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("selection.in","r",stdin);
    freopen("selection.out","w",stdout);
#endif
    int n,m,len=0,_len,u,v,flag,i,j;
    char c;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>u>>v>>c;
        add(u,v,c-'a'+1);  add(v,u,c-'a'+1);
    }
    dfs(1,0);
    cin>>m;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>(t+1);  _len=strlen(t+1);
        len++;  s[len]='#';
        l[i]=len+1;
        for(j=1;j<=_len;j++)
        {
            len++;  s[len]=t[j];
        }
        r[i]=len;
    }
    for(i=1;i<=len;i++)  id[(s[i]=='#')?27:s[i]-'a'+1][i]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)  f[i]=g[i]=id[27];
    for(i=n;i>=1;i--)
    {
        u=pos[i];  v=fa[u];
        ans[1]|=f[u];  ans[2]|=g[u];
        ans[0]|=(f[u]<<1)&id[w[u]]&(g[v]>>1);
        ans[0]|=(f[v]<<1)&id[w[u]]&(g[u]>>1);
        f[v]|=(f[u]<<1)&id[w[u]];
        g[v]|=(g[u]>>1)&id[w[u]];
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        flag=ans[1][r[i]]|ans[2][l[i]];
        for(j=l[i];j<=r[i];j++)  flag|=ans[0][j];
        cout<<(flag==0?"NO":"YES")<<endl;
    }
    return 0;
}

$T 3$ C. 种苹果 $15 p t s$

原题： LibreOJ 6039. 「雅礼集训 2017 Day5」珠宝 /「NAIPC2016」Jewel Thief

部分分

$15 p t s$ ：暴力进行背包。

点击查看代码

const ll p=998244353;
ll f[1500010],b[300010],c[300010];
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("apple.in","r",stdin);
    freopen("apple.out","w",stdout);
#endif
    ll n,m=0,ans=0,base=20201205,i,j;
    scanf("%lld",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&b[i]);  m+=b[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&c[i]);
        for(j=m;j>=b[i];j--)  f[j]=max(f[j],f[j-b[i]]+c[i]);
    }
    for(i=1;i<=m+1;i++)  f[i-1]%=p;
    for(i=1;i<=m+1;i++,base=base*20201205%p)  ans=(ans+base*f[i-1]%p)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

正解

对同一重量的价值降序排序，内部选择时一定是一段前缀。
设 $f_{i, j}$ 表示仅考虑重量 $\in [1, i]$ 时重量 $\leq j$ 时的最大价值，状态转移方程为 $f_{i, j} = max {f_{i - 1, j - i k} + s_{i, k}}$ ，其中 $s_{i}$ 为重量为 $i$ 的前缀和。
观察到 $j \equiv (j - i k) (\mod i)$ ，考虑按照余数进行分组，则有 $f_{i, j} = max_{j \equiv k (\mod i), k \leq j} {f_{i - 1, k} + w (j, k)}$ ，其中 $w (j, k) = s_{i, \frac{j - k}{i}}$ 。
进一步地，观察到转移过程中具有决策单调性。具体地，若 $f_{i - 1, k^{'}} + w (j, k^{'}) < f_{i - 1, k} + w (j, k), k^{'} < k$ 则后续过程 $k^{'}$ 一定不如 $k$ 优，考虑新加入的长度为 $\frac{j^{'} - j}{i}$ 的贡献 $s_{i, \frac{j^{'} - k}{i}} - s_{i, \frac{j - k}{i}} \geq s_{i, \frac{j^{'} - k^{'}}{i}} - s_{i, \frac{j - k^{'}}{i}}$ 。
分治法加速即可。

点击查看代码

const ll p=998244353;
ll f[1500010],g[1500010],tmp[1500010],sum[1500010],x[1500010],y[1500010];
vector<ll>v[10];
void solve(ll l,ll r,ll x,ll y)
{
    if(l>r)  return;
    ll mid=(l+r)/2,opt=0;
    g[mid]=-0x3f3f3f3f3f3f3f;
    for(ll i=x;i<=min(y,mid);i++)
    {
        if(tmp[i]+sum[mid-i]>g[mid])
        {
            g[mid]=tmp[i]+sum[mid-i];
            opt=i;
        }
    }
    solve(l,mid-1,x,opt);  solve(mid+1,r,opt,y);
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("apple.in","r",stdin);
    freopen("apple.out","w",stdout);
#endif
    ll n,m=0,ans=0,base=20201205,i,j,k;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x[i];  m+=x[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>y[i];  v[x[i]].push_back(y[i]);
    }
    for(i=1;i<=5;i++)  
    {
        if(v[i].empty()==1)  continue;
        sort(v[i].begin(),v[i].end(),greater<ll>());
        for(j=1;j<=m/i;j++)  sum[j]=sum[j-1]+(j-1<v[i].size()?v[i][j-1]:0);// 因状态设计中表示的是 <=j 的最大价值，所以后面的也要处理（其实是分治的写法问题）
        for(j=0;j<=i-1;j++)
        {
            for(k=0;i*k+j<=m;k++)  tmp[k]=f[i*k+j];
            k--;  solve(0,k,0,k);
            for(k=0;i*k+j<=m;k++)  f[i*k+j]=g[k];
        }
    }
    for(i=1;i<=m+1;i++)  f[i-1]%=p;
    for(i=1;i<=m+1;i++,base=base*20201205%p)  ans=(ans+base*f[i-1]%p)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

总结

想了一整场 $T 1$ 怎么折半搜索。
$T 2^{'}$ 因 $n = 3$ 之前多校模拟赛出过，遂 $m i a o m i a o$ 换题了。

后记

题面中含有较多错别字。

posted @ 2025-02-15 20:59 hzoi_Shadow 阅读(81) 评论(7) 编辑收藏举报

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$T 1$ A. 逆序对 $56 p t s$

$T 2^{'}$ B. 网格图 $100 p t s$

$T 2$ HZTG2487. 选拔 $100 p t s$

$T 3$ C. 种苹果 $15 p t s$