P3081 [USACO13MAR] Hill Walk G 题解

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前置知识

李超线段树 | 扫描线

解法

自边缘处起跳等价于找到与 \(x=x_{2}\) 相交的直线中最大的 \(y \le y_{2}\)。普通的李超线段树不支持删除操作，直接套用貌似很难处理。

观察到若能从 \((x_{1},y_{1}) \to (x_{2},y_{2})\) 跳跃至 \((x_{1}',y_{1}') \to (x_{2}',y_{2}')\)，则一定有 \(x_{1}' \le x_{2}<x_{2}'\)。以 \(x_{1}\) 排序后顺次扫描线加入即可。

需要离散化和动态开点，注意计算函数值的时候要拿原值来算。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define ull unsigned long long
#define sort stable_sort 
#define endl '\n'
const double eps=1e-9,inf=1e18;
struct node
{
	int x1,y1,x2,y2,l,r,pos;
	bool operator < (const node &another) const
	{
		return x1<another.x1;
	}
}a[100010];
struct line
{	
	double k,b;
}li[100010];
int b[300010];
double f(int id,double x)
{
	return (id==0)?-inf:li[id].k*x+li[id].b;
}
bool cmp(int a,int b,int x)
{
	if(f(a,x)-f(b,x)>eps)  return true;
	if(f(b,x)-f(a,x)>eps)  return false;
	return a<b;
}
int sx_max(int a,int b,int x)
{
	return cmp(a,b,x)==true?a:b;
}
struct LiChao_Tree
{
	struct SegmentTree
	{
		int id;
	}tree[1200010];
	#define lson(rt) (rt<<1)
	#define rson(rt) (rt<<1|1)
	void add(int rt,int l,int r,int id)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		if(cmp(tree[rt].id,id,b[mid])==false)
		{
			swap(tree[rt].id,id);
		}
		if(cmp(tree[rt].id,id,b[l])==false)
		{
			add(lson(rt),l,mid,id);
		}
		if(cmp(tree[rt].id,id,b[r])==false)
		{
			add(rson(rt),mid+1,r,id);
		}
	}
	void update(int rt,int l,int r,int x,int y,int id)
	{
		if(x<=l&&r<=y)
		{
			add(rt,l,r,id);
			return;
		}
		int mid=(l+r)/2;
		if(x<=mid)
		{
			update(lson(rt),l,mid,x,y,id);
		}
		if(y>mid)
		{
			update(rson(rt),mid+1,r,x,y,id);
		}
	}
	int query(int rt,int l,int r,int pos)
	{
		if(l==r)
		{
			return tree[rt].id;
		}
		int mid=(l+r)/2;
		if(pos<=mid)
		{
			return sx_max(tree[rt].id,query(lson(rt),l,mid,pos),b[pos]);
		}
		else
		{
			return sx_max(tree[rt].id,query(rson(rt),mid+1,r,pos),b[pos]);
		}
	}
}T;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	int n,ans=0,i,j;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i].x1>>a[i].y1>>a[i].x2>>a[i].y2;
		b[++b[0]]=a[i].l=a[i].x1;
		b[++b[0]]=a[i].r=a[i].x2-1;
		b[++b[0]]=a[i].pos=a[i].x2;
	}
	sort(b+1,b+1+b[0]);
	b[0]=unique(b+1,b+1+b[0])-(b+1);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i].l=lower_bound(b+1,b+1+b[0],a[i].l)-b;
		a[i].r=lower_bound(b+1,b+1+b[0],a[i].r)-b;
		a[i].pos=lower_bound(b+1,b+1+b[0],a[i].pos)-b;
	}
	sort(a+2,a+1+n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		li[i].k=1.0*(a[i].y2-a[i].y1)/(a[i].x2-a[i].x1);
		li[i].b=a[i].y1-li[i].k*a[i].x1;
	}	
	for(i=1,j=2;i!=0;i=T.query(1,1,b[0],a[i].pos))
	{
		ans++;
		for(;j<=n&&a[j].x1<=a[i].x2;j++)
		{
			if(a[j].x2>a[i].x2&&f(j,a[i].x2)<=a[i].y2)
			{
				T.update(1,1,b[0],a[j].l,a[j].r,j);
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}