3.2025省选模拟12024-12-28

2025省选模拟1

题目来源： 2024省选联测1

$T 1$ HZTG5808. interval $40 p t s$

原题： QOJ 1173. Knowledge Is..
考虑按照左端点升序排序后反悔贪心。
分别维护已经匹配的区间对和未被匹配的区间，若当前区间 $a$ 可以和前面剩余的未被匹配的区间匹配则直接匹配；否则尝试找到一对已经匹配的区间 $x, y$ ，若 $y$ 的右端点比 $a$ 的右端点靠左则替换成 $x, a$ 进行匹配，可以证明将 $y$ 换成 $a$ 扩大了 $y$ 能匹配的区间（如果不换就是 $a$ 的匹配区间），一定不劣。

优先队列按照右端点升序排序即可。

点击查看代码

pair<int,int>a[500010];
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >used,wait;
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("interval.in","r",stdin);
	freopen("interval.out","w",stdout);
#endif
	int n,ans=0,i;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i].first,&a[i].second);
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(wait.empty()==0&&wait.top()<a[i].first)
		{
			ans++;
			used.push(a[i].second);
			wait.pop();
		}
		else
		{
			if(used.empty()==0&&used.top()<a[i].second)
			{
				wait.push(used.top());
				used.pop();
				used.push(a[i].second);
			}
			else
			{
				wait.push(a[i].second);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",ans);	
	return 0;
}

输出方案时只需要记录下来源后倒着给予编号即可。

点击查看代码

struct node
{
	int l,r,id;
}a[500010];
int col[500010];
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >used,wait;
bool cmp(node a,node b)
{
	return (a.l==b.l)?(a.r<b.r):(a.l<b.l);
}
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("interval.in","r",stdin);
	freopen("interval.out","w",stdout);
#endif
	int n,m,i;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
		a[i].id=i;
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(wait.empty()==0&&wait.top().first<a[i].l)
		{
			col[wait.top().second]=col[a[i].id]=m;
			m--;
			used.push(make_pair(a[i].r,a[i].id));
			wait.pop();
			if(m==0)
			{
				break;
			}
		}
		else
		{
			if(used.empty()==0&&used.top().first<a[i].r)
			{
				wait.push(used.top());
				col[a[i].id]=col[used.top().second];
				col[used.top().second]=0;
				used.pop();
				used.push(make_pair(a[i].r,a[i].id));
			}
			else
			{
				wait.push(make_pair(a[i].r,a[i].id));
			}
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(col[i]==0&&m>=1)
		{
			col[i]=m;
			m--;
		}
		printf("%d ",col[i]);
	}
	return 0;
}

$T 2$ HZTG5809. apers $0 p t s$

原题： QOJ 1359. Setting Maps
考虑扩展 $k = 1$ 时最小割的做法。
将一个点拆成入点 $i n_{x}$ 和出点 $o u t_{2}$ ，中间用容量为 $c_{x}$ 的边相连。
对经过地雷数进行分层，相邻两层从 $i n_{i, x}$ 向 $o u t_{i + 1, x}$ 连一条容量为 $\infty$ 的边表示在 $x$ 放置了地雷（割掉了 $i n_{i, x} \to o u t_{i, x}$ ）。

注意当图不连通时需要输出 $0$ 。

点击查看代码

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll a[210],id[2][10][210],tot=0;
vector<ll>ans;
struct MinCut
{
	struct node
	{
		ll nxt,to,cap,flow;
	}e[16010];
	ll head[3010],dis[3010],vis[3010],cur[3010],cnt=1;
	void add(ll u,ll v,ll w)
	{
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w,0};  head[u]=cnt;
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[v],u,0,0};  head[v]=cnt;
	}
	bool bfs(ll s,ll t)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<ll>q;
		dis[s]=1;  cur[s]=head[s];
		q.push(s);  vis[s]=1;
		while(q.empty()==0)
		{
			ll x=q.front();  q.pop();
			for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
			{
				if(vis[e[i].to]==0&&e[i].cap>e[i].flow)
				{
					dis[e[i].to]=dis[x]+1;  cur[e[i].to]=head[e[i].to];
					q.push(e[i].to);  vis[e[i].to]=1;
					if(e[i].to==t)  return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	ll dfs(ll x,ll t,ll flow)
	{
		if(x==t)  return flow;
		ll sum=0,tmp;
		for(ll i=cur[x];i!=0&&sum<flow;i=e[i].nxt)
		{
			cur[x]=i;
			if(dis[e[i].to]==dis[x]+1&&e[i].cap>e[i].flow)
			{
				tmp=dfs(e[i].to,t,min(e[i].cap-e[i].flow,flow-sum));
				if(tmp==0)  dis[e[i].to]=0;
				sum+=tmp;
				e[i].flow+=tmp;  e[i^1].flow-=tmp;
			}
		}
		return sum;
	}
	ll Dinic(ll s,ll t)
	{
		ll flow=0;
		while(bfs(s,t)==true)  flow+=dfs(s,t,inf);
		return flow;
	}
}C,D;
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("apers.in","r",stdin);
	freopen("apers.out","w",stdout);
#endif
	ll n,m,k,u,v,s,t,i,j;
	cin>>n>>m>>k>>s>>t;
	for(i=1;i<=k;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			tot++;  id[0][i][j]=tot;
			tot++;  id[1][i][j]=tot;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++) 
	{
		cin>>a[i];
		for(j=1;j<=k;j++)  
		{
			C.add(id[0][j][i],id[1][j][i],a[i]);
			if(j<=k-1)  C.add(id[0][j][i],id[1][j+1][i],inf);
		}
	} 
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>u>>v;  D.add(u,v,inf);
		for(j=1;j<=k;j++)  C.add(id[1][j][u],id[0][j][v],inf);
	}
	if(D.bfs(s,t)==true&&D.dis[t]<k)  cout<<-1<<endl;
	else  cout<<C.Dinic(id[0][1][s],id[1][k][t])<<endl;
	return 0;
}

输出方案同最小割构造。

点击查看代码

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll a[210],id[2][10][210],tot=0;
vector<ll>ans;
struct MinCut
{
	struct node
	{
		ll nxt,to,cap,flow;
	}e[16010];
	ll head[3010],dis[3010],vis[3010],cur[3010],cnt=1;
	void add(ll u,ll v,ll w)
	{
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w,0};  head[u]=cnt;
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[v],u,0,0};  head[v]=cnt;
	}
	bool bfs(ll s,ll t)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<ll>q;
		dis[s]=1;  cur[s]=head[s];
		q.push(s);  vis[s]=1;
		while(q.empty()==0)
		{
			ll x=q.front();  q.pop();
			for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
			{
				if(vis[e[i].to]==0&&e[i].cap>e[i].flow)
				{
					dis[e[i].to]=dis[x]+1;  cur[e[i].to]=head[e[i].to];
					q.push(e[i].to);  vis[e[i].to]=1;
					if(e[i].to==t)  return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	ll dfs(ll x,ll t,ll flow)
	{
		if(x==t)  return flow;
		ll sum=0,tmp;
		for(ll i=cur[x];i!=0&&sum<flow;i=e[i].nxt)
		{
			cur[x]=i;
			if(dis[e[i].to]==dis[x]+1&&e[i].cap>e[i].flow)
			{
				tmp=dfs(e[i].to,t,min(e[i].cap-e[i].flow,flow-sum));
				if(tmp==0)  dis[e[i].to]=0;
				sum+=tmp;
				e[i].flow+=tmp;  e[i^1].flow-=tmp;
			}
		}
		return sum;
	}
	ll Dinic(ll s,ll t)
	{
		ll flow=0;
		while(bfs(s,t)==true)  flow+=dfs(s,t,inf);
		return flow;
	}
}C,D;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("apers.in","r",stdin);
	freopen("apers.out","w",stdout);
#endif
	ll n,m,k,u,v,s,t,i,j;
	cin>>n>>m>>k>>s>>t;
	for(i=1;i<=k;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			tot++;  id[0][i][j]=tot;
			tot++;  id[1][i][j]=tot;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++) 
	{
		cin>>a[i];
		for(j=1;j<=k;j++)  
		{
			C.add(id[0][j][i],id[1][j][i],a[i]);
			if(j<=k-1)  C.add(id[0][j][i],id[1][j+1][i],inf);
		}
	} 
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>u>>v;  D.add(u,v,inf);
		for(j=1;j<=k;j++)  C.add(id[1][j][u],id[0][j][v],inf);
	}
	if(D.bfs(s,t)==true&&D.dis[t]<k)  cout<<-1<<endl;
	else 
	{
		C.Dinic(id[0][1][s],id[1][k][t]);
		for(i=1;i<=k;i++)
		{
			for(j=1;j<=n;j++)
			{
				if(C.vis[id[0][i][j]]==1&&C.vis[id[1][i][j]]==0)  ans.push_back(j);
			}
		}
		cout<<ans.size()<<endl;
		for(i=0;i<ans.size();i++)  cout<<ans[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

$T 3$ HZTG5810. circles $0 p t s$

原题： QOJ 838. Horrible Cycles
先按照 ${a}$ 升序排序。
观察到最终的环一定是左右部点交错出现。在枚举右部点的过程中，每加入一个左部点与此同时与先前的所有右部点进行连边，可以看做左部点将若干个链连接形成了环。
设 $f_{i, j}$ 表示处理到第 $i$ 个右部点且还需要 $j$ 个左部点进行连接的环的数量。当新加入一个右部点的时候，可以作为一条单独的链加入先前状态集合，有 $f_{i, j} \leftarrow f_{i - 1, j} + (j - 1) f_{i - 1, j - 1}$ ，边界为 $f_{i, 1} \leftarrow f_{i - 1, 1} + 1$ 。接着添加左端点，类似地，有 $f_{i, j} \leftarrow f_{i, j} + (j + 1) f_{i, j + 1}$ 。

在更新过程中每个环仅会在最大左部点断开位置处进行计算，但每个环在两个方向上均会对答案产生一次贡献；且每条边产生了一次贡献但不应在最终的答案中，故 $\frac{1}{2} (f_{0} - \sum_{i = 1}^{n} a_{i})$ 即为所求。

点击查看代码

const ll p=1000000007;
ll a[5010],f[5010];
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
	ll ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ans=ans*a%p;
		}
		b>>=1;
		a=a*a%p;
	}
	return ans;
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("circles.in","r",stdin);
	freopen("circles.out","w",stdout);
#endif
	ll n,sum=0,i,j,k;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		sum=(sum+a[i])%p;
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	for(i=j=1;i<=n;i++)
	{
		for(k=n;k>=2;k--)
		{
			f[k]=(f[k]+(k-1)*f[k-1]%p)%p;
		}
		f[1]=(f[1]+1)%p;
		for(;j<=n&&a[j]==i;j++)
		{
			for(k=0;k<=n;k++)
			{
				f[k]=(f[k]+(k+1)*f[k+1]%p)%p;
			}
		}
	}
	cout<<(f[0]-sum+p)%p*qpow(2,p-2,p)%p<<endl;
	return 0;
}

总结

整场都在罚坐。

posted @ 2024-12-28 19:38 hzoi_Shadow 阅读(30) 评论(0) 编辑收藏举报

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