2025--炼石计划-- 11 月 13 日 --NOIP 模拟赛 #20

\(T1\) A. 邻间的骰子之舞 \(70pts\)

等价于求在满足 \(\prod\limits_{i=1}^{m}k_{i}>n(k_{i} \ge 2)\) 的情况下 \(xm+(-m+\sum\limits_{i=1}^{m}k_{i})y\) 的最小值。
\(m\) 上界为 \(\left\lceil \log_{2}n \right\rceil\) ，在 \(n=10^{18}\) 时取到 \(60\) 。

部分分

子任务 \(1\) ：打表加手摸。
子任务 \(3\) ：爆搜。

点击查看代码

ll ans=0x7f7f7f7f;
void dfs(ll dep,ll n,ll mul,ll sum,ll x,ll y)
{
    if(mul>n)
    {
        ans=min(ans,dep*x+(sum-dep)*y);
        return;
    }
    for(ll i=2;i<=n+1;i++)
    {	
        dfs(dep+1,n,i*mul,sum+i,x,y);
        if(i*mul>n)
        {
            break;
        }
    }
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("dice.in","r",stdin);
    freopen("dice.out","w",stdout);
#endif
    ll n,m,dis,cnt,x,y,i,j,k;
    cin>>n>>x>>y;
    if(x==1&&y==1)
    {
        ans=2;
        cnt=dis=m=1;
        for(cnt=dis=m=1,ans=2;m<n;m+=dis)
        {
            if(cnt%3==0)
            {
                dis*=2;
            }
            if(cnt%3==1)
            {
                dis+=dis/2;
            }
            ans++;
            cnt++;
            if(n<=m+dis-1)
            {
                break;
            }
        }
    }
    else
    {
        dfs(0,n,1,0,x,y);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

正解

考虑枚举 \(m\) ，此时需要求 \(\sum\limits_{i=1}^{m}k_{i}\) 的最小值，由均值不等式先令 \(k_{i}=\max(2,\left\lfloor \sqrt[m]{n} \right\rfloor)\) ，然后再进行适当调整加 \(1\) 。
在对拍时发现直接使用 pow(n,1.0/m) 可能会出现精度问题，多调整一遍即可。
中途会爆 long long ，使用 unsigned long long 代替即可。

点击查看代码

ull f[70][70];
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("dice.in","r",stdin);
    freopen("dice.out","w",stdout);
#endif
    ull n,x,y,ans=0x7f7f7f7f7f7f7f7f,sum,mul,i,j;
    cin>>n>>x>>y;
    for(i=1;i<=60;i++)
    {
        sum=0;
        mul=1;
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            f[i][j]=max(2.0,pow(n,1.0/i));
            mul*=f[i][j];
            sum+=f[i][j];
        }
        while(mul<=n)//至多对全局加两遍
        {
            for(j=1;j<=i&&mul<=n;j++)
            {
                mul/=f[i][j];
                f[i][j]++;
                mul*=f[i][j];
                sum++;
            }
        }
        ans=min(ans,x*i+(sum-i)*y);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

\(T2\) B. 星海浮沉录 \(20pts\)

部分分

\(20pts\) ：观察到 \(\operatorname{mex}\) 随区间长度增大不降，只取长度 \(=x\) 的区间进行判断。权值线段树维护即可。

点击查看代码

struct SMT
{
    struct SegmentTree
    {
        int len,sum,cnt;
    }tree[500010];
    int lson(int x)
    {
        return x*2;
    }
    int rson(int x)
    {
        return x*2+1;
    }
    void pushup(int rt)
    {
        tree[rt].sum=tree[lson(rt)].sum+tree[rson(rt)].sum;
    }
    void build(int rt,int l,int r)
    {
        tree[rt].len=r-l+1;
        tree[rt].sum=tree[rt].cnt=0;
        if(l==r)
        {
            return;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        build(lson(rt),l,mid);
        build(rson(rt),mid+1,r);
    }
    void update(int rt,int l,int r,int pos,int val)
    {
        if(l==r)
        {
            tree[rt].cnt+=val;
            tree[rt].sum=(tree[rt].cnt>=1);
            return;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(pos<=mid)
        {
            update(lson(rt),l,mid,pos,val);
        }
        else
        {
            update(rson(rt),mid+1,r,pos,val);
        }
        pushup(rt);
    }
    int query(int rt,int l,int r)
    {
        if(l==r)
        {
            return l;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(tree[lson(rt)].sum==tree[lson(rt)].len)
        {
            return query(rson(rt),mid+1,r);
        }
        else
        {
            return query(lson(rt),l,mid);
        }
    }
}T;	
int a[500010];
int query(int n,int x)
{
    T.build(1,0,n);
    int ans=0x7f7f7f7f;
    for(int i=1;i<=x;i++)
    {
        T.update(1,0,n,a[i],1);
    }
    ans=min(ans,T.query(1,0,n));
    for(int i=x+1;i<=n;i++)
    {
        T.update(1,0,n,a[i-x],-1);
        T.update(1,0,n,a[i],1);
        ans=min(ans,T.query(1,0,n));
    }
    return ans;
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("star.in","r",stdin);
    freopen("star.out","w",stdout);
#endif
    int n,q,pd,x,i;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d%d",&pd,&x);
        if(pd==1)
        {
            swap(a[x],a[x+1]);
        }
        else
        {
            printf("%d\n",query(n,x));
        }
    }
    return 0;
}

正解

考虑找到一个最小的 \(k \in [0,n]\) 使得存在一个长度 \(=x\) 的区间不包含 \(k\) 。即若设 \(pos_{i,j}\) 表示 \(i\) 在原数列中第 \(j\) 次出现的位置，等价于求最小的 \(k\) 满足存在 \(j\) 使得 \(pos_{k,j}-pos_{k,j-1}>x\) 。
每个数的全局 \(\max\) 临项差修改时使用 multiset 一并维护，线段树维护前缀 \(\max\) 后在线段树上二分即可。

点击查看代码

int a[500010],id[500010];
vector<int>pos[500010];
multiset<int>s[500010];
struct SMT
{
    struct SegmentTree
    {
        int maxx;
    }tree[2000010];
    int lson(int x)
    {
        return x*2;
    }
    int rson(int x)
    {
        return x*2+1;
    }
    void pushup(int rt)
    {
        tree[rt].maxx=max(tree[lson(rt)].maxx,tree[rson(rt)].maxx);
    }
    void build(int rt,int l,int r)
    {
        if(l==r)
        {
            tree[rt].maxx=*prev(s[l].end());
            return;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        build(lson(rt),l,mid);
        build(rson(rt),mid+1,r);
        pushup(rt);
    }
    void update(int rt,int l,int r,int pos,int val)
    {
        if(l==r)
        {
            tree[rt].maxx=val;
            return;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(pos<=mid)
        {
            update(lson(rt),l,mid,pos,val);
        }
        else
        {
            update(rson(rt),mid+1,r,pos,val);
        }
        pushup(rt);
    }
    int query(int rt,int l,int r,int k)
    {
        if(l==r)
        {
            return l;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(tree[lson(rt)].maxx>k)
        {
            return query(lson(rt),l,mid,k);
        }
        else
        {
            return query(rson(rt),mid+1,r,k);
        }
    }
}T;	
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("star.in","r",stdin);
    freopen("star.out","w",stdout);
#endif
    int n,q,pd,x,i;
    cin>>n>>q;
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        pos[i].push_back(0);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        id[i]=pos[a[i]].size();
        s[a[i]].insert(i-pos[a[i]].back());
        pos[a[i]].push_back(i);
    }
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        s[i].insert(n+1-pos[i].back());
        pos[i].push_back(n+1);
    }
    T.build(1,0,n);
    for(i=1;i<=q;i++)
    {
        cin>>pd>>x;
        if(pd==1)
        {
            if(a[x]!=a[x+1])
            {	
                s[a[x]].erase(s[a[x]].find(pos[a[x]][id[x]]-pos[a[x]][id[x]-1]));
                s[a[x]].erase(s[a[x]].find(pos[a[x]][id[x]+1]-pos[a[x]][id[x]]));
                pos[a[x]][id[x]]++;
                s[a[x]].insert(pos[a[x]][id[x]]-pos[a[x]][id[x]-1]);
                s[a[x]].insert(pos[a[x]][id[x]+1]-pos[a[x]][id[x]]);
                T.update(1,0,n,a[x],*prev(s[a[x]].end()));
                x++;
                s[a[x]].erase(s[a[x]].find(pos[a[x]][id[x]]-pos[a[x]][id[x]-1]));
                s[a[x]].erase(s[a[x]].find(pos[a[x]][id[x]+1]-pos[a[x]][id[x]]));
                pos[a[x]][id[x]]--;
                s[a[x]].insert(pos[a[x]][id[x]]-pos[a[x]][id[x]-1]);
                s[a[x]].insert(pos[a[x]][id[x]+1]-pos[a[x]][id[x]]);
                T.update(1,0,n,a[x],*prev(s[a[x]].end()));
                swap(a[x],a[x-1]);
                swap(id[x],id[x-1]);
            }
        }
        else
        {
            cout<<T.query(1,0,n,x)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

\(T3\) C. 勾指起誓 \(12pts\)

部分分

\(Subtask 1\) ：模拟。

点击查看代码

const ll p=998244353;
ll ans[30],a[100010];
char c[100010][30];
vector<ll>tmp;
set<ll>s;
set<ll>::iterator it;
int main()
{
#define Issac
#ifdef Issac
    freopen("yilihun.in","r",stdin);
    freopen("yilihun.out","w",stdout);	
#endif
    ll n,m,cnt,i;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",c[i]+1);
        a[i]=i;
    }
    do
    {
        s.clear();
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            s.insert(i);
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            cnt=0;
            for(it=s.begin();it!=s.end();it++)
            {
                cnt+=(c[a[i]][*it]=='1');
            }
            if(cnt==0||cnt==s.size())
            {
                continue;	
            }
            for(it=s.begin();it!=s.end();it++)
            {
                if(c[a[i]][*it]=='0')
                {
                    tmp.push_back(*it);
                }
            }
            while(tmp.empty()==0)
            {
                s.erase(tmp.back());
                tmp.pop_back();
            }
        }
        for(it=s.begin();it!=s.end();it++)
        {
            ans[*it]=(ans[*it]+1)%p;
        }
    }while(next_permutation(a+1,a+1+n));
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        printf("%lld\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

正解

\(T4\) D. 第八交响曲 \(0pts\)

部分分

\(10pts\) ：\(\frac{n(n-1)}{2}\) 次暴力判断。

点击查看代码

int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("symphony.in","r",stdin);
    freopen("symphony.out","w",stdout);
#endif
    int n,i,j;
    cin>>n;
    cout<<n*(n-1)/2<<endl;
    for(i=n;i>=1;i--)
    {
        for(j=1;j<i;j++)
        {
            cout<<"CMPSWP R"<<j<<" R"<<i<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

正解

观察到部分排序间可以并行，考虑双调排序。
- 双调序列是指满足先单调递增后单调递减（单峰）或先单调递减后单调递增（单谷），或者可以通过循环位移满足上述条件的序列。
- \(Batcher\) 定理：将一个长度为 \(2n\) 的双调序列 \(\{ a \}\) 分成 \([1,n],[n+1,2n]\) 两部分，分别将 \(a_{i}\) 与 \(a_{i+n}(i \in [1,n])\) 进行比较，较大者放入 \(\max\) 序列，较小者放入 \(\min\) 序列，则得到的 \(\max,\min\) 序列仍为双调序列，且 \(\max\) 序列中的任意一个元素不小于 \(\min\) 序列中的任意一个元素。
  - 分讨加手摸即可证明。
- 双调排序的基本思路是将原序列排序成双调序列，然后将双调序列排序成单调序列。
  - 对于前者先将原序列分成两半，前后分别递归排序成递增/递减序列，然后就得到了一个双调序列。
  - 将后面的序列翻转后就变成了单峰序列，然后利用 \(Batcher\) 定理进行排序。
先将 \(n\) 扩充成 \(2\) 的整数次幂，空位补充一个极大值，最后再进行忽略。
分治树的每一层所有操作均可以并行进行。
单位时间数为 \(\sum\limits_{i=1}^{\left\lceil \log_{2}n \right\rceil}i=\frac{\left\lceil \log_{2}n \right\rceil(\left\lceil \log_{2}n \right\rceil+1)}{2}\)

点击查看代码

int pos[210],id[210][210],cnt=0;
vector<pair<int,int> >ans[210];
void divide(int l,int r,int dep,int hdep)
{
    if(l==r)
    {
        return;
    }
    if(id[dep][hdep]==0)
    {
        cnt++;
        id[dep][hdep]=cnt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    for(int i=l;i<=mid;i++)
    {
        if(mid+i-l+1<=r)
        {
            ans[id[dep][hdep]].push_back(make_pair(i,mid+i-l+1));//分成两半进行比较
        }
    }
    divide(l,mid,dep+1,hdep);
    divide(mid+1,r,dep+1,hdep);
}
void solve(int l,int r,int dep)
{
    if(l==r)
    {
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    solve(l,mid,dep+1);
    solve(mid+1,r,dep+1);
    if(pos[dep]==0)
    {
        cnt++;
        pos[dep]=cnt;
    }
    for(int i=1;i<=mid;i++)
    {
        if(l+i-1<r-i+1)//翻转
        {
            ans[pos[dep]].push_back(make_pair(l+i-1,r-i+1));
        }
    }
    divide(l,mid,dep+1,dep);
    divide(mid+1,r,dep+1,dep);
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("symphony.in","r",stdin);
    freopen("symphony.out","w",stdout);
#endif
    int n,len=1,i,j;
    cin>>n;
    for(len=1;len<n;len<<=1);
    solve(1,len,1);
    cout<<cnt<<endl;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        for(int j=0;j<ans[i].size();j++)
        {
            if(ans[i][j].first<=n&&ans[i][j].second<=n)
            {
                cout<<"CMPSWP R"<<ans[i][j].first<<" R"<<ans[i][j].second<<" ";
            }
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

总结

\(T1\) 炸 long long 了，挂了 \(30pts\) ；最后 \(20 \min\) 才成功口胡出正解。
\(T4\) 多写了个 = ，挂了 \(10pts\) 。

后记

\(T4\) 附加文件仅下发了 checker.cpp ，但没下发 testlib 。而且 checker.cpp 检验合法时直接 rand() 排列进行判断。

点击查看代码

// Author : HeRaNO
// Modified by YunQian

#include "testlib.h"
#define MAXN 105

const int testCase = 100;
const int changeTime = 5;
const int swapTime = 5;

int N[] = {0, 8, 13, 16, 32, 53, 64, 73, 82, 91, 100};
int T[11][3]={
    {0, 0, 0},
    {28, 9, 6},
    {78, 14, 10},
    {120, 17, 10},
    {496, 33, 15},
    {1378, 54, 21},
    {2016, 65, 21},
    {2628, 74, 28},
    {3321, 83, 28},
    {4095, 92, 29},
    {4950, 101, 30}
};

int n;

bool isdigit(std::string &s)
{
    for (char i : s)
        if (!(i >= '0' && i <= '9'))
            return false;
    return true;
}

std::vector<std::pair<int, int>> valid(int line, std::vector<std::string> &instructions)
{
    std::vector<bool> vis(n + 1, false);
    std::vector<std::pair<int, int>> res;
    quitif(instructions.size() % 3 != 0, _wa, "wrong parameters format (line #%d)", line);
    for (int i = 0; i < instructions.size() / 3; i++)
    {
        std::string instruction = instructions[3 * i];
        std::string R1 = instructions[3 * i + 1];
        std::string R2 = instructions[3 * i + 2];
        quitif(instruction != "CMPSWP", _wa, "wrong instruction name: %s (line #%d - instruction #%d)", instruction.c_str(), line, i + 1);
        quitif(R1.front() != 'R', _wa, "wrong register Ri name: %s (line #%d - instruction #%d)", R1.c_str(), line, i + 1);
        quitif(R2.front() != 'R', _wa, "wrong register Rj name: %s (line #%d - instruction #%d)", R2.c_str(), line, i + 1);
        int r1, r2;
        R1 = R1.substr(1);
        R2 = R2.substr(1);
        quitif(!isdigit(R1), _wa, "wrong register Ri format: R%s (line #%d - instruction #%d)", R1.c_str(), line, i + 1);
        quitif(!isdigit(R2), _wa, "wrong register Rj format: R%s (line #%d - instruction #%d)", R2.c_str(), line, i + 1);
        try {
            r1 = std::stoi(R1);
            r2 = std::stoi(R2);
        } catch (std::exception& err) {
            quitf(_wa, "wrong register format: %s (line #%d - instruction #%d)", err.what(), line, i + 1);
        }
        quitif(!(1 <= r1 && r1 <= n), _wa, "wrong register Ri format: i < 1 or i > n (line #%d - instruction #%d)", line, i + 1);
        quitif(!(1 <= r2 && r2 <= n), _wa, "wrong register Ri format: i < 1 or i > n (line #%d - instruction #%d)", line, i + 1);
        quitif(r1 == r2, _wa, "R%d is used twice in line #%d", r1, line);
        quitif(vis[r1], _wa, "R%d is used twice in line#%d", r1, line);
        quitif(vis[r2], _wa, "R%d is used twice in line#%d", r2, line);
        vis[r1] = vis[r2] = true;
        res.push_back({r1, r2});
    }
    return res;
}

void cmpswp(int &a, int &b)
{
    if (a > b) std::swap(a, b);
    return ;
}

bool canSwap(std::vector<int> rs, const std::vector<std::pair<int, int>> &allSwapR)
{
    for (auto [r1, r2] : allSwapR)
        cmpswp(rs[r1 - 1], rs[r2 - 1]);
    return std::is_sorted(rs.begin(), rs.end());
}

void testSort(const std::vector<std::pair<int, int>> &allSwapR, bool isRandom = true, bool desc = false)
{
    for (int change = 1; change <= changeTime; change++)
    {
        std::vector<int> rs(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            rs[i] = rnd.next(n);
        if (!isRandom)
        {
            if (desc)
                std::sort(rs.begin(), rs.end(), std::greater<int>());
            else
                std::sort(rs.begin(), rs.end());
        }
        for (int i = 1; i <= testCase; i++)
        {
            if (!canSwap(rs, allSwapR))
                quitf(_wa, "the commands are wrong - test case %d (random: %s, desc: %s)", i, isRandom ? "true" : "false", desc ? "true" : "false");
            int swapT = rnd.next(1, swapTime);
            while (swapT--)
            {
                // std::vector<int> swapPos = rnd.distinct(2, 0, n - 1);
                // int a = swapPos.front();
                // int b = swapPos.back();
                int a=rnd.next(n), b=rnd.next(n - 1);
                if(b>=a)b++;
                std::swap(rs[a], rs[b]);
            }
        }
    }
    return ;
}

void registerGenForTest(int argc, char *argv[])
{
    random_t::version = 1;
    rnd.setSeed(argc, argv);
    return ;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    registerTestlibCmd(argc, argv);
    registerGenForTest(argc, argv);
    n = inf.readInt();
    int testCase = 0;
    for (int i = 1; i <= 10; i++)
        if (N[i] == n)
            testCase = i;
    quitif(!testCase, _fail, "didn't found the testcase which n = %d", n);
    std::vector<std::pair<int, int>> allSwapR;
    int t1 = T[testCase][0];
    int t2 = T[testCase][1];
    int t3 = T[testCase][2];
    int t = ouf.readInt();
    ouf.nextLine();
    quitif(t > t1, _wa, "t > t1");
    for (int i = 1; i <= t; i++)
    {
        std::string program;
        std::vector<std::string> instructions;
        std::vector<std::pair<int, int>> swapR;
        ouf.readLineTo(program);
        instructions = split(trim(program), ' ');
        swapR = valid(i, instructions);
        for (auto item: swapR)
            allSwapR.push_back(item);
    }
    testSort(allSwapR);
    testSort(allSwapR, false);
    testSort(allSwapR, false, true);
    if (t1 >= t && t > t2)
        quitp(round(10.0 + 20.0 / (t - t2))/100.0, "correct answer with t1 = %d >= t = %d > t2 = %d", t1, t, t2);
    if (t2 >= t && t > t3)
        quitp(round(30.0 + 70.0 * (t2 - t + 1) / (t2 - t3))/100.0, "correct answer with t2 = %d >= t = %d > t3 = %d", t2, t, t3);
    quitf(_ok, "correct answer with t = %d <= t3 = %d", t, t3);
    return 0;
}

posted @ 2024-11-14 20:57 hzoi_Shadow 阅读(33) 评论(0) 编辑收藏举报

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世上只有一种英雄主义，就是认清生活的真相后，依然热爱生活。纵使世界万般残酷，总有温暖值得守护……

2025--炼石计划-- 11 月 13 日 --NOIP 模拟赛 #20

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\(T1\) A. 邻间的骰子之舞 \(70pts\)

\(T2\) B. 星海浮沉录 \(20pts\)

\(T3\) C. 勾指起誓 \(12pts\)

\(T4\) D. 第八交响曲 \(0pts\)

总结

后记

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