P5479 [BJOI2015] 隐身术 题解

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前置知识

后缀数组简介 | 字符串哈希 | 二分

解法

考虑分别计算出编辑距离恰好等于 \(k_{0} \in [0,k]\) 的答案。

观察在编辑距离的存在下，长度差至多为 \(k\)。

考虑设 \(f_{i,j}\) 表示最大的 \(x\) 使得 \(s_{1 \sim x}\) 和 \(t_{1 \sim x+j}\) 可以在 \(i\) 次编辑内得到，即从 \(1\) 开始操作 \(i\) 次且长度增加 \(j\) 的最大匹配位置。

• 显然 \(x,i\) 具有单调性。

转移时考虑截取一段 \(t\) 的后缀进行转移。

假设已经操作完了，那么 \(f_{i,j}\) 能向外延伸的就是 \(s_{f_{i,j}+1,|s|}\) 和 \(t_{f_{i,j}+j+1,|t|}\) 的公共前缀，查询 \(\operatorname{LCP}\) 进行更新即可。

\(\operatorname{LCP}\) 可以用二分哈希单次 \(O(\log n)\) 查询，也可以后缀数组 \(O(n \log n)\) 预处理完 \(O(1)\) 查询。
转移时考虑刷表，分别对 \(f_{i+1,j-1},f_{i+1,j},f_{i+1,j+1}\) 进行转移（三者分别对应删除、替换、添加）。

• 注意下标为负数时的移位。

统计贡献时在遇到第一个合法的 \(i\) 加入贡献即可。

如果用后缀数组的话时间复杂度为 \(O(nk^{2}+n \log n)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define ull unsigned long long
#define sort stable_sort 
#define endl '\n'
int f[15][25],ans[15];
char s[100010],t[100010],tmp[100010];
struct SA
{
	struct ST
	{
		int fminn[100010][25];
		void init(int n,int a[])
		{
			memset(fminn,0x3f,sizeof(fminn));
			for(int i=1;i<=n;i++)
			{
				fminn[i][0]=a[i]; 
			}
			for(int j=1;j<=log2(n);j++)
			{
				for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
				{
					fminn[i][j]=min(fminn[i][j-1],fminn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
				}
			}
		}
		int query(int l,int r)
		{
			if(l>r)
			{
				swap(l,r);
			}
			l++;
			int t=log2(r-l+1);
			return min(fminn[l][t],fminn[r-(1<<t)+1][t]);
		}
	}T;
	int sa[100010],rk[200010],oldrk[200010],id[100010],cnt[100010],key[100010],height[100010];
	int val(char x)
	{
		return (int)x;
	}
	void counting_sort(int n,int m)
	{
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cnt[key[i]]++;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			cnt[i]+=cnt[i-1];
		}
		for(int i=n;i>=1;i--)
		{
			sa[cnt[key[i]]]=id[i];
			cnt[key[i]]--;
		}
	}
	void init(char s[],int len)
	{
		int m=127,tot=0,num=0;
		for(int i=1;i<=len;i++)
		{
			rk[i]=val(s[i]);
			id[i]=i;
			key[i]=rk[id[i]];
		}
		counting_sort(len,m);
		for(int w=1;tot!=len;w<<=1,m=tot)
		{
			num=0;
			for(int i=len;i>=len-w+1;i--)
			{
				num++;
				id[num]=i;
			}
			for(int i=1;i<=len;i++)
			{
				if(sa[i]>w)
				{
					num++;
					id[num]=sa[i]-w;
				}
			}
			for(int i=1;i<=len;i++)
			{
				key[i]=rk[id[i]];
			}
			counting_sort(len,m);
			for(int i=1;i<=len;i++)
			{
				oldrk[i]=rk[i];
			}
			tot=0;
			for(int i=1;i<=len;i++)
			{
				tot+=(oldrk[sa[i]]!=oldrk[sa[i-1]]||oldrk[sa[i]+w]!=oldrk[sa[i-1]+w]);
				rk[sa[i]]=tot;
			}
		}
		for(int i=1,j=0;i<=len;i++)
		{
			j-=(j>=1);
			while(s[i+j]==s[sa[rk[i]-1]+j])
			{
				j++;
			}
			height[rk[i]]=j;
		}
		T.init(len,height);
	}
	int lcp(int x,int y)
	{
		return T.query(rk[x],rk[y]);
	}
}S;
int main()
{
	int k,lens,lent,sum=0,i,j,h;
	cin>>k>>(s+1)>>(t+1);
	lens=strlen(s+1);
	lent=strlen(t+1);
	for(i=1;i<=lens;i++)
	{
		tmp[i]=s[i];
	}
	tmp[lens+1]='&';
	for(i=1;i<=lent;i++)
	{
		tmp[lens+1+i]=t[i];
	}
	S.init(tmp,lens+1+lent);
	for(h=1;h<=lent;h++)
	{	
		memset(f,-0x3f,sizeof(f));
		f[0][k]=0;
		for(i=0;i<=k;i++)
		{
			for(j=-k;j<=k;j++)
			{
				if(f[i][j+k]>=0&&f[i][j+k]+j>=0&&f[i][j+k]+j+h-1<=lent)
				{
					if(f[i][j+k]+1<=lens&&f[i][j+k]+j+1+h-1+lens+1<=lens+1+lent)
					{
						f[i][j+k]+=S.lcp(f[i][j+k]+1,f[i][j+k]+j+1+h-1+lens+1);
					}
					if(j-1+k>=0)
					{
						f[i+1][j-1+k]=max(f[i+1][j-1+k],f[i][j+k]+(f[i][j+k]!=lens));
					}
					f[i+1][j+k]=max(f[i+1][j+k],f[i][j+k]+(f[i][j+k]!=lens));
					f[i+1][j+1+k]=max(f[i+1][j+1+k],f[i][j+k]);
				}
			}
		}
		for(j=-k;j<=k;j++)
		{
			for(i=0;i<=k;i++)
			{
				if(f[i][j+k]==lens&&lens+j>0&&lens+j+h-1<=lent)
				{
					ans[i]++;
					break;
				}
			}
		}
	}
	for(i=0;i<=k;i++)
	{
		sum+=ans[i];
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

后记

多倍经验：QOJ 5312.Levenshtein Distance