NOIP2024加赛2

题目来源： 2023NOIP A层联测18

\(T1\) HZTG5733. 新的阶乘 \(100pts\)

预处理素数后直接对 \(1 \sim n\) 进行质因数分解因为有太多冗余枚举导致无法通过。
考虑枚举最终形式。具体地，从质因数的角度入手，设当前枚举的质数为 \(p\) ，暴力求出 \(ip\) 中 \(p\) 的指数即可。

时间复杂度为 \(1 \sim n\) 中每个数质因数分解后的各指数之和 \(=O(n \log n)\) ，在 \(1s\) 内仅能处理 \(3 \times 10^{7}\) 以内的数据。

时间复杂度在于暴力求 \(ip\) 中 \(p\) 的指数。

点击查看代码

ll prime[700010],c[700010],len=0;
bool vis[10000010];
void isprime(ll n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(ll i=2;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            len++;
            prime[len]=i;
        }
        for(ll j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}
ll ask(ll n,ll p)
{
    ll ans=0;
    while(n%p==0)
    {
        ans++;
        n/=p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("factorial.in","r",stdin);
    freopen("factorial.out","w",stdout);
    ll n,cnt,mul,i,j;
    scanf("%lld",&n);
    isprime(n);
    for(i=1;i<=len;i++)
    {
        for(j=1;prime[i]*j<=n;j++)
        {
            c[i]+=(ask(j,prime[i])+1)*(n-prime[i]*j+1);
        }
    }
    printf("f(%lld)=",n);
    for(i=1;i<=len;i++)
    {
        printf("%lld",prime[i]);
        if(c[i]!=1)
        {
            printf("^%lld",c[i]);
        }
        if(i!=len)
        {
            printf("*");
        }
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

官方题解中省去了暴力求指数的一步。

\(T2\) HZTG5734. 博弈树 \(80pts\)

部分分

\(80pts\) ：暴力建出博弈的搜索树，因为状态数规模为 \(O(n^{2})\) ，加个记忆化即可，可能需要 \(O(1)\) 的求 \(\operatorname{LCA}\) （？）。

点击查看代码

struct node
{
    int nxt,to;
}e[200010];
int head[100010],dfn[100010],dep[100010],cnt=0,tot=0;
unordered_map<int,bool>f[100010];
void add(int u,int v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
int sx_min(int x,int y)
{
    return dfn[x]<dfn[y]?x:y;
}
struct ST
{
    int fminn[100010][20];
    void init(int n)
    {
        for(int j=1;j<=log2(n);j++)
        {
            for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            {
                fminn[i][j]=sx_min(fminn[i][j-1],fminn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            }
        }
    }
    int query(int l,int r)
    {
        int t=log2(r-l+1);
        return sx_min(fminn[l][t],fminn[r-(1<<t)+1][t]);
    }
}T;
void get_dep(int x,int fa)
{
    tot++;
    dfn[x]=tot;
    dep[x]=dep[fa]+1;
    T.fminn[tot][0]=fa;
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            get_dep(e[i].to,x);
        }
    }
}
int lca(int u,int v)
{
    if(dfn[u]>dfn[v])
    {
        swap(u,v);
    }
    return (dfn[u]==dfn[v])?u:T.query(dfn[u]+1,dfn[v]);
}
int get_dis(int u,int v)
{
    return dep[u]+dep[v]-2*dep[lca(u,v)];
}
bool dfs(int x,int last,int n)
{
    if(f[x].find(last)!=f[x].end())
    {
        return f[x][last];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int d=get_dis(x,i);
        if(d>last&&dfs(i,d,n)==false)
        {
            return f[x][last]=true;
        }
    }
    return f[x][last]=false;
}
int main()
{
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    int n,m,u,v,i;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    get_dep(1,0);
    T.init(n);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u;
        if(dfs(u,0,n)==true)
        {
            cout<<"Alice"<<endl;
        }
        else
        {
            cout<<"Bob"<<endl;
        }
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

正解

若节点 \(x\) 是直径的端点，那么直接判定 Alice 必胜。否则谁先移动到直径的端点谁就输。
考虑删去所有直径的端点（一定是叶子节点），若节点 \(x\) 是删完后的树的直径端点，那么 Alice 也是必胜的。因为 Alice 可以将点移动到删完后的树的另一个直径端点，而 Bob 就只能移到原树的直径端点上，从而得到 Alice 必胜。
考虑模拟删叶子的过程，若删到最后只剩一个点说明在这个点时 Bob 是必胜的，否则 Alice 一定可以通过不断将点移动到下一层的直径端点取得胜利（对于 Bob 的干扰， Alice 可以通过利用直径的最长性进行反制）。
而最后剩下的这个点一定是直径的中点（直径长度为奇数时），预处理即可。

点击查看代码

struct node
{
    int nxt,to;
}e[200010];
int head[200010],dep[200010],fa[200010],cnt=0;
vector<int>d;
void add(int u,int v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
void dfs(int x,int father)
{
    fa[x]=father;
    dep[x]=dep[father]+1;
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=father)
        {
            dfs(e[i].to,x);
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    int n,m,u,v,rt1=0,rt2=0,i;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    dfs(1,0);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        rt1=(dep[i]>dep[rt1])?i:rt1;
    }
    dfs(rt1,0);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        rt2=(dep[i]>dep[rt2])?i:rt2;
    }
    while(rt2!=0)
    {
        d.push_back(rt2);
        rt2=fa[rt2];
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u;
        if(d.size()%2==0||d[d.size()/2]!=u)
        {
            cout<<"Alice"<<endl;
        }
        else
        {
            cout<<"Bob"<<endl;
        }
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

\(T3\) HZTG5735. 划分 \(9pts\)

部分分

测试点 \(1 \sim 2\) ：爆搜。
测试点 \(9 \sim 12\)
- 设第一个 \(1\) 出现的位置为 \(pos\) 。那么最大值一定为 \(s_{pos \sim n}\) ，因为 \([pos,n]\) 中任意断开就会导致最大值变小。方案数仅会由前面的 \(0\) 决定，即 \(\sum\limits_{i=k}^{pos}\dbinom{pos-1}{i-1}\) 。
- 若不存在 \(1\) ，则最大值为 \(0\) ，方案数为 \(\sum\limits_{i=k}^{n}\dbinom{n-1}{i-1}\) 。

点击查看代码

const ll p=998244353;
ll inv[2000010],jc[2000010],jc_inv[2000010],ans=0,cnt=0;
char s[2000010];
ll ask(ll l,ll r)
{
    ll ans=0;
    for(ll i=l;i<=r;i++)
    {
        ans=(ans*2+s[i]-'0');
    }
    return ans;
}
ll work(ll l,ll r)
{
    ll ans=0;
    for(ll i=l;i<=r;i++)
    {
        ans=(ans*2%p+s[i]-'0')%p;
    }
    return ans;
}
void dfs(ll pos,ll n,ll k,ll sum,ll num,ll last)
{
    if(pos==n)
    {
        num++;
        sum+=ask(last+1,n);
        if(num>=k)
        {
            if(sum>ans)
            {
                ans=sum;
                cnt=1;
            }
            else
            {
                if(sum==ans)
                {	
                    cnt++;
                }
            }
        }
    }
    else
    {
        dfs(pos+1,n,k,sum,num,last);
        dfs(pos+1,n,k,sum+ask(last+1,pos),num+1,pos);
    }
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
    return (n>=m&&n>=0&&m>=0)?(jc[n]*jc_inv[n-m]%p)*jc_inv[m]%p:0;
}
int main()
{
    freopen("divide.in","r",stdin);
    freopen("divide.out","w",stdout);
    ll n,k,pos=0,sum=0,i;
    cin>>n>>k;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        pos=(pos==0&&s[i]=='1')?i:pos;
    }
    if(pos>k||pos==0)
    {	
        inv[1]=1;
        jc[0]=jc_inv[0]=jc[1]=jc_inv[1]=1;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
            jc[i]=jc[i-1]*i%p;
            jc_inv[i]=jc_inv[i-1]*inv[i]%p;
        }
        if(pos==0)
        {
            for(i=k;i<=n;i++)
            {
                sum=(sum+C(n-1,i-1,p))%p;
            }
            cout<<0<<" "<<sum<<endl;
        }
        else
        {
            for(i=k;i<=pos;i++)
            {
                sum=(sum+C(pos-1,i-1,p))%p;
            }
            cout<<work(pos,n)<<" "<<sum<<endl;
        }
    }
    else
    {
        dfs(1,n,k,0,0,0);
        cout<<ans%p<<" "<<cnt%p<<endl;
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

正解

考虑不保证 \(\forall i \in [1,k],s_{i}=0\) 时怎么做。
最优解的划分方案一定形如选出一段 \(n-k+1\) 单独作为一段，剩下的每个数单独作为一段。
因为 \(1\) 的数量是一定的，所以所有的构造方案对应的 \(n-k+1\) 这段数的前 \(n-k\) 位一定相同。
考虑二分哈希找到最大的划分点（取长度为 \(n-k+1\) 的段），然后哈希判断有多少个其他划分点的前 \(n-k\) 位与其相等，每一个划分点都对应一种构造方式。
- 二分哈希的写法类似暑假集训CSP提高模拟24 D P240.最短路。
需要特判 \(n=k\) 时方案数为 \(1\) 。

点击查看代码

const ll p=998244353,mod=1000000007,base=13331;
ll inv[2000010],C_jc[2000010],jc_inv[2000010],jc[2000010],a[2000010];
char s[2000010];
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
    return (n>=m&&n>=0&&m>=0)?(C_jc[n]*jc_inv[n-m]%p)*jc_inv[m]%p:0;
}
void sx_hash(char s[],ll len)
{
    for(ll i=0;i<=len;i++)
    {
        a[i]=(i==0)?0:(a[i-1]*base%mod+s[i])%mod;
    }
}
ll ask_hash(ll l,ll r)
{
    return (a[r]-a[l-1]*jc[r-l+1]%mod+mod)%mod;
}
bool cmp(ll l1,ll r1,ll l2,ll r2)
{
    if(l1==r1)
    {
        return s[l1]>s[l2];
    }
    ll mid1=(l1+r1)/2,mid2=(l2+r2)/2;
    if(ask_hash(l1,mid1)==ask_hash(l2,mid2))
    {
        return cmp(mid1+1,r1,mid2+1,r2);
    }
    else
    {
        return cmp(l1,mid1,l2,mid2);
    }
}
int main()
{
    freopen("divide.in","r",stdin);
    freopen("divide.out","w",stdout);
    ll n,k,len,pos=0,ans=0,sum=0,i;
    cin>>n>>k;
    jc[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        pos=(pos==0&&s[i]=='1')?i:pos;
        jc[i]=jc[i-1]*base%mod;
    }
    if(pos>k||pos==0)
    {
        inv[1]=1;
        C_jc[0]=jc_inv[0]=C_jc[1]=jc_inv[1]=1;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
            C_jc[i]=C_jc[i-1]*i%p;
            jc_inv[i]=jc_inv[i-1]*inv[i]%p;
        }
        if(pos==0)
        {
            for(i=k;i<=n;i++)
            {
                sum=(sum+C(n-1,i-1,p))%p;
            }
        }
        else
        {
            for(i=k;i<=pos;i++)
            {
                sum=(sum+C(pos-1,i-1,p))%p;
            }
            for(i=pos;i<=n;i++)
            {
                ans=(ans*2%p+s[i]-'0')%p;
            }
        }
    }
    else
    {
        sx_hash(s,n);
        len=n-k+1;
        pos=1;
        for(i=2;i+len-1<=n;i++)
        {
            if(cmp(i,i+len-1,pos,pos+len-1)==true)
            {
                pos=i;
            }
        }
        for(i=pos;i<=pos+len-1;i++)
        {
            ans=(ans*2%p+s[i]-'0')%p;
        }
        for(i=1;i<=pos-1;i++)
        {
            ans=(ans+s[i]-'0')%p;
        }
        for(i=pos+len;i<=n;i++)
        {
            ans=(ans+s[i]-'0')%p;
        }
        len=n-k;
        if(n==k)
        {
            sum=1;
        }
        else
        {
            for(i=1;i+len-1<=n;i++)
            {
                sum+=(ask_hash(pos,pos+len-1)==ask_hash(i,i+len-1));
            }
        }
    }
    cout<<ans<<" "<<sum<<endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

\(T4\) HZTG5736. 灯笼 \(0pts\)

原题： luogu P9312 [EGOI2021] Lanterns / 灯笼
正解

总结

\(T2\) 第一遍读题时以为是比上一局对方走的距离更长，写完爆搜后才发现自己读假题了。
\(T3\) 没有想 \(\forall i \in [1,k],s_{i}=0\) 的 \(15pts\) 部分分。

posted @ 2024-11-06 16:30 hzoi_Shadow 阅读(45) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

hzoi_Shadow

世上只有一种英雄主义，就是认清生活的真相后，依然热爱生活。纵使世界万般残酷，总有温暖值得守护……

NOIP2024加赛2

NOIP2024加赛2

\(T1\) HZTG5733. 新的阶乘 \(100pts\)

\(T2\) HZTG5734. 博弈树 \(80pts\)

\(T3\) HZTG5735. 划分 \(9pts\)

\(T4\) HZTG5736. 灯笼 \(0pts\)

总结

公告

hzoi_Shadow

世上只有一种英雄主义，就是认清生活的真相后，依然热爱生活。 纵使世界万般残酷，总有温暖值得守护……

NOIP2024加赛2

NOIP2024加赛2

\(T1\) HZTG5733. 新的阶乘 \(100pts\)

\(T2\) HZTG5734. 博弈树 \(80pts\)

\(T3\) HZTG5735. 划分 \(9pts\)

\(T4\) HZTG5736. 灯笼 \(0pts\)

总结

公告

世上只有一种英雄主义，就是认清生活的真相后，依然热爱生活。纵使世界万般残酷，总有温暖值得守护……