2.图论

合集 - 2024冲刺CSP、NOIP多校联训(10)

1.2024冲刺CSP、NOIP多校联训2024-10-052.1.数据结构2024-10-05

3.2.图论2024-10-05

4.3.搜索、模拟2024-10-085.4.数学2024-10-136.5.树上问题2024-11-047.6.动态规划2024-10-308.7.构造2024-10-169.8.字符串2024-11-0410.9.noip杂题选讲2024-11-20

收起

图论1（最短路，最小生成树，差分约束，LCA）

开题顺序： $DQEABC$

$A$ [ABC077D] Small Multiple

• 设 $f_x$ 表示 $\mathrm{mod}k=x$ 的数中的最小数位和，状态转移方程为 $f_{(10x+y)modk}=min(f_{(10x+y)modk},f_x+y)$ ，考虑使用 $Dijsktra$ 辅助转移。

• 具体实现时新建一个虚点 $k$ 分别向 $i\in [1,9]$ 连一条权值为 $i$ 的有向边。

  点击查看代码

  struct node
  {
  	ll nxt,to,w;
  }e[1100010];
  ll head[1100010],dis[1100010],vis[1100010],cnt=0;
  void add(ll u,ll v,ll w)
  {
  	cnt++;
  	e[cnt].nxt=head[u];
  	e[cnt].to=v;
  	e[cnt].w=w;
  	head[u]=cnt;
  }
  void dijkstra(ll s)
  {
  	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
  	memset(vis,0,sizeof(vis));
  	priority_queue<pair<ll,ll> >q;
  	dis[s]=0;
  	q.push(make_pair(-dis[s],s));
  	while(q.empty()==0)
  	{
  		ll x=q.top().second;
  		q.pop();
  		if(vis[x]==0)
  		{
  			vis[x]=1;
  			for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
  			{
  				if(dis[e[i].to]>dis[x]+e[i].w)
  				{
  					dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].w;
  					q.push(make_pair(-dis[e[i].to],e[i].to));
  				}
  			}
  		}
  	}
  }
  int main()
  {
  // #define Isaac
  #ifdef Isaac
  	freopen("in.in","r",stdin);
  	freopen("out.out","w",stdout);
  #endif
  	ll k,i,j;
  	cin>>k;
  	for(i=0;i<=k-1;i++)
  	{
  		for(j=0;j<=9;j++)
  		{
  			add(i,(i*10+j)%k,j);
  		}
  	}
  	for(i=1;i<=9;i++)
  	{
  		add(k,i%k,i);
  	}
  	dijkstra(k);
  	cout<<dis[0]<<endl;
  	return 0;
  }
  

$B$ [ABC216G] 01Sequence

• deque 优化 $SPFA$ 没卡过去 ，只能另寻他法。

• 考虑优化状态设计中的 $x_{l_i-1}-x_{r_i}\le -c_i$ 。

• 设 $x_i$ 表示 $[1,i]$ 中 $0$ 的个数，则有 $\{\begin{array}{l}{x}_{r_i}-x_{l_i-1}\le r-l+1-c_i\\ 0\le x_i-x_{i-1}\le 1\end{array}$ ，然后跑 $Dijsktra$ 求最短路即可。

• 最后再将答案取反即可。

  点击查看代码

  struct node
  {
  	int nxt,to,w;
  }e[600010];
  int head[600010],dis[600010],vis[600010],cnt=0;
  void add(int u,int v,int w)
  {
  	cnt++;
  	e[cnt].nxt=head[u];
  	e[cnt].to=v;
  	e[cnt].w=w;
  	head[u]=cnt;
  }
  void dijkstra(int s)
  {
  	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
  	memset(vis,0,sizeof(vis));
  	priority_queue<pair<int,int> >q;
  	dis[s]=0;
  	q.push(make_pair(-dis[s],s));
  	while(q.empty()==0)
  	{
  		int x=q.top().second;
  		q.pop();
  		if(vis[x]==0)
  		{
  			vis[x]=1;
  			for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
  			{
  				if(dis[e[i].to]>dis[x]+e[i].w)
  				{
  					dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].w;
  					q.push(make_pair(-dis[e[i].to],e[i].to));
  				}
  			}
  		}
  	}
  }
  int main()
  {
  // #define Isaac
  #ifdef Isaac
  	freopen("in.in","r",stdin);
  	freopen("out.out","w",stdout);	
  #endif
  	int n,m,u,v,w,i;
  	cin>>n>>m;
  	for(i=1;i<=m;i++)
  	{
  		cin>>u>>v>>w;
  		add(u-1,v,v-u+1-w);
  	}
  	for(i=0;i<=n;i++)
  	{
  		add(i,i+1,1);
  		add(i+1,i,0);
  	}
  	dijkstra(0);
  	for(i=1;i<=n;i++)
  	{
  		cout<<((dis[i]-dis[i-1])^1)<<" ";
  	}
  	return 0;
  }
  

$C$ luogu P2662 牛场围栏

• 貌似从 luogu P3951 [NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑 / [蓝桥杯 2013 省] 买不到的数目 直接扩展不来。

• 挖掘同余最短路中 $dis$ 数组的定义，容易发现 $di{s}_i-x$ 一定不能拼出来，故 $\underset{i=0}{\overset{x-1}{max}}\{di{s}_i-x\}$ 即为所求。

• 暴力建边即可。

  点击查看代码

  struct node
  {
  	int nxt,to,w;
  }e[300010];
  int head[300010],dis[300010],vis[300010],a[300010],cnt=0;
  set<int>s;
  set<int>::iterator it;
  void add(int u,int v,int w)
  {
  	cnt++;
  	e[cnt].nxt=head[u];
  	e[cnt].to=v;
  	e[cnt].w=w;
  	head[u]=cnt;
  }
  void dijkstra(int s)
  {
  	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
  	memset(vis,0,sizeof(vis));
  	priority_queue<pair<int,int> >q;
  	dis[s]=0;
  	q.push(make_pair(-dis[s],s));
  	while(q.empty()==0)
  	{
  		int x=q.top().second;
  		q.pop();
  		if(vis[x]==0)
  			vis[x]=1;
  		{
  			for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
  			{
  				if(dis[e[i].to]>dis[x]+e[i].w)
  				{
  					dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].w;
  					q.push(make_pair(-dis[e[i].to],e[i].to));
  				}
  			}
  		}
  	}
  }
  int main()
  {
  // #define Isaac
  #ifdef Isaac
  	freopen("in.in","r",stdin);
  	freopen("out.out","w",stdout);
  #endif
  	int n,m,ans=0,i,j;
  	cin>>n>>m;
  	for(i=1;i<=n;i++)
  	{
  		cin>>a[i];
  		for(j=a[i];j>=0&&j>=a[i]-m;j--)
  		{
  			s.insert(j);
  		}
  	}
  	for(it=s.begin();it!=s.end();it++)
  	{
  		if(it!=s.begin())
  		{
  			for(j=0;j<=*s.begin()-1;j++)
  			{
  				add(j,(j+*it)%*s.begin(),*it);
  			}
  		}
  	}
  	dijkstra(0);
  	for(i=0;i<=*s.begin()-1;i++)
  	{
  		if(dis[i]==0x3f3f3f3f)
  		{
  			ans=-1;
  			break; 
  		}
  		ans=max(ans,dis[i]-*s.begin());
  	}
  	cout<<(ans==0?-1:ans)<<endl;
  	return 0;
  }
  

$D$ luogu P2680 [NOIP2015 提高组] 运输计划

• 题解

$E$ luogu P4211 [LNOI2014] LCA

• 题解

$F$ luogu P1852 跳跳棋

$G$ luogu P10652 「ROI 2017 Day 1」前往大都会

$H$ CF1005F Berland and the Shortest Paths

$I$ CF507E Breaking Good

$J$ CF1981E Turtle and Intersected Segments

$K$ CF125E MST Company

$L$ CF1707C DFS Trees

$M$ CF1051F The Shortest Statement

$N$ 「JOISC 2015 Day 1」卡片占卜

$O$ [AGC016D] XOR Replace

$P$ [AGC004D] Teleporter

$Q$ SP116 INTERVAL - Intervals

• 多倍经验： luogu P1645 序列 | luogu P1250 种树 | luogu P1986 元旦晚会 | UVA1723 Intervals | luogu P10934 西瓜种植

• 设 $x_i$ 表示 $[1,i]$ 中选择的数的个数。

• $[a_i,b_i]$ 中至少有 $c_i$ 个数被选出等价于 $x_{b_i}-x_{a_i-1}\ge c_i$ 。

• 由于一个数只能选一次，隐含着 $0\le x_i-x_{i-1}\le 1$ 的关系。

  点击查看代码

  struct node
  {
  	int nxt,to,w;
  }e[500010];
  int head[500010],vis[500010],dis[500010],cnt=0;
  void add(int u,int v,int w)
  {
  	cnt++;
  	e[cnt].nxt=head[u];
  	e[cnt].to=v;
  	e[cnt].w=w;
  	head[u]=cnt;
  }
  void spfa(int s)
  {
  	memset(vis,0,sizeof(vis));
  	memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
  	queue<int>q;
  	q.push(s);
  	dis[s]=0;
  	vis[s]=1;
  	while(q.empty()==0)
  	{
  		int x=q.front();
  		vis[x]=0;
  		q.pop();
  		for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
  		{
  			if(dis[e[i].to]<dis[x]+e[i].w)
  			{
  				dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].w;
  				if(vis[e[i].to]==0)
  				{
  					q.push(e[i].to);
  					vis[e[i].to]=1;
  				}
  			}
  		}
  	}
  }
  int main()
  {
  	int n,r,u,v,w,i,t,j;
  	cin>>t;
  	for(j=1;j<=t;j++)
  	{
  		cin>>n;
  		r=cnt=0;
  		memset(e,0,sizeof(e));
  		memset(head,0,sizeof(head));
  		for(i=1;i<=n;i++)
  		{
  			cin>>u>>v>>w;
  			add(u-1,v,w);
  			r=max(r,v);
  		}
  		for(i=0;i<=r;i++)
  		{
  			add(i,i+1,0);
  			add(i+1,i,-1);
  		}
  		spfa(0);
  		cout<<dis[r]<<endl;
  		if(j!=t)
  		{
  			cout<<endl;
  		}
  	}
  	return 0;
  }
  

图论2（tarjan，2-SAT，欧拉路，竞赛图，图的性质，综合应用）

开题顺序： $ABFDC$

$A$ luogu P8435 【模板】点双连通分量

• 题解

$B$ luogu P7771 【模板】欧拉路径

• 等有时间来补学习笔记。

$C$ luogu P4171 [JSOI2010] 满汉全席

• 对 m,h 映射后跑 $2-SAT$ 即可。

  点击查看代码

  struct node
  {
  	int nxt,to;
  }e[2010];
  int head[210],dfn[210],low[210],ins[210],col[210],tot=0,scc_cnt=0,cnt=0;
  stack<int>s;
  void add(int u,int v)
  {
  	cnt++;
  	e[cnt].nxt=head[u];
  	e[cnt].to=v;
  	head[u]=cnt;
  }
  void tarjan(int x)
  {
  	tot++;
  	dfn[x]=low[x]=tot;
  	ins[x]=1;
  	s.push(x);
  	for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
  	{
  		if(dfn[e[i].to]==0)
  		{
  			tarjan(e[i].to);
  			low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
  		}
  		else
  		{
  			if(ins[e[i].to]==1)
  			{
  				low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
  			}
  		}
  	}
  	if(dfn[x]==low[x])
  	{
  		scc_cnt++;
  		int tmp=0;
  		while(x!=tmp)
  		{
  			tmp=s.top();
  			s.pop();
  			ins[tmp]=0;
  			col[tmp]=scc_cnt;
  		}
  	}
  }
  bool check(int n)
  {
  	for(int i=1;i<=n;i++)
  	{
  		if(col[i]==col[i+n])
  		{
  			return false;
  		}
  	}
  	return true;
  }
  int main()
  {
  // #define Isaac
  #ifdef Isaac
  	freopen("in.in","r",stdin);
  	freopen("out.out","w",stdout);
  #endif
  	int t,n,m,x,y,i,j;
  	char a,b;
  	cin>>t;
  	for(j=1;j<=t;j++)
  	{
  		cnt=tot=scc_cnt=0;
  		memset(e,0,sizeof(e));
  		memset(head,0,sizeof(head));
  		memset(dfn,0,sizeof(dfn));
  		cin>>n>>m;
  		for(i=1;i<=m;i++)
  		{
  			cin>>a>>x>>b>>y;
  			add(x+(1-(a=='h'))*n,y+(b=='h')*n);
  			add(y+(1-(b=='h'))*n,x+(a=='h')*n);
  		}
  		for(i=1;i<=2*n;i++)
  		{
  			if(dfn[i]==0)
  			{
  				tarjan(i);
  			}
  		}
  		cout<<(check(n)==true?"GOOD":"BAD")<<endl;
  	}
  	return 0;
  }
  

$D$ CF521E Cycling City

• 多倍经验： luogu P7025 [NWRRC2017] Grand Test

• 有解当且仅当存在两个环的交集不为空集

• $DFS$ 树上每条非树边都对应原图上一个环，此时可以转化为判断是否有一条树边由两条非树边构成的环覆盖。

• 树上差分难以输出路径，考虑暴力跳非树边进行覆盖并在覆盖次数 $=2$ 时及时退出。

• 输出路径时，设覆盖 $(u,v)$ 时发现已经被 $(x,y)$ 覆盖（不妨钦定 $\{\begin{array}{l}de{p}_u>de{p}_v\\ de{p}_x>de{p}_y\\ de{p}_v<de{p}_y\end{array}$ ）了，画图简单分讨后得到 $\{\begin{array}{l}y\to \mathrm{LCA}(u,x)\\ y\to v\to u\to \mathrm{LCA}(u,x)\\ y\to x\to \mathrm{LCA}(u,x)\end{array}$ 即为一组可行解。

  点击查看代码

  struct node
  {
  	int nxt,to;
  }e[400010];
  int head[400010],fa[400010],dep[400010],vis[400010],ins[400010],cnt=0;
  pair<int,int>col[400010];
  deque<int>ans;
  void add(int u,int v)
  {
  	cnt++;
  	e[cnt].nxt=head[u];
  	e[cnt].to=v;
  	head[u]=cnt;
  }
  int lca(int x,int y)
  {
  	if(dep[x]<dep[y])
  	{
  		swap(x,y);
  	}
  	while(dep[x]>dep[y])
  	{
  		x=fa[x];
  	}
  	while(x!=y)
  	{
  		x=fa[x];
  		y=fa[y];
  	}
  	return x;
  }
  void up(int x,int y)
  {
  	for(;x!=y;x=fa[x])
  	{
  		ans.push_front(x);
  	}
  	ans.push_front(y);
  }
  void print(int u,int v,int x,int y)
  {
  	if(dep[v]>dep[y])
  	{
  		swap(u,x);
  		swap(v,y);
  	}
  	cout<<"YES"<<endl;
  	int rt=lca(u,x);
  	up(rt,y);
  	cout<<ans.size()<<" ";
  	while(ans.empty()==0)
  	{
  		cout<<ans.front()<<" ";
  		ans.pop_front();
  	}
  	cout<<endl;
  	up(y,v);
  	up(u,rt);
  	cout<<ans.size()<<" ";
  	while(ans.empty()==0)
  	{
  		cout<<ans.back()<<" ";
  		ans.pop_back();
  	}
  	cout<<endl;
  	ans.push_back(y);
  	up(x,rt);
  	cout<<ans.size()<<" ";
  	while(ans.empty()==0)
  	{
  		cout<<ans.back()<<" ";
  		ans.pop_back();
  	}
  	cout<<endl;
  	exit(0);
  }
  void cover(int x,int y)
  {
  	for(int rt=x;rt!=y;rt=fa[rt])
  	{
  		if(col[rt].first!=0)
  		{
  			print(col[rt].first,col[rt].second,x,y);
  		}
  		else
  		{
  			col[rt]=make_pair(x,y);
  		}
  	}
  }
  void dfs(int x,int father)
  {
  	vis[x]=ins[x]=1;
  	fa[x]=father;
  	dep[x]=dep[father]+1;
  	for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
  	{
  		if(e[i].to!=father)
  		{
  			if(vis[e[i].to]==0)
  			{
  				dfs(e[i].to,x);
  			}
  			else
  			{
  				if(ins[e[i].to]==1)
  				{
  					cover(x,e[i].to);
  				}
  			}
  		}
  	}
  	ins[x]=0;
  }
  int main()
  {
  // #define Isaac
  #ifdef Isaac
  	freopen("in.in","r",stdin);
  	freopen("out.out","w",stdout);
  #endif
  	int n,m,u,v,i;
  	cin>>n>>m;
  	for(i=1;i<=m;i++)
  	{	
  		cin>>u>>v;
  		add(u,v);
  		add(v,u);
  	}
  	for(i=1;i<=n;i++)
  	{
  		if(vis[i]==0)
  		{
  			dfs(i,0);
  		}
  	}
  	cout<<"NO"<<endl;
  	return 0;
  }
  

$E$ CF1916F Group Division

$F$ CF573B Bear and Blocks

• 观察到第 $i$ 次操作对第 $j$ 根柱子的影响为 $h_{i,j}=min(h_{i-1,j}-1,h_{i-1,j-1},h_{i-1,j+1})$ 。

• 设 $f_i$ 表示第 $i$ 根柱子被摧毁的时间，类似地，状态转移方程为 $f_i=min(f_{i-1}+1,h_i,f_{i+1}+1)$ 。

• 转移过程实际上是分别以 $0,n+1$ 为起点跑最短路，所以正反各更新一遍即可。

• 最终有 $\underset{i=1}{\overset{n}{max}}\{f_i\}$ 即为所求。

  点击查看代码

  ll h[100010],f[100010];
  int main()
  {
  	ll n,ans=0,i;
  	cin>>n;
  	for(i=1;i<=n;i++)
  	{
  		cin>>h[i];
  		f[i]=min(f[i-1]+1,h[i]);
  	}
  	for(i=n;i>=1;i--)
  	{
  		f[i]=min(f[i+1]+1,f[i]);
  	}
  	for(i=1;i<=n;i++)
  	{
  		ans=max(ans,f[i]);
  	}
  	cout<<ans<<endl;
  	return 0;
  }
  

$G$ CF1779E Anya's Simultaneous Exhibition

$H$ CF1864G Magic Square

$I$ CF1819E Roads in E City

$J$ CF1919F2 Wine Factory (Hard Version)

图论3（二分图、网络流等）

$A$ luogu P4382 [八省联考 2018] 劈配

$B$ luogu P2469 [SDOI2010] 星际竞速

• 题解

$C$ luogu P9167 [省选联考 2023] 城市建造

$D$ CF708D Incorrect Flow

• 题解

$E$ CF1250K Projectors

$F$ luogu P2050 [NOI2012] 美食节

• 题解

$G$ CF1163F Indecisive Taxi Fee

$H$ CF1773J Jumbled Trees

$I$ UOJ 461. 新年的Dog划分

$J$ luogu P10062 [SNOI2024] 拉丁方

$K$ UOJ 592. 新年的聚会

$L$ luogu P7214 [JOISC2020] 治療計画

• 多倍经验： 治療計画 (Treatment Project)