1.数据结构

数据结构1

开题顺序： \(BXGEWDJVNCFQKPLAHR\)

\(A\) luogu P5494 【模板】线段树分裂

题解

\(B\) luogu P1637 三元上升子序列

题解

\(C\) luogu P6492 [COCI2010-2011#6] STEP

将 L 视作 \(0\) ， R 视作 \(1\) 。

则等价于查询最长 \(01\) 串长度，线段树维护前后缀信息即可，写法跟维护最大子段和差不多。

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int a[200010];
struct SMT
{
	struct SegmentTree
	{
		int l,r,pre,suf,ans;
	}tree[800010];
	int lson(int x)
	{
		return x*2;
	}
	int rson(int x)
	{
		return x*2+1;
	}
	void pushup(int rt)
	{
		tree[rt].ans=max(tree[lson(rt)].ans,tree[rson(rt)].ans);
		tree[rt].pre=tree[lson(rt)].pre;
		tree[rt].suf=tree[rson(rt)].suf;
		if(a[tree[lson(rt)].r]!=a[tree[rson(rt)].l])
		{
			tree[rt].ans=max(tree[rt].ans,tree[lson(rt)].suf+tree[rson(rt)].pre);
			tree[rt].pre+=(tree[lson(rt)].pre==tree[lson(rt)].r-tree[lson(rt)].l+1)*tree[rson(rt)].pre;
			tree[rt].suf+=(tree[rson(rt)].suf==tree[rson(rt)].r-tree[rson(rt)].l+1)*tree[lson(rt)].suf;
		}
	}
	void build(int rt,int l,int r)
	{
		tree[rt].l=l;
		tree[rt].r=r;
		if(l==r)
		{
			tree[rt].pre=tree[rt].suf=tree[rt].ans=1;
			return;
		}
		int mid=(l+r)/2;
		build(lson(rt),l,mid);
		build(rson(rt),mid+1,r);
		pushup(rt);
	}
	void update(int rt,int pos)
	{
		if(tree[rt].l==tree[rt].r)
		{
			a[tree[rt].l]^=1;
			return;
		}
		int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2;
		if(pos<=mid)
		{
			update(lson(rt),pos);
		}
		else
		{
			update(rson(rt),pos);		
		}
		pushup(rt);
	}
	SegmentTree query(int rt,int x,int y)
	{
		if(x<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=y)
		{
			return tree[rt];
		}
		int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2;
		SegmentTree p,q,ans;
		if(y<=mid)
		{
			return query(lson(rt),x,y);
		}
		else
		{
			if(x>mid)
			{
				return query(rson(rt),x,y);
			}
			else
			{
				p=query(lson(rt),x,y);
				q=query(rson(rt),x,y);
				ans.ans=max(p.ans,q.ans);
				ans.pre=p.pre;
				ans.suf=q.suf;
				if(a[p.r]!=a[q.l])
				{
					ans.ans=max(ans.ans,p.suf+q.pre);
					ans.pre+=(p.pre==p.r-p.l+1)*q.pre;
					ans.suf+=(q.suf==q.r-q.l+1)*p.suf;
				}
				return ans;
			}
		}
	}
}T;
int main()
{
	int n,m,x,i;
	cin>>n>>m;
	T.build(1,1,n);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>x;
		T.update(1,x);
		cout<<T.query(1,1,n).ans<<endl;
	}
	return 0;
}

\(D\) luogu P6136 【模板】普通平衡树（数据加强版）

题解

\(E\) luogu P3038 [USACO11DEC] Grass Planting G

多倍经验： SP12005 GRASSPLA - Grass Planting
题解

\(F\) luogu P7735 [NOI2021] 轻重边

维护路径信息，考虑树剖。
边权直接维护不太好维护，考虑转成点权。而直接将边权信息赋给深度较深的儿子节点在本题中难以适应。
考虑给每一个点赋一个权值 \(val\) 使得对于任意一条边 \(u \to v\) 若 \(val_{u}=val_{v}\) 则 \(u \to v\) 是重边，否则是轻边。

此时操作 \(1\) 等价于将 \(u \to v\) 上的点的权值都赋成一个统一的值；操作 \(2\) 等价于查询 \(u \to v\) 上相邻两点权值相同的无序点对，做法同 luogu P2486 [SDOI2011] 染色差不多，线段树维护即可。

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struct node
{
	int nxt,to;
}e[200010];
int head[200010],c[200010],cc[200010],fa[200010],dep[200010],siz[200010],son[200010],dfn[200010],top[200010],cnt=0,tot=0;
void add(int u,int v)
{
	cnt++;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].to=v;
	head[u]=cnt;
}
struct SMT
{
	struct SegmentTree
	{
		int l,r,lazy,lc,rc,ans;
	}tree[800010];
	int lson(int x)
	{
		return x*2;
	}
	int rson(int x)
	{
		return x*2+1;
	}
	void pushup(int rt)
	{
		tree[rt].ans=tree[lson(rt)].ans+tree[rson(rt)].ans+(tree[lson(rt)].rc==tree[rson(rt)].lc);
		tree[rt].lc=tree[lson(rt)].lc;
		tree[rt].rc=tree[rson(rt)].rc;
	}
	void build(int rt,int l,int r)
	{
		tree[rt].l=l;
		tree[rt].r=r;
		tree[rt].lazy=0;
		if(l==r)
		{
			tree[rt].lc=tree[rt].rc=cc[l];
			tree[rt].ans=0;
			return;
		}
		int mid=(l+r)/2;
		build(lson(rt),l,mid);
		build(rson(rt),mid+1,r);
		pushup(rt);
	}
	void pushdown(int rt)
	{
		if(tree[rt].lazy!=0)
		{
			tree[lson(rt)].lc=tree[lson(rt)].rc=tree[rt].lazy;
			tree[rson(rt)].lc=tree[rson(rt)].rc=tree[rt].lazy;
			tree[lson(rt)].ans=tree[lson(rt)].r-tree[lson(rt)].l+1-1;
			tree[rson(rt)].ans=tree[rson(rt)].r-tree[rson(rt)].l+1-1;
			tree[lson(rt)].lazy=tree[rson(rt)].lazy=tree[rt].lazy;
			tree[rt].lazy=0;
		}
	}
	void update(int rt,int x,int y,int val)
	{
		if(x<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=y)	
		{
			tree[rt].lc=tree[rt].rc=tree[rt].lazy=val;
			tree[rt].ans=tree[rt].r-tree[rt].l+1-1;
			return;
		}
		pushdown(rt);
		int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2;
		if(x<=mid)
		{
			update(lson(rt),x,y,val);
		}
		if(y>mid)
		{
			update(rson(rt),x,y,val);
		}
		pushup(rt);
	}
	SegmentTree query(int rt,int x,int y)
	{
		if(x<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=y)
		{
			return tree[rt];
		}
		pushdown(rt);
		int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2;
		SegmentTree p,q,ans;
		if(y<=mid)
		{
			return query(lson(rt),x,y);
		}
		else
		{
			if(x>mid)
			{
				return query(rson(rt),x,y);
			}
			else
			{
				p=query(lson(rt),x,y);
				q=query(rson(rt),x,y);
				ans.ans=p.ans+q.ans+(p.rc==q.lc);
				ans.lc=p.lc;
				ans.rc=q.rc;
				return ans;
			}
		}
	}
}T;
void dfs1(int x,int father)
{
	siz[x]=1;
	fa[x]=father;
	dep[x]=dep[father]+1;
	for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
	{
		if(e[i].to!=father)
		{
			dfs1(e[i].to,x);
			siz[x]+=siz[e[i].to];
			son[x]=(siz[e[i].to]>siz[son[x]])?e[i].to:son[x];
		}
	}
}
void dfs2(int x,int id)
{
	top[x]=id;
	tot++;
	dfn[x]=tot;
	cc[tot]=c[x];
	if(son[x]!=0)
	{
		dfs2(son[x],id);
		for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
		{
			if(e[i].to!=fa[x]&&e[i].to!=son[x])
			{
				dfs2(e[i].to,e[i].to);
			}
		}
	}
}
void update1(int u,int v,int val)
{
	while(top[u]!=top[v])
	{
		if(dep[top[u]]>dep[top[v]])
		{
			T.update(1,dfn[top[u]],dfn[u],val);
			u=fa[top[u]];
		}
		else
		{
			T.update(1,dfn[top[v]],dfn[v],val);
			v=fa[top[v]];
		}
	}
	if(dep[u]<dep[v])
	{
		T.update(1,dfn[u],dfn[v],val);
	}
	else
	{
		T.update(1,dfn[v],dfn[u],val);
	}
}
int query1(int u,int v)
{
	int ans=0;
	while(top[u]!=top[v])
	{
		if(dep[top[u]]>dep[top[v]])
		{
			ans+=T.query(1,dfn[top[u]],dfn[u]).ans+(T.query(1,dfn[top[u]],dfn[top[u]]).lc==T.query(1,dfn[fa[top[u]]],dfn[fa[top[u]]]).lc);
			u=fa[top[u]];
		}
		else
		{
			ans+=T.query(1,dfn[top[v]],dfn[v]).ans+(T.query(1,dfn[top[v]],dfn[top[v]]).lc==T.query(1,dfn[fa[top[v]]],dfn[fa[top[v]]]).lc);
			v=fa[top[v]];
		}
	}
	if(dep[u]<dep[v])
	{
		ans+=T.query(1,dfn[u],dfn[v]).ans;
	}
	else
	{
		ans+=T.query(1,dfn[v],dfn[u]).ans;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int t,n,m,pd,u,v,i,j;
	scanf("%d",&t);
	for(j=1;j<=t;j++)
	{
		cnt=tot=0;
		memset(e,0,sizeof(e));
		memset(head,0,sizeof(head));
		memset(son,0,sizeof(son));
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			c[i]=i;
		}
		for(i=1;i<=n-1;i++)
		{
			scanf("%d%d",&u,&v);
			add(u,v);
			add(v,u);
		}
		dfs1(1,0);
		dfs2(1,1);
		T.build(1,1,n);
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d%d",&pd,&u,&v);
			if(pd==1)
			{
				update1(u,v,n+i);
			}
			else
			{
				printf("%d\n",query1(u,v));
			}
		}
	}
	return 0;
}

\(G\) luogu P3605 [USACO17JAN] Promotion Counting P

题解

\(H\) luogu P7394 「TOCO Round 1」History

与 \(x\) 深度相等且节点距离为 \(y\) 的节点一定是 \(x\) 的 \(\frac{y}{2}\) 级祖先的 \(\frac{y}{2}\) 的子孙。
- 同时也解释了当 \(y\) 为奇数时答案为 \(0\) 。
考虑对于每个深度开一棵动态开点线段树，查询在 \(x\) 的 \(\frac{y}{2}\) 级祖先的子树且不在 \(x\) 的 \(\frac{y}{2}-1\) 级祖先的子树中的开着灯的节点数量， \(DFS\) 序维护即可。
- 因为直接查询 \(x\) 的 \(\frac{y}{2}\) 级祖先的子树中深度和 \(x\) 的深度相等的情况下，会将 \(x\) 的 \(\frac{y}{2}-1\) 级祖先的 \(\frac{y}{2}-1\) 级子孙也统计到，需要减去这部分贡献。

对于回溯操作，操作树或主席树维护即可。其中后者的空间复杂度多带一个 \(2\) 倍常数。

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struct node
{
    int nxt,to;
}e[200010];
struct ask
{
    int pd,x,y,id;
}q[200010];
int head[200010],a[200010],dep[200010],dfn[200010],out[200010],fa[200010][20],ans[200010],cnt=0,tot=0,N;
vector<int>E[200010];
void add(int u,int v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
void dfs1(int x,int father)
{
    tot++;
    dfn[x]=tot;
    fa[x][0]=father;
    dep[x]=dep[father]+1;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++)
    {
        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    }
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=father)
        {
            dfs1(e[i].to,x);
        }
    }
    out[x]=tot;
}
int kth_fa(int x,int k)
{
    int rt=x;
    for(int i=N;i>=0;i--)
    {
        if(dep[x]-dep[fa[rt][i]]<=k)
        {
            rt=fa[rt][i];
        }
    }
    return rt;
}
struct SMT
{
    int root[200010],rt_sum;
    struct SegmentTree
    {
        int ls,rs,sum;
    }tree[200010<<5];
    #define lson(rt) (tree[rt].ls)
    #define rson(rt) (tree[rt].rs)
    int build_rt()
    {
        rt_sum++;
        lson(rt_sum)=rson(rt_sum)=tree[rt_sum].sum=0;
        return rt_sum;
    }
    void pushup(int rt)
    {
        tree[rt].sum=tree[lson(rt)].sum+tree[rson(rt)].sum;
    }
    void update(int &rt,int l,int r,int pos,int val)
    {
        rt=(rt==0)?build_rt():rt;
        if(l==r)
        {
            tree[rt].sum=val;
            return;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(pos<=mid)
        {
            update(lson(rt),l,mid,pos,val);
        }
        else
        {
            update(rson(rt),mid+1,r,pos,val);
        }
        pushup(rt);
    }
    int query(int rt,int l,int r,int x,int y)
    {
        if(rt==0)
        {
            return 0;
        }
        if(x<=l&&r<=y)
        {
            return tree[rt].sum;
        }
        int mid=(l+r)/2,ans=0;
        if(x<=mid)
        {
            ans+=query(lson(rt),l,mid,x,y);
        }
        if(y>mid)
        {
            ans+=query(rson(rt),mid+1,r,x,y);
        }
        return ans;
    }
}T;
void dfs2(int x,int n)
{
    if(q[x].pd==1)
    {
        a[q[x].x]^=1;
        T.update(T.root[dep[q[x].x]],1,n,dfn[q[x].x],a[q[x].x]);
    }
    if(q[x].pd==2)
    {
        if(q[x].y%2==0)
        {
            if(q[x].y==0)
            {
                ans[q[x].id]=a[q[x].x];
            }
            else
            {
                int rt1=kth_fa(q[x].x,q[x].y/2),rt2=kth_fa(q[x].x,q[x].y/2-1);
                ans[q[x].id]=T.query(T.root[dep[q[x].x]],1,n,dfn[rt1],out[rt1])-T.query(T.root[dep[q[x].x]],1,n,dfn[rt2],out[rt2]);
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<E[x].size();i++)
    {
        dfs2(E[x][i],n);
    }
    if(q[x].pd==1)
    {
        a[q[x].x]^=1;
        T.update(T.root[dep[q[x].x]],1,n,dfn[q[x].x],a[q[x].x]);
    }
}
int main()
{
    int n,m,u,v,i;
    cin>>n;
    N=log2(n)+1;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    cin>>m;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>q[i].pd>>q[i].x;
        q[i].id=i;
        if(q[i].pd==2)
        {
            cin>>q[i].y;
        }
        if(q[i].pd<=2)
        {
            E[i-1].push_back(i);
        }
        else
        {
            E[q[i].x].push_back(i);
        }
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(0,n);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        if(q[i].pd==2)
        {
            cout<<ans[i]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

\(I\) luogu P7671 [GDOI2016] 疯狂动物城

\(J\) CF915E Physical Education Lessons

题解

\(K\) CF19D Points

离散化后线段树套 set 即可。

叶子节点只保留 \(y\) 坐标的最大值然后进行线段树上二分。

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int x[200010],y[200010],xx[200010],yy[200010];
char pd[200010][8];
set<int>s[200010];
struct SMT
{
	struct SegmentTree
	{
		int l,r,maxx;
	}tree[800010];
	int lson(int x)
	{
		return x*2;
	}
	int rson(int x)
	{
		return x*2+1;
	}
	void pushup(int rt)
	{
		tree[rt].maxx=max(tree[lson(rt)].maxx,tree[rson(rt)].maxx);
	}
	void build(int rt,int l,int r)
	{
		tree[rt].l=l;
		tree[rt].r=r;
		if(l==r)
		{
			s[l].insert(-0x7f7f7f7f);
			tree[rt].maxx=-0x7f7f7f7f;
			return;
		}
		int mid=(l+r)/2;
		build(lson(rt),l,mid);
		build(rson(rt),mid+1,r);
		pushup(rt);
	}
	void update(int rt,int pos,int val)
	{
		if(tree[rt].l==tree[rt].r)
		{
			tree[rt].maxx=val;
			return;
		}
		int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2;
		if(pos<=mid)
		{
			update(lson(rt),pos,val);
		}
		else
		{
			update(rson(rt),pos,val);
		}
		pushup(rt);
	}
	int query(int rt,int x,int y,int val)
	{
		if(tree[rt].maxx<val)
		{
			return -1;
		}
		if(tree[rt].l==tree[rt].r)
		{
			return tree[rt].l;
		}
		int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2,p,q;
		if(y<=mid)
		{
			return query(lson(rt),x,y,val);
		}
		else
		{
			if(x>mid)
			{
				return query(rson(rt),x,y,val);
			}
			else
			{
				p=query(lson(rt),x,y,val);
				if(p!=-1)
				{
					return p;
				}
				q=query(rson(rt),x,y,val);
				if(q!=-1)
				{
					return q;
				}
				return -1;
			}
		}
	}
}T;
int main()
{
	int n,ans,i;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s%d%d",(pd[i]+1),&x[i],&y[i]);
		xx[i]=x[i];
		yy[i]=y[i];
	}
	sort(xx+1,xx+1+n);
	sort(yy+1,yy+1+n);
	xx[0]=unique(xx+1,xx+1+n)-(xx+1);
	yy[0]=unique(yy+1,yy+1+n)-(yy+1);
	T.build(1,1,xx[0]);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		x[i]=lower_bound(xx+1,xx+1+xx[0],x[i])-xx;
		y[i]=lower_bound(yy+1,yy+1+yy[0],y[i])-yy;
		if(pd[i][1]=='a')
		{
			ans=*--s[x[i]].end();
			s[x[i]].insert(y[i]);
			if(ans!=*--s[x[i]].end())
			{
				T.update(1,x[i],*--s[x[i]].end());
			}
		}
		if(pd[i][1]=='r')
		{
			ans=*--s[x[i]].end();
			s[x[i]].erase(s[x[i]].find(y[i]));
			if(ans!=*--s[x[i]].end())
			{
				T.update(1,x[i],*--s[x[i]].end());
			}
		}
		if(pd[i][1]=='f')
		{
			if(x[i]+1<=xx[0])
			{
				ans=T.query(1,x[i]+1,xx[0],y[i]+1);
				if(ans==-1)
				{
					printf("-1\n");
				}
				else
				{
					printf("%d %d\n",xx[ans],yy[*s[ans].upper_bound(y[i])]);
				}
			}
			else
			{
				printf("-1\n");
			}
		}
	}
	return 0;
}

\(L\) CF193D Two Segments

翻译过来就是询问 \(1 \sim n\) 中有多少个值域连续段 \([l,r]\) 满足 \(\{ a \}\) 中值在 \([l,r]\) 之间的数所形成的区间个数 \(\le 2\) 。
令 \(\forall i \in [1,n],pos_{a_{i}}=i\) 。
尝试枚举值域连续段的右端点 \(r\) ，每次统计 \([1,r]\) 中有多少个合法的左端点 \(l \in [1,r]\) 使得 \([l,r]\) 能被分成 \(1\) 段或 \(2\) 段。而这个过程可以统计 \([1,r]\) 至少、次少分成的区间个数（最后判断一下是否 \(\le 2\) ）及各自方案数进行统计。
具体地，设 \(f_{l,r}\) 表示值在 \([l,r]\) 中的数组成区间的个数， \(S_{l,r}\) 表示值在 \([l,r]\) 中的数的下标组成的集合。
考虑右端点由 \(r-1\) 变成 \(r\) 对 \(f\) 的影响。首先不难有 \(\forall l \in [1,r],pos_{r} \in S_{l,r}\) ，故假设 \(r\) 会单独成一段，即 \(f_{l,r}+=1(l \in [1,r])\) ；接着若 \(a_{pos_{r}-1}<r\) 有 \(\forall l \in [1,a_{pos_{r}-1}],pos_{r} \in S_{l,r} \land pos_{r}-1 \in S_{l,r}\) ，故 \(pos_{r}\) 可以和 \(pos_{r}-1\) 拼起来，使区间个数少一，即 \(f_{l,r}-=1(l \in [1,a_{pos_{r}-1}])\) ；最后若 \(a_{pos_{r}+1}<r\) 有 \(\forall l \in [1,a_{pos_{r}+1}],pos_{r} \in S_{l,r} \land pos_{r}+1 \in S_{l,r}\) ，故 \(pos_{r}\) 可以和 \(pos_{r}+1\) 拼起来，使区间个数少一，即 \(f_{l,r}-=1(l \in [1,a_{pos_{r}+1}])\) 。

线段树维护区间修改、区间查询即可。

点击查看代码

ll a[300010],pos[300010];
struct SMT
{
	pair<ll,ll>tmp[6];
	struct SegmentTree
	{
		ll l,r,lazy;
		pair<ll,ll>zx,cx;
	}tree[1200010];
	ll lson(ll x)
	{
		return x*2;
	}
	ll rson(ll x)
	{
		return x*2+1;
	}
	void pushup(ll rt)
	{
		tmp[1]=tree[lson(rt)].zx;
		tmp[2]=tree[lson(rt)].cx;
		tmp[3]=tree[rson(rt)].zx;
		tmp[4]=tree[rson(rt)].cx;
		tmp[5]=make_pair(0x3f3f3f3f,0);
		sort(tmp+1,tmp+5);
		tree[rt].zx=tree[rt].cx=make_pair(0,0);
		ll pos=1;
		do 
		{
			tree[rt].zx.first=tmp[pos].first;
			tree[rt].zx.second+=tmp[pos].second;
			pos++;
		}while(pos<=4&&tmp[pos].first==tree[rt].zx.first);
		do
		{
			tree[rt].cx.first=tmp[pos].first;
			tree[rt].cx.second+=tmp[pos].second;
			pos++;
		}while(pos<=4&&tmp[pos].first==tree[rt].cx.first);
	}
	void build(ll rt,ll l,ll r)
	{
		tree[rt].l=l;
		tree[rt].r=r;
		if(l==r)
		{
			tree[rt].zx=make_pair(0,1);
			tree[rt].cx=make_pair(0x3f3f3f3f,0);
			return;
		}
		ll mid=(l+r)/2;
		build(lson(rt),l,mid);
		build(rson(rt),mid+1,r);
		pushup(rt);
	}
	void pushdown(ll rt)
	{
		if(tree[rt].lazy!=0)
		{
			tree[lson(rt)].zx.first+=tree[rt].lazy;
			tree[lson(rt)].cx.first+=tree[rt].lazy;
			tree[rson(rt)].zx.first+=tree[rt].lazy;
			tree[rson(rt)].cx.first+=tree[rt].lazy;
			tree[lson(rt)].lazy+=tree[rt].lazy;
			tree[rson(rt)].lazy+=tree[rt].lazy;
			tree[rt].lazy=0;
		}
	}
	void update(ll rt,ll x,ll y,ll val)
	{
		if(x<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=y)
		{
			tree[rt].zx.first+=val;
			tree[rt].cx.first+=val;
			tree[rt].lazy+=val;
			return;
		}
		pushdown(rt);
		ll mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2;
		if(x<=mid)
		{
			update(lson(rt),x,y,val);
		}
		if(y>mid)
		{
			update(rson(rt),x,y,val);
		}
		pushup(rt);
	}
	ll query(ll rt,ll x,ll y)
	{
		if(x<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=y)
		{
			return tree[rt].zx.second*(tree[rt].zx.first<=2)+tree[rt].cx.second*(tree[rt].cx.first<=2);
		}
		pushdown(rt);
		ll mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2,ans=0;
		if(x<=mid)//对子树分治时在此题中不需要再进行 pushup 因为最小值、次小值可以直接合并
		{
			ans+=query(lson(rt),x,y);
		}
		if(y>mid)
		{
			ans+=query(rson(rt),x,y);
		}
		return ans;
	}
}T;
int main()
{
	ll n,ans=0,i;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		pos[a[i]]=i;
	}
	T.build(1,1,n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		T.update(1,1,i,1);
		if(pos[i]-1>=1&&a[pos[i]-1]<i)
		{
			T.update(1,1,a[pos[i]-1],-1);
		}
		if(pos[i]+1<=n&&a[pos[i]+1]<i)
		{
			T.update(1,1,a[pos[i]+1],-1);
		}
		if(i-1>=1)
		{
			ans+=T.query(1,1,i-1);
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(M\) CF1983F array-value

\(N\) [ABC371F] Takahashi in Narrow Road

题解

\(O\) CF1304F2 Animal Observation (hard version)

\(P\) CF946G Almost Increasing Array

若将 \(\{ a \}\) 变成严格递增序列，至少需要更改 \(n\) 减去 \(\{ a_{i}-i \}\) 的最长不下降子序列长度个数。
- 证明
  - 对于 \(a_{i},a_{j}(i<j)\) 若都在最终的严格递增序列里，则有 \(a_{i}-a_{j} \le i-j\) ，即 \(a_{i}-i \le a_{j}-j\) 。而这 \(\{ a_{i}-i \}\) 的最长不下降子序列长度个数是不需要更改的。
考虑计算最多能保留的数的个数。
令 \(\forall i \in [1,n],b_{i}=a_{i}-i\) 。
设 \(f_{i,0/1}\) 表示以 \(i\) 结尾的前缀中没有/有删除过的数时（删除的这个数仅能 \(\in [1,i-1]\) ，能够在最终保留但不参与运算）最多能保留的数的个数，状态转移方程为 \(\begin{cases} f_{i,0}=\max\limits_{j=1}^{i-1} \{ [b_{j} \le b_{i}] \times (f_{j,0}+1) \} \\ f_{i,1}=\max(\max\limits_{j=1}^{i-1} \{ [b_{j} \le b_{i}] \times (f_{j,1}+1) \},\max\limits_{j=1}^{i-2} \{ [b_{j} \le b_{i}+1] \times (f_{j,0}+1) \}) \end{cases}\) ，边界为 \(\begin{cases} f_{1,0}=1 \\ f_{1,1}=0 \end{cases}\) 。
权值树状数组优化 \(DP\) 即可。

最终，有 \(\max(n-1-\max\limits_{i=1}^{n} \{ f_{i,0},f_{i,1} \},0)\) 即为所求。

使用删除一定比不使用删除不劣。

点击查看代码

ll a[200010],b[200010],c[400010],f[200010][2];
struct BIT
{
	ll c[400010];
	ll lowbit(ll x)
	{
		return (x&(-x));
	}
	void add(ll n,ll x,ll val)
	{
		for(ll i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		{
			c[i]=max(c[i],val);
		}
	}
	ll getsum(ll x)
	{
		ll ans=0;
		for(ll i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
		{
			ans=max(ans,c[i]);
		}
		return ans;
	}
}T[3];
int main()
{
	ll n,ans=0,i;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		b[i]=a[i]-i;
		c[2*i-1]=b[i];
		c[2*i]=b[i]+1;
	}
	sort(c+1,c+2*n+1);
	c[0]=unique(c+1,c+2*n+1)-(c+1);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][0]=T[0].getsum(lower_bound(c+1,c+1+c[0],b[i])-c)+1;
		f[i][1]=T[1].getsum(lower_bound(c+1,c+1+c[0],b[i])-c);
		f[i][1]+=(f[i][1]!=0);
		if(i-2>=1)
		{
			f[i][1]=max(f[i][1],T[2].getsum(lower_bound(c+1,c+1+c[0],b[i]+1)-c)+1);		
		}
		T[0].add(c[0],lower_bound(c+1,c+1+c[0],b[i])-c,f[i][0]);
		T[1].add(c[0],lower_bound(c+1,c+1+c[0],b[i])-c,f[i][1]);
		if(i-1>=1)
		{
			T[2].add(c[0],lower_bound(c+1,c+1+c[0],b[i-1])-c,f[i-1][0]);
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		ans=max(ans,max(f[i][0],f[i][1]));
	}
	cout<<max(n-1-ans,0ll)<<endl;
	return 0;
}

\(Q\) CF718C Sasha and Array

容易有 \(\begin{bmatrix} Fib_{n} & Fib_{n+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} Fib_{n-1} & Fib_{n} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) 。
建树时暴力算斐波那契数，修改时维护 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) 的乘方标记，区间和维护矩阵加法即可。
- 本质上应用了矩阵的结合律 \(A \times B+A \times C=A \times (B+C)\) 。

为方便重载运算符，将原 \(F\) 矩阵写作 \(\begin{bmatrix} Fib_{n} & Fib_{n+1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) 。

点击查看代码

const ll p=1000000007;
struct Matrix
{
	ll ma[3][3];
	Matrix()
	{
		memset(ma,0,sizeof(ma));
	}
	Matrix operator + (const Matrix &another) const
	{
		Matrix ans;
		for(ll i=1;i<=2;i++)
		{
			for(ll j=1;j<=2;j++)
			{
				ans.ma[i][j]=(ma[i][j]+another.ma[i][j])%p;
			}
		}
		return ans;
	}
	Matrix operator * (const Matrix &another) const
	{
		Matrix ans;
		for(ll i=1;i<=2;i++)
		{
			for(ll j=1;j<=2;j++)
			{
				for(ll h=1;h<=2;h++)
				{
					ans.ma[i][j]=(ans.ma[i][j]+ma[i][h]*another.ma[h][j]%p)%p;
				}
			}
		}
		return ans;
	}
	bool operator == (const Matrix &another) const
	{
		for(ll i=1;i<=2;i++)
		{
			for(ll j=1;j<=2;j++)
			{
				if(ma[i][j]!=another.ma[i][j])
				{
					return false;
				}
			}
		}
		return true;
	}
}base,I;
ll a[100010];
Matrix qpow(Matrix a,ll b,ll p)
{
	Matrix ans;
	for(ll i=1;i<=2;i++)
	{
		ans.ma[i][i]=1;
	}
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ans=ans*a;
		}
		b>>=1;
		a=a*a;
	}
	return ans;
}
struct SMT
{
	struct SegmentTree
	{
		ll l,r;
		Matrix sum,lazy;
	}tree[400010];
	ll lson(ll x)
	{
		return x*2;
	}
	ll rson(ll x)
	{
		return x*2+1;
	}
	void pushup(ll rt)
	{
		tree[rt].sum=tree[lson(rt)].sum+tree[rson(rt)].sum;
	}
	void build(ll rt,ll l,ll r)
	{
		tree[rt].l=l;
		tree[rt].r=r;
		tree[rt].lazy=I;
		if(l==r)
		{
			tree[rt].sum.ma[1][1]=tree[rt].sum.ma[2][1]=tree[rt].sum.ma[2][2]=0;
			tree[rt].sum.ma[1][2]=1;
			tree[rt].sum=tree[rt].sum*qpow(base,a[l],p);
			return;
		}
		ll mid=(l+r)/2;
		build(lson(rt),l,mid);
		build(rson(rt),mid+1,r);
		pushup(rt);
	}
	void pushdown(ll rt)
	{
		if(!(tree[rt].lazy==I))
		{
			tree[lson(rt)].sum=tree[lson(rt)].sum*tree[rt].lazy;
			tree[rson(rt)].sum=tree[rson(rt)].sum*tree[rt].lazy;
			tree[lson(rt)].lazy=tree[lson(rt)].lazy*tree[rt].lazy;
			tree[rson(rt)].lazy=tree[rson(rt)].lazy*tree[rt].lazy;
			tree[rt].lazy=I;
		}
	}
	void update(ll rt,ll x,ll y,Matrix val)
	{
		if(x<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=y)
		{
			tree[rt].sum=tree[rt].sum*val;
			tree[rt].lazy=tree[rt].lazy*val;
			return;
		}
		pushdown(rt);
		ll mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2;
		if(x<=mid)
		{
			update(lson(rt),x,y,val);
		}
		if(y>mid)
		{
			update(rson(rt),x,y,val);
		}
		pushup(rt);
	}
	ll query(ll rt,ll x,ll y)
	{
		if(x<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=y)
		{
			return tree[rt].sum.ma[1][1];
		}
		pushdown(rt);
		int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)/2,ans=0;
		if(x<=mid)
		{
			ans=(ans+query(lson(rt),x,y))%p;
		}
		if(y>mid)
		{
			ans=(ans+query(rson(rt),x,y))%p;
		}
		return ans;
	}
}T;
int main()
{
	ll n,m,pd,l,r,x,i;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	base.ma[1][1]=0;
	base.ma[1][2]=base.ma[2][1]=base.ma[2][2]=1;
	I.ma[1][1]=I.ma[2][2]=1;
	I.ma[1][2]=I.ma[2][1]=0;
	T.build(1,1,n);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>pd>>l>>r;
		if(pd==1)
		{
			cin>>x;
			T.update(1,l,r,qpow(base,x,p));
		}
		else
		{
			cout<<T.query(1,l,r)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

\(R\) CF1956F Nene and the Passing Game

等价于求建完图后的连通块个数。
\((i,j) \in E\) 当且仅当 \(|i-j| \in [l_{i}+l_{j},r_{i}+r_{j}]\) ，即 \(\begin{cases} i+l_{i} \le j-l_{j} \land i+r_{i} \ge j-r_{j} & i<j \\ j+l_{j} \le i-l_{i} \land j+r_{j} \ge i-r_{i} & i>j \end{cases}\) ，即 \(\begin{cases} [i+l_{i},i+r_{i}] \bigcap [j-l_{j},j-r_{j}] \ne \varnothing & i<j \\ [j+l_{j},j+r_{j}] \bigcap [i-l_{i},i-r_{i}] \ne \varnothing & i>j \end{cases}\) 。
记 \(\forall i \in [1,n],L_{i}=[i-l_{i},i-r_{i}],R_{i}=[i+l_{i},i+r_{i}]\) ，上述条件转化为 \(\begin{cases} R_{i} \bigcap L_{j} \ne \varnothing & i<j \\ R_{j} \bigcap L_{i} \ne \varnothing & i>j \end{cases}\) ，又因为一定有 \(\begin{cases} R_{i} \bigcap L_{j}= \varnothing & i>j \\ R_{j} \bigcap L_{i} = \varnothing & i<j \end{cases}\) ，即 \((R_{i} \bigcap L_{j}) \bigcup (L_{i} \bigcap R_{j}) \ne \varnothing\) 。

\(S\) [ABC351G] Hash on Tree

\(T\) [ARC073F] Many Moves

\(U\) luogu P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治

\(V\) luogu P6348 [PA2011] Journeys

题解

\(W\) luogu P2605 [ZJOI2010] 基站选址

题解

\(X\) luogu P3521 [POI2011] ROT-Tree Rotations

题解

数据结构2

开题顺序： \(BAHJC\)

\(A\) luogu B3656 【模板】双端队列 1

用 list 代替 deque 。

关于 deque 和 list 的空间问题，详见关于deque和list 。

点击查看代码

list<int>q[1000001];
int main()
{
    int n,i,a,x;
    string pd;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>pd;
        if(pd=="push_back")
        {
            cin>>a>>x;
            q[a].push_back(x);
        }
        if(pd=="pop_back")
        {
            cin>>a;
            if(q[a].empty()==0)
            {
                q[a].pop_back();
            }
        }
        if(pd=="push_front")
        {
            cin>>a>>x;
            q[a].push_front(x);
        }
        if(pd=="pop_front")
        {
            cin>>a;
            if(q[a].empty()==0)
            {
                q[a].pop_front();
            }
        }
        if(pd=="size")
        {
            cin>>a;
            cout<<q[a].size()<<endl;
        }
        if(pd=="front")
        {
            cin>>a;
            if(q[a].empty()==0)
            {
                cout<<q[a].front()<<endl;
            }
        }
        if(pd=="back")
        {
            cin>>a;
            if(q[a].empty()==0)
            {
                cout<<q[a].back()<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

\(B\) luogu P1892 [BOI2003] 团伙

考虑扩展域并查集，把一个点 \(x\) 拆成两个节点 \(x_{friend}\) 和 \(x_{enemy}\) 。

若 \(x,y\) 是朋友，则合并 \(x_{friend},y_{friend}\) ；否则合并 \(x_{friend},y_{enemy}\) 和 \(x_{enemy},y_{friend}\) 。

点击查看代码

int vis[2010];
struct DSU
{
	int fa[2010];
	void init(int n)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			fa[i]=i;
		}
	}
	int find(int x)
	{
		return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
	}
	void merge(int x,int y)
	{
		x=find(x);
		y=find(y);
		if(x!=y)
		{
			fa[x]=y;
		}
	}
}D;
int main()
{
	int n,m,x,y,ans=0,i;
	char pd;
	cin>>n>>m;
	D.init(2*n);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>pd>>x>>y;
		if(pd=='F')
		{
			D.merge(x,y);
		}
		else
		{
			D.merge(x,y+n);
			D.merge(x+n,y);
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		ans+=(vis[D.find(i)]==0);
		vis[D.find(i)]=1;		
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(C\) luogu P2502 [HAOI2006] 旅行

同 luogu P4234 最小差值生成树的暴力做法，不妨钦定某一条边作为最小边在最终的生成树上。

接着按边权大小枚举剩下的边直至 \(s,t\) 连通。

点击查看代码

struct node
{
	int from,to,w;
}e[5010];
bool cmp(node a,node b)
{
	return a.w<b.w;
}
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
struct DSU
{
	int fa[510];
	void init(int n)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			fa[i]=i;
		}
	}
	int find(int x)
	{
		return (fa[x]==x)?x:fa[x]=find(fa[x]);
	}
}D;
int main()
{
	int n,m,s,t,x,y,d,i,j;
	pair<int,int>ans=make_pair(1,0);
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>e[i].from>>e[i].to>>e[i].w;
	}
	cin>>s>>t;
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		D.init(n);
		for(j=i;j<=m;j++)
		{
			x=D.find(e[j].from);
			y=D.find(e[j].to);
			if(x!=y)
			{
				D.fa[x]=y;
			}
			if(D.find(s)==D.find(t))
			{
				if(ans.first*e[i].w>ans.second*e[j].w)
				{
					ans.first=e[j].w;
					ans.second=e[i].w;
				}
				break;
			}
		}
	}
	if(ans.second==0)
	{
		cout<<"IMPOSSIBLE"<<endl;
	}
	else
	{
		if(ans.first%ans.second==0)
		{
			cout<<ans.first/ans.second<<endl;
		}
		else
		{
			d=gcd(ans.first,ans.second);
			cout<<ans.first/d<<"/"<<ans.second/d<<endl;
		}
	}
	return 0;
}