【学习笔记】珂朵莉树

以下台词来自奥奇传说12周年PV—星海无垠，勇者无畏 BV19M4m1Q7BZ 。

尼莫妮：如果有雷电，那就当作桅杆；如果有风浪，那就当作船帆。

吉尔船长（拿刀指着尼莫妮）：你还有什么遗言，说吧。

尼莫妮：遗言？那就让最伟大的航海家给你一句忠告——航海家的遗言只会献给大海。

尼莫妮通灵兽-上校：船长，舵手已就位！宝物已得手！新的征程在召唤！

前言

珂朵莉树（Chtholly Tree），又名老司机树（Old Driver Tree），起源自 CF896C Willem, Chtholly and Seniorious 。
严格来说，珂朵莉树这种想法是基于数据随机的颜色段均摊，而不是一种数据结构，可作为一些题目的暴力做法（因此原题被分到了暴力数据结构的标签），在随机数据下一般效率较高。

基础知识

珂朵莉树常用来解决区间推平操作，核心思想是将值相同的区间合并成一个节点并保存到 set 里。
修改时再将区间分裂开进行操作。
随机数据下区间加、区间推平、区间求和用 set 实现的珂朵莉树的时间复杂度为 \(O(n \log \log n)\) ，而用链表实现的珂朵莉树的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。证明建议参考 Codeforces 上关于珂朵莉树的复杂度的证明 | 珂朵莉树的复杂度分析。
- \(hack\) 珂朵莉树只需要存在尽可能少的区间推平操作，区间求和的询问就被卡成了暴力。

代码实现

保存节点
- 定义一个结构体 node 记录每个值 \(col\) 相同的一段区间 \([l,r]\) 。
  点击查看代码
```
struct node
{
	int l,r;
	mutable int col;
	bool operator < (const node &another) const
	{
		return l<another.l;
	}
};
set<node>s; 
```
- 为方便随时修改已经插入到 set 里的元素的 \(col\) 而不用将这个元素先取出再重新加入 set ，我们让 \(col\) 被 C++ 关键字 mutable 修饰，使其处于可变状态。
  - mutable 只能用于修饰类中的非静态数据成员。

初始化 init

不做讲解。

点击查看代码

void init(int n,int a[])
{
	s.clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		s.insert((node){i,i,a[i]});
	}
}

分裂 split
- 将原先包含 \(pos\) 的区间 \([l,r]\) 分裂成两部分 \([l,pos-1],[pos,r]\) 并返回后者的迭代器。
  点击查看代码
```
set<node>::iterator split(int pos)
{
	set<node>::iterator it=s.lower_bound((node){pos,0,0});
	if(it!=s.end()&&it->l==pos)
	{
		return it;
	}
	it--;
	if(it->r<pos)
	{
		return s.end();
	}
	int l=it->l,r=it->r,col=it->col;
	s.erase(it);
	s.insert((node){l,pos-1,col});
	return s.insert((node){pos,r,col}).first;
}
```
- 假设我们当前找到了 \(it\) 这个位置，有三种情况。
  - 第一，这个区间以 \(pos\) 开头，直接返回 \(it\) 即可。
  - 第二，找到的区间比正好包含 \(pos\) 的区间大一点点；第三， \(pos\) 太大了，超过了最后一个区间的右端点。不妨先把 \(it\) 向前挪一个位置，判断 \(it\) 的右端点是否比 \(pos\) 小，若成立说明与第三种情况对应，返回 \(s\) 的尾迭代器，否则说明 \(it\) 包含了包含 \(pos\) 的区间，一分为二后删除原区间 \(it\) 并插入两个新区间 \([l,pos-1],[pos,r]\) 。
- 又因为 .insert() 返回值的第一关键字就是插入位置的迭代器，直接返回即可。
  - 关于 .insert() 返回值的详细信息建议参考 cppreference 。
- 接下来对于 \([l,r]\) 的区间操作都能转化到 set 上 \([split(l),split(r+1)-1]\) 的操作。
推平 assign
- 把整个 set 中需要合并的区间全部删除再重新插入一个区间即可。
- 使用 .erase(first,last) 来辅助我们进行删除（区间为左闭右开 \([first,last)\) ）。
  点击查看代码
```
void assign(int l,int r,int col)
{
	set<node>::iterator itr=split(r+1),itl=split(l);
	s.erase(itl,itr);
	s.insert((node){l,r,col});
}
```
- 为避免因 .erase() 导致的迭代器失效问题，先执行 split(r+1) 再执行 split(l) 。
  - 若顺序颠倒可能导致 split(l) 得到的迭代器在 split(r+1) 的 erase 过程中时效从而导致 \(RE\) 。
- 其他操作同理。

修改 update / 询问 query

以区间加、区间求和为例。

点击查看代码

void update(int l,int r,int val)
{
	set<node>::iterator itr=split(r+1),itl=split(l);
	for(set<node>::iterator it=itl;it!=itr;it++)
	{
		it->col+=val;
	}
}
int query(int l,int r)
{
	set<node>::iterator itr=split(r+1),itl=split(l);
	int ans=0;
	for(set<node>::iterator it=itl;it!=itr;it++)
	{
		ans+=it->col*(it->r-it->l+1);
	}
	return ans;
}