P4271 [USACO18FEB] New Barns P 题解

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树的直径 | 最近公共祖先 | 并查集

解法

一个显而易见的结论：设点集 \(A\) 的直径的两个端点为 \(u_{1},v_{1}\)，另一个点集 \(B\) 的直径的两个端点为 \(u_{2},v_{2}\)，则 \(A \bigcup B\) 的直径端点一定是 \(\{ u_{1},v_{1},u_{2},v_{2} \}\) 中的两个。

还有另外一个结论：点集 \(A\) 中一个点 \(x\) 到点集中其他点中最远点的距离一定是到直径两个端点的距离取 \(\max\)。

• 证明
  • 当 \(x\) 在直径上时，显然。
  • 当 \(x\) 不在直径上时，先走到直径上，就转化到了上述情况。

并查集维护连通块内直径的两个端点即可。

倍增来支持动态连边操作，做法同 luogu P3302 [SDOI2013] 森林。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define ull unsigned long long
#define sort stable_sort 
#define endl '\n'
struct node
{
	ll nxt,to;
}e[200010];
ll head[200010],fa[200010][25],dep[200010],N,cnt=0;
void add(ll u,ll v)
{
	cnt++;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].to=v;
	head[u]=cnt;
}
void dfs(ll x,ll father)
{
	dep[x]=dep[father]+1;
	fa[x][0]=father;
	for(ll i=1;i<=N;i++)
	{
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	}
	for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
	{
		if(e[i].to!=father)
		{
			dfs(e[i].to,x);
		}
	}
}
ll lca(ll x,ll y)
{
	if(dep[x]>dep[y])
	{
		swap(x,y);
	}
	for(ll i=N;i>=0;i--)
	{
		if(dep[x]+(1<<i)<=dep[y])
		{
			y=fa[y][i];
		}
	}
	if(x==y)
	{
		return x;
	}
	else
	{
		for(ll i=N;i>=0;i--)
		{
			if(fa[x][i]!=fa[y][i])
			{
				x=fa[x][i];
				y=fa[y][i];
			}
		}
		return fa[x][0];
	}
}
ll dis(ll x,ll y)
{
	return dep[x]+dep[y]-2*dep[lca(x,y)];
}
struct DSU
{
	ll fa[200010],pt[200010][2],tmp[5];
	void init(ll n)
	{
		for(ll i=1;i<=n;i++)
		{
			fa[i]=i;
			pt[i][0]=pt[i][1]=i;
		}
	}
	ll find(ll x)
	{
		return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
	}
	void merge(int x,int y)
	{
		dfs(y,x);
		x=find(x);
		y=find(y);
		fa[y]=x;
		ll maxx=0;
		tmp[1]=pt[x][0];
		tmp[2]=pt[x][1];
		tmp[3]=pt[y][0];
		tmp[4]=pt[y][1];
		for(ll i=1;i<=4;i++)
		{
			for(ll j=i+1;j<=4;j++)
			{
				if(dis(tmp[i],tmp[j])>maxx)
				{
					maxx=dis(tmp[i],tmp[j]);
					pt[x][0]=tmp[i];
					pt[x][1]=tmp[j];
				}
			}
		}
	}
	ll ask(ll x)
	{
		ll y=find(x);
		return max(dis(x,pt[y][0]),dis(x,pt[y][1]));
	}
}D;
int main()
{
	ll q,x,n=0,i;
	char pd;
	cin>>q;
	N=log2(q)+1;
	D.init(q);
	for(i=1;i<=q;i++)
	{
		cin>>pd>>x;
		if(pd=='B')
		{
			n++;
			if(x==-1)
			{
				dfs(n,0);
			}
			else
			{
				D.merge(x,n);
			}
		}
		else
		{
			cout<<D.ask(x)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}