SP8099 TABLE - Crash´s number table 题解

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前置知识

一般的积性函数 | 数论分块 | 莫比乌斯反演

解法

令 \(n \le m\)。

考虑莫比乌斯反演，推式子，有 \(\begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname{lcm}(i,j) \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{ij}{\gcd(i,j)} \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[\gcd(i,j)=k] \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor}ijk^{2}[\gcd(i,j)=1] \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}k\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor}ij\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\mu(d) \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}k\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{m}{k} \right\rfloor}ij[d|\gcd(i,j)] \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}k\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d)d^{2}\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{kd} \right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{m}{kd} \right\rfloor}ij \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}k\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d)d^{2}\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{kd} \right\rfloor}i\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{m}{kd} \right\rfloor}j \\ &=\sum\limits_{T=1}^{n}T\sum\limits_{d|T}\mu(d)d\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor}i\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{m}{T} \right\rfloor}j \end{aligned}\)。

\(f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)d\) 显然是积性函数，线筛筛一下即可。

接着维护前缀和后整除分块。

需要注意的是本题仅限 C++98 提交。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define ull unsigned long long
#define sort stable_sort 
#define endl '\n'
const ll p=20101009;
ll prime[10000010],f[10000010],s[10000010],len=0;
bool vis[10000010];
void isprime(ll n)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	f[1]=1;
	for(ll i=2;i<=n;i++)
	{
		if(vis[i]==0)
		{
			len++;
			prime[len]=i;
			f[i]=1-i;
		}
		for(ll j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				f[i*prime[j]]=f[i];
				break;
			}
			else
			{
				f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
			}
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		s[i]=(s[i-1]+i)%p;
		f[i]=(f[i-1]+f[i]*i%p+p)%p;
	}
}
ll ask(ll n,ll m)
{
	ll ans=0,l,r;
	for(l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans=(ans+(s[n/l]*s[m/l]%p)*(f[r]-f[l-1]+p)%p)%p;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	isprime(max(n,m));
	if(n>m)
	{
		swap(n,m);
	}
	cout<<ask(n,m)<<endl;
	return 0;
}

后记

多倍经验：luogu P1829 [国家集训队] Crash的数字表格 / JZPTAB