【学习笔记】四边形不等式优化 DP
命运是不可见的星辰，人们往往无法看见命运的全貌，却一直被它指引前行。从繁星点点中，梵天能够窥见命运的轨迹。
决策单调性
- 对于最优化问题 \(f_{i}=\min\limits_{j=1}^{i} \{ w(j,i) \}\) ，称 \(w(j,i)\) 为成本函数，参数为 \(i\) 的最优化问题称为问题 \(i\) ，记问题 \(i\) 对应的最小最优决策点为 \(opt(i)\) 。其中，我们假设成本函数 \(w(j,i)\) 可以 \(O(1)\) 计算。
- 决策单调性指对于任意 \(i_{1}<i_{2}\) 均有 \(opt(i_{1}) \le opt(i_{2})\) 。
- 最常见的判断决策单调性的方法是通过四边形不等式。
四边形不等式
- 在成本函数 \(w(x,y)\) 中，若对于任意 \(a \le b \le c \le d\) 均有 \(w(a,c)+w(b,d) \le w(a,d)+w(b,c)\) 则称函数 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式，简记为“交叉小于包含”。若等号恒成立，又称函数 \(w(x,y)\) 满足四边形恒等式。
- 定理
- 在满足四边形不等式的函数 \(w(x,y)\) 中，对于任意 \(a<b\) 均有 \(w(a,b)+w(a+1,b+1) \le w(a,b+1)+w(a+1,b)\) 。
- 证明：用 \(a,a+1,b,b+1\) 代入定义中的 \(a,b,c,d\) 即可。
- 若函数 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式，则最优化问题 \(f_{i}=\min\limits_{j=1}^{i} \{ w(j,i) \}\) 满足决策单调性。
- 证明
- 对于任意 \(i_{1} \in [1,n],j \in [1,opt(i_{1})-1]\) ，由最优性均有 \(w(opt_{i_{1}},i_{1}) \le w(j,i_{1})\) 。
- 对于任意 \(i_{2} \in [i_{1}+1,n],j \in [1,opt(i_{1})-1]\) ，由四边形不等式均有 \(w(j,i_{1})+w(opt(i_{1}),i_{2}) \le w(j,i_{2})+w(opt(i_{1}),i_{1})\) ，移项得到 \(w(opt(i_{1}),i_{2})-w(opt(i_{1}),i_{1}) \le w(j,i_{2})-w(j,i_{1})\) 。
- 将两个不等式相加，得到 \(w(opt(i_{1}),i_{2}) \le w(j,i_{2})\) ，进而得到 \(opt(i_{1}) \le opt(i_{2})\) ，即最优化问题 \(f_{i}=\min\limits_{j=1}^{i} \{ w(j,i) \}\) 满足决策单调性。
- 证明
- 在满足四边形不等式的函数 \(w(x,y)\) 中，对于任意 \(a<b\) 均有 \(w(a,b)+w(a+1,b+1) \le w(a,b+1)+w(a+1,b)\) 。
- 四边形不等式优化利用的是状态转移方程中的决策单调性。
一维线性 DP 的四边形不等式优化
基础知识
- 对于形如 \(f_{i}=\min\limits_{j=0}^{i-1} \{ f_{j}+val(j,i) \}\) 的状态转移方程，若成本函数 \(val(x,y)\) 满足四边形不等式，则 \(f_{i}=\min\limits_{j=0}^{i-1} \{ f_{j}+val(j,i) \}\) 满足决策单调性。
- 证明
- 类比 \(w(x,y)\) 的证明方式，将 \(f_{j}+val(j,i)\) 代入可得到 \(f_{j}+val(j,i)\) 满足四边形不等式，进而推出 \(f_{i}=\min\limits_{j=0}^{i-1} \{ f_{j}+val(j,i) \}\) 满足决策单调性。
- 证明
- 考虑维护 \(\{ opt \}\) ，在枚举至 \(i\) 时，先前的 \(\{ opt \}\) 一定形如 \(j_{1}, \dots ,j_{1},j_{2}, \dots ,j_{2},\dots ,j_{k}(j_{1}<j_{2} < \dots <j_{k})\) 。在插入 \(i\) 时要保证满足决策单调性和最优性，这就需要我们找到一个位置 \(pos\) 使得 \([1,pos]\) 目前存储的决策都比 \(i\) 好，而 \((pos,n]\) 目前存储的决策都比 \(i\) 差，接着将 \((pos,n]\) 全部修改为 \(i\) 。
- 因为 \(\{ opt \}\) 中存在许多相同的元素，且暴力修改效率较低，可将相同元素试做一个块 \((j,l,r)\) 表示 \(opt_{l \sim r}=j\) 。
- 同时，由于决策单调性的存在，我们没有必要保存 \(opt_{1 \sim i-1}\) 的部分来减少不必要的决策，单调队列就可以维护了。
- 算法流程
- \((0)\) 插入 \((0,1,n)\) 。
- 如果存在 \(j=0\) 这个决策的话。
- 对于任意 \(i \in [1,n]\) ，顺序执行以下操作。
- \((1)\) 取出队头并检查队头是否过时，即 \(head.r\) 是否 \(<i\) 。若已过时则删除队头，否则令 \(head_{l}=i\) 。
- \((2)\) 令队头作为最优决策进行状态转移。
- \((3)\) 取出队尾，进行分讨。若对于 \(f_{tail.l}\) 来看 \(i\) 比 \(tail.j\) 更优，则令 \(pos=tail_{l}\) ，删除队尾并本步骤重新开始；若对于 \(f_{tail.r}\) 来看 \(i\) 比 \(tail.j\) 更差，则插入新决策 \(i\) ；否则，在 \([tail_{l},tail_{r}]\) 上进行二分查找 \(pos\) 使得在此之前 \(tail_{j}\) 更优，在此之后 \(i\) 更优，插入新决策 \((i,pos,n)\) 。
- \((0)\) 插入 \((0,1,n)\) 。
例题
luogu P3515 [POI2011] Lightning Conductor
-
多倍经验： luogu P5503 [JSOI2016] 灯塔 | SP9070 LIGHTIN - Lightning Conductor
-
设 \(f_{i}\) 表示使 \(a_{j} \le a_{i}+f_{i}-\sqrt{|i-j|}\) 成立的最小非负整数，移项状态转移方程为 \(f_{i}=\max\limits_{j=1}^{n} \{ a_{j}-a_{i}+\sqrt{|i-j|} \}=-\min\limits_{j=1}^{n} \{ a_{i}-a_{j}-\sqrt{|i-j|} \}\) 。
-
当 \(1 \le j<i\) 时，原式为 \(f_{i}=-\min\limits_{j=1}^{i} \{ a_{i}-a_{j}-\sqrt{i-j} \}\) 。
- 令 \(w(x,y)=a_{y}-a_{x}-\sqrt{y-x}\) ，有 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式。
- 证明
- 将式子拆开后等价于证明 \(-2\sqrt{y-x} \le -\sqrt{y-x-1}-\sqrt{y-x+1}\) 移项有 \(2\sqrt{y-x} \ge \sqrt{y-x-1}+\sqrt{y-x+1}\) ，令 \(k=y-x\) ，等价于证明 \(2\sqrt{k} \ge \sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}\) ，左右平方后有 \(k \ge \sqrt{k^{2}-1}\) 。原结论成立。
- 证明
- 令 \(w(x,y)=a_{y}-a_{x}-\sqrt{y-x}\) ，有 \(w(x,y)\) 满足四边形不等式。
-
当 \(j=i\) 时，有 \(f_{i}=\max(f_{i},0)\) 。
-
当 \(i<j\) 时，将 \(\{ a \}\) 翻转即可。
点击查看代码
ll a[500010],f[500010]; deque<ll>qj,ql,qr; double w(ll x,ll y) { return a[x]+sqrt(y-x); } void solve(ll n) { qj.clear(); ql.clear(); qr.clear(); for(ll i=1;i<=n;i++) { while(qj.empty()==0&&qr.front()<i) { qj.pop_front(); ql.pop_front(); qr.pop_front(); } if(qj.empty()==0) { ql.front()=i; f[i]=max(f[i],-a[i]+((ll)(ceil(a[qj.front()]+sqrt(i-qj.front()))))); } while(qj.empty()==0&&w(qj.back(),ql.back())<=w(i,ql.back())) { qj.pop_back(); ql.pop_back(); qr.pop_back(); } if(qj.empty()==0) { if(w(qj.back(),n)<w(i,n))//保证有优于 i 的决策 { ll l=ql.back(),r=n,mid; while(l<=r) { mid=(l+r)/2; if(w(qj.back(),mid)<w(i,mid)) { r=mid-1; } else { l=mid+1; } } qr.back()=r; qj.push_back(i); ql.push_back(l); qr.push_back(n); } } else { qj.push_back(i); ql.push_back(i); qr.push_back(n); } } } int main() { ll n,i; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; } solve(n); reverse(a+1,a+1+n); reverse(f+1,f+1+n); solve(n); reverse(f+1,f+1+n); for(i=1;i<=n;i++) { cout<<f[i]<<endl; } return 0; }
luogu P1912 [NOI2009] 诗人小G
-
令 \(sum_{i}\) 表示前 \(i\) 句诗加空格的长度，即 \(sum_{i}=\sum\limits_{j=1}^{i}(|s_{j}|+1)=i+\sum\limits_{j=1}^{i}|s_{j}|\) 。
-
设 \(f_{i}\) 表示将前 \(i\) 句诗排版后的最下协调度，状态转移方程为 \(f_{i}=\min\limits_{j=0}^{i-1} \{ f_{j}+|sum_{i}-sum_{j}-l-1|^{p} \}\) 。
-
拆掉绝对值后求导即可证明 \(f\) 是满足决策单调性的。
- 还没学导数，具体证明先咕了。
-
中途会炸
__int128_t需要使用long double代替；手写快速幂来减小时间复杂度。点击查看代码
ll sum[100010],ans[100010]; long double f[100010]; char s[100010][40]; deque<ll>qj,ql,qr; long double qpow(long double a,ll b) { long double ans=1; while(b) { if(b&1) { ans=ans*a; } b>>=1; a=a*a; } return ans; } long double w(ll j,ll i,ll L,ll p) { return f[j]+qpow(abs(sum[i]-sum[j]-L-1),p); } void print(ll x) { if(x==0) { return; } else { print(ans[x]); for(ll i=ans[x]+1;i<=x;i++) { cout<<(s[i]+1); if(i!=x) { cout<<" "; } } cout<<endl; } } int main() { ll t,n,L,p,l,r,mid,i,j; cin>>t; for(j=1;j<=t;j++) { cin>>n>>L>>p; memset(ans,0,sizeof(ans)); for(i=1;i<=n;i++) { cin>>(s[i]+1); sum[i]=sum[i-1]+strlen(s[i]+1)+1; } qj.clear(); ql.clear(); qr.clear(); qj.push_back(0); ql.push_back(1); qr.push_back(n); for(i=1;i<=n;i++) { while(qj.empty()==0&&qr.front()<i) { qj.pop_front(); ql.pop_front(); qr.pop_front(); } if(qj.empty()==0) { ql.front()=i; f[i]=w(qj.front(),i,L,p); ans[i]=qj.front(); } while(qj.empty()==0&&w(qj.back(),ql.back(),L,p)>=w(i,ql.back(),L,p)) { qj.pop_back(); ql.pop_back(); qr.pop_back(); } if(qj.empty()==0) { if(w(qj.back(),n,L,p)>w(i,n,L,p)) { l=ql.back(); r=n; while(l<=r) { mid=(l+r)/2; if(w(qj.back(),mid,L,p)>w(i,mid,L,p)) { r=mid-1; } else { l=mid+1; } } qr.back()=r; qj.push_back(i); ql.push_back(l); qr.push_back(n); } } else { qj.push_back(i); ql.push_back(i); qr.push_back(n); } } if(f[n]>1e18) { cout<<"Too hard to arrange"<<endl; } else { cout<<(ll)f[n]<<endl; print(n); } cout<<"--------------------"<<endl; } return 0; }
二维区间 DP 的四边形不等式优化
基础知识
- 若对于任意的 \(a \le b \le c \le d\) 均有 \(w(b,c) \le w(a,d)\) ，则称 \(w\) 对于区间包含关系具有单调性。
- 对于形如 \(f_{i,j}=\min\limits_{k=i}^{j-1} \{ f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \}\) 的状态转移方程，其中 \(f_{i,i}=w(i,i)=0\) ，若 \(w\) 满足四边形不等式和区间包含单调性，那么 \(f\) 也满足四边形不等式。
- 证明
- 考虑数学归纳法。
- 当 \(j-i=1\) 时，有 \(f\) 满足四边形不等式。
- 由 \(f_{i,i}=w(i,i)=0\) ，有 \(\begin{cases} f_{i,j}=f_{i,i}+f_{j,j}+w(i,j)=w(i,j) \\ f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,i+2}+f_{i+1,i+1}=f_{i,i+2} \end{cases}\) 。
- 若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策是 \(i+1\) ，则 \(\begin{aligned} f_{i,i+2} &=f_{i,i+1}+f_{i+2,i+2}+w(i,i+2) \\ &=w(i,i+1)+w(i,i+2) \\ & \ge w(i,i+1)+w(i+1,i+2) \\ &=f_{i,i+1}+f_{i+1,i+2} \\ &= f_{i,j}+f_{i+1,j+1} \end{aligned}\) 。
- 若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策是 \(i\) ，则 \(\begin{aligned} f_{i,i+2} &=f_{i,i}+f_{i+1,i+2}+w(i,i+2) \\ &=w(i+1,i+2)+w(i,i+2) \\ &=w(i+1,i+2)+w(i,i+1) \\ &=f_{i+1,i+2}+f_{i,i+1} \\ &=f_{i+1,j+1}+f_{i,j} \end{aligned}\) 。
- 故 \(j-i=1\) 时，有 \(f\) 满足四边形不等式。
- 假设当 \(j-i<k\) 时，有 \(f\) 满足四边形不等式。
- 当 \(j-i=k\) 时，设 \(x(x \in [i,j])\) 是 \(f_{i,j+1}\) 的最优决策， \(y(y \in [i+1,j-1])\) 是 \(f_{i+1,j}\) 的最优决策，不妨设 \(i+1 \le x \le y\) 。有 \(\begin{cases} f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,x}+f_{x+1,j+1}+w(i,j+1)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j}+w(i+1,j) \\ f_{i,j}+f_{i+1,j+1} \le f_{i,x}+f_{x+1,j}+w(i,j)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j+1}+w(i+1,j+1) \end{cases}\) 。又因为 \(\begin{cases} w(i,j)+w(i+1,j+1) \le w(i,j+1)+w(i+1,j) \\ f_{x+1,j}+f_{y+1,j+1} \le f_{x+1,j+1}+f_{y+1,j} \end{cases}\) ，有 \(f_{i,j}+f_{i+1,j+1} \le f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\) 。故当 \(j-i=k\) 时，有 \(f\) 满足四边形不等式。
- 故 \(f\) 满足四边形不等式。
- 证明
- 定理
- 对于形如 \(f_{i,j}=\min\limits_{k=i}^{j-1} \{ f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \}\) 的状态转移方程，其中 \(f_{i,i}=w(i,i)=0\) ，若 \(f\) 满足四边形不等式，那么对于任意 \(i<j\) 均有 \(opt_{i,j-1} \le opt_{i,j} \le opt_{i+1,j}\) ，即满足二维决策单调性。
- 证明
- 由于 \(f\) 满足四边形不等式，对于任意的 \(k \in(i,opt_{i,j}]\) 均有 \(f_{i,k}+f_{i+1,opt_{i,j}} \le f_{i,opt_{i,j}}+f_{i+1,k}\) ，移项得到 \(f_{i,k}-f_{i,opt_{i,j}} \le f_{i+1,k}-f_{i+1,opt_{i,j}}\) 。
- 又因为 \(f_{i,k}+f_{k+1,j} \ge f_{i,opt_{i,j}}+f_{opt_{i,j}+1,j}\) ，移项有 \(f_{i,k}+f_{k+1,j}-f_{i,opt_{i,j}}-f_{opt_{i,j}+1,j} \ge 0\) 。
- 对于 \(f_{i+1,j}\) 有 \(\begin{aligned} & (f_{i+1,k}+f_{k+1,j}+w(i+1,j))-(f_{i+1,opt_{i,j}}+f_{opt_{i,j}+1,j}+w(i+1,j)) \\ &=f_{i+1,k}+f_{k+1,j}-f_{i+1,opt_{i,j}}-f_{opt_{i,j}+1,j} \\ &=(f_{i+1,k}-f_{i+1,opt_{i,j}})+(f_{k+1,j}-f_{opt_{i,j}+1,j}) \\ & \ge (f_{i,k}-f_{i,opt_{i,j}})+(f_{k+1,j}-f_{opt_{i,j}+1,j}) \\ &=f_{i,k}+f_{k+1,j}-f_{i,opt_{i,j}}-f_{opt_{i,j}+1,j} \\ & \ge 0 \end{aligned}\) ，说明 \(k\) 一定不比 \(opt_{i,j}\) 更优，故 \(opt_{i,j} \le opt_{i+1,j}\) 。
- \(opt_{i,j-1} \le opt_{i,j}\) 同理。
- 证明
- 对于形如 \(f_{i,j}=\min\limits_{k=i}^{j-1} \{ f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \}\) 的状态转移方程，其中 \(f_{i,i}=w(i,i)=0\) ，若 \(f\) 满足四边形不等式，那么对于任意 \(i<j\) 均有 \(opt_{i,j-1} \le opt_{i,j} \le opt_{i+1,j}\) ，即满足二维决策单调性。
例题
luogu P1775 石子合并（弱化版）
-
令 \(sum_{i}=\sum\limits_{j=1}^{i}a_{i},w(l,r)=sum_{r}-sum_{l-1}\) 。显然有 \(w\) 满足四边形恒等式。
-
设 \(f_{l,r}\) 表示把最初的第 \(l \sim r\) 堆合并成一堆需要消耗的最少体力，状态转移方程为 \(f_{l,r}=\min\limits_{k=l}^{r-1} \{ f_{l,k}+f_{k+1,r}+w(l,r) \}\) ，边界为 \(f_{i,i}=0,opt_{i,i}=i\) 。
-
由于 \(f\) 满足四边形不等式，故仅枚举 \(k \in [opt_{l,r-1},opt_{l+1,r}]\) ，时间复杂度为 \(O(\sum\limits_{l=1}^{n-1}\sum\limits_{r=l+1}^{n}(opt_{l+1,r}-opt_{l,r-1}+1))=O(\sum\limits_{l=1}^{n-1}(opt_{l+1,n}-opt_{1,n-l}+n-l))=O(n^{2})\) 。
点击查看代码
ll a[2010],sum[2010],f[2010][2010],opt[2010][2010]; ll w(ll l,ll r) { return sum[r]-sum[l-1]; } int main() { ll n,i,len,l,r,k; cin>>n; memset(f,0x3f,sizeof(f)); for(i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; sum[i]=sum[i-1]+a[i]; f[i][i]=0; opt[i][i]=i; } for(len=2;len<=n;len++) { for(l=1,r=l+len-1;r<=n;l++,r++) { for(k=opt[l][r-1];k<=opt[l+1][r];k++) { if(f[l][k]+f[k+1][r]+w(l,r)<f[l][r]) { f[l][r]=f[l][k]+f[k+1][r]+w(l,r); opt[l][r]=k; } } } } cout<<f[1][n]<<endl; return 0; }
满足四边形不等式的函数类
- 若函数 \(w_{1}(x,y)\) 和 \(w_{2}(x,y)\) 均满足四边形不等式（或区间包含单调性），则对于任意 \(k_{1},k_{2} \ge 0\) 均有 \(k_{1}w_{1}(x,y)+k_{2}w_{2}(x,y)\) 也满足四边形不等式（或区间包含单调性）。
- 若对于函数 \(w(j,i)\) 存在函数 \(f(x),g(x)\) 使得 \(w(j,i)=f(i)-g(j)\) ，则函数 \(w\) 满足四边形不等式。且当函数 \(f,g\) 单调递增时，函数 \(w\) 也满足区间包含单调性。
- 设 \(h(x)\) 是一个单调递增的凸函数，若函数 \(w(j,i)\) 满足四边形不等式和区间包含单调性，则复合函数 \(h(w(j,i))\) 也满足四边形不等式和区间包含单调性。
- 设 \(h(x)\) 是一个凸函数，若函数 \(w(j,i)\) 满足四边形恒等式和区间包含单调性，则复合函数 \(h(w(j,i))\) 也满足四边形不等式。
本文来自博客园，作者：hzoi_Shadow，原文链接：https://www.cnblogs.com/The-Shadow-Dragon/p/18295297，未经允许严禁转载。
版权声明：本作品采用 「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议（CC BY-NC-SA 4.0） 进行许可。
