SP8177 JZPEXT - Beautiful numbers EXTREME 题解

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前置知识

数位 DP | 同余

解法

同余的传递性：若 \(\begin{cases} a,b \in \mathbf{Z} \\ p,q \in \mathbb{N}^{*} \\ q \mid p \end{cases}\)，则当 \(a \equiv b \pmod{p}\) 时有 \(a \equiv b \pmod{q}\)。故在本题中 \(\bmod\) 各非零数码均等于 \(0\) 等价于 \(\bmod\) 各非零数码的 \(\operatorname{lcm}\) 等于 \(0\)，等价于 \(\bmod 2520\) 后的结果 \(\bmod\) 各非零数码的 \(\operatorname{lcm}\) 等于 \(0\)。

同时，对于 \(S \subset \{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}\)，有 \(\operatorname{lcm}_{x \in S} \{ x \} \mid 2520\)。

所以我们可以预处理出 \(2520\) 的因数并离散化，分别记录当前位置、所构成的数字 \(\bmod 2520\) 后的结果、非零数码的 \(\operatorname{lcm}\)，接着就和正常的数位 DP 一样了。

注意搜索顺序对答案继承的影响。

另外，本题限制代码长度小于 1KB。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define endl '\n'
ll a[25],g[2600],f[25][2600][55];
ll lcm(ll a,ll b)
{
	return a/__gcd(a,b)*b;
}
ll divide(ll n,ll a[])
{
	ll len=0;
	while(n)
	{
		len++;
		a[len]=n%10;
		n/=10;
	}
	return len;
}
ll dfs(ll pos,ll pre_sum,ll pre_lcm,ll limit,ll p)
{
	if(pos<=0)
	{
		return (pre_sum%pre_lcm==0);
	}
	if(f[pos][pre_sum][g[pre_lcm]]!=-1&&limit==0)
	{
		return f[pos][pre_sum][g[pre_lcm]];
	}
	ll ans=0,maxx=(limit==0)?9:a[pos],i;
	for(i=0;i<=maxx;i++)
	{
		ans+=dfs(pos-1,(pre_sum*10%p+i)%p,(i==0)?pre_lcm:lcm(pre_lcm,i),(i==maxx)*limit,p);
	}
	return (limit==0)?f[pos][pre_sum][g[pre_lcm]]=ans:ans;
}
ll ask(ll n)
{
	ll len=divide(n,a);
	return dfs(len,0,1,1,2520);
}
void init()
{
	ll num=0;
	memset(f,-1,sizeof(f));
	for(ll i=1;i<=2520;i++)
	{
		if(2520%i==0)
		{
			num++;
			g[i]=num;
		}
	}
}
int main()
{
	ll t,l,r,i;
	cin>>t;
	init();
	for(i=1;i<=t;i++)
	{
		cin>>l>>r;
		cout<<ask(r)-ask(l-1)<<endl;
	}
	return 0;
}

后记

多倍经验： CF55D Beautiful numbers