【学习笔记】基环树

基环树

无向图

若一个无向连通图有 \(n\) 个点和 \(n\) 条边，即是在树上加一条边后构成的图中恰好包含一个环的图，则称它是一棵基环树。
若一个无向图有 \(n\) 个点和 \(n\) 条边，即是由若干棵基环树组成的森林，则称它是一个基环树森林。

有向图

若一个有向连通图有 \(n\) 个点和 \(n\) 条边，每个节点有且仅有一条入边，则称它是一棵基环外向树。
若一个有向连通图有 \(n\) 个点和 \(n\) 条边，每个节点有且仅有一条出边，则称它是一棵基环内向树。
基环内向树和基环外向树统称基环树。
若一个有向图有 \(n\) 个点和 \(n\) 条边，每个节点有且仅有一条出（入）边，即是由若干棵基环外（内）向树组成的森林，则称它是一个基环外（内）向树森林。

例题

luogu P8655 [蓝桥杯 2017 国 B] 发现环

基环树找环板子。
\(DFS+\) 并查集
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\(Tarjan\)

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struct node
{
    int nxt,to;
}e[200001];
int head[200001],dfn[200001],low[200001],ins[200001],c[200001],cnt=0,tot=0,ans=0,rt=0;
vector<int>scc[200001];
stack<int>s;
void add(int u,int v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
void tarjan(int x,int fa)
{
    int i,k=0;
    tot++;
    dfn[x]=low[x]=tot;
    ins[x]=1;
    s.push(x);
    for(i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            if(dfn[e[i].to]==0)
            {
                tarjan(e[i].to,x);
                low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
            }
            else
            {
                if(ins[e[i].to]==1)
                {
                    low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
                }
            }
        }
    }
    if(dfn[x]==low[x])
    {
        ans++;
        while(x!=k)
        {
            k=s.top();
            ins[k]=0;
            c[k]=ans;
            scc[ans].push_back(k);
            s.pop();
        }
        if(scc[ans].size()>=2)
        {
            rt=ans;
        }
    }
}
int main()
{
    int n,i,u,v;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dfn[i]==0)
        {
            tarjan(i,0);
        }
    }
    sort(scc[rt].begin(),scc[rt].end());
    for(i=0;i<scc[rt].size();i++)
    {
        cout<<scc[rt][i]<<" ";
    }
    return 0;
}

拓扑排序
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luogu P2921 [USACO08DEC] Trick or Treat on the Farm G

判断是否有自环。若没有则为基环内向树。
若节点 \(x\) 在环上，则答案为环的大小。

若节点 \(x\) 不在环上，则答案为节点 \(x\) 到环的距离 \(+\) 环的大小。

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struct node
{
    int next,to;
}e[100010];
stack<int>s;
int head[100010],dfn[100010],low[100010],ins[100010],scc[100010],c[100010],u[100010],v[100010],dis[100010],cnt=0,tot=0,ans=0;
void add(int u,int v)
{
    cnt++;
    e[cnt].next=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
void tarjan(int x)
{
    int i,k=0;
    tot++;
    dfn[x]=low[x]=tot;
    ins[x]=1;
    s.push(x);
    for(i=head[x];i!=0;i=e[i].next)
    {
        if(dfn[e[i].to]==0)
        {
            tarjan(e[i].to);
            low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
        }
        else
        {
            if(ins[e[i].to]==1)
            {
                low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
            }
        }
    }
    if(dfn[x]==low[x])
    {
        ans++;
        while(x!=k)
        {
            k=s.top();
            ins[k]=0;
            c[k]=ans;
            scc[ans]++;
            s.pop();
        }
    }
}
void dfs(int rt,int x,int sum)
{
    if(dis[x]==0)
    {
        dfs(rt,v[x],sum+1);
    }
    else
    {
        dis[rt]=dis[x]+sum;
    }
}
int main()
{
    int n,i,j,sum;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        u[i]=i;
        cin>>v[i];
        add(u[i],v[i]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dfn[i]==0)
        {
            tarjan(i);
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(u[i]==v[i])
        {
            dis[i]=1;
        }
        else
        {
            dis[i]=(scc[c[u[i]]]>=2)*scc[c[u[i]]];
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dis[i]==0)
        {
            dfs(u[i],v[i],1);
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dis[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

luogu P2607 [ZJOI2008] 骑士

将自己最痛恨的骑士向自己连一条有向边，这样就形成了基环外向树森林。
基环外向树森林内每棵基环外向树是相互独立的，需要单独处理。
对于每棵基环外向树，任取环上一点 \(x\) ，断开 \(x\) 到 \(fa_{x}\) 的有向边，外向树就变成了一棵以 \(x\) 为根的树。
设 \(f_{x,0/1}\) 表示 \(x\) 不出征/出征时，以 \(x\) 为根的子树的最大战斗力，状态转移方程为 \(\begin{cases} f_{x,0}=\sum\limits_{y \in Son(x)}\max(f_{y,0},f_{y,1}) \\ f_{x,1}=w_{x}+\sum\limits_{y \in Son(x)}f_{y,0} \end{cases}\) 。
- 状态转移方程同 luogu P1352 没有上司的舞会。

将原问题拆成两部分。第一部分为 \(x\) 不限制 \(fa_{x}\) ，断开 \(x\) 到 \(fa_{x}\) 的有向边，在以 \(x\) 为根的树上进行 \(DP\) ，得到的结果为 \(\max(f_{x,0},f_{x,1})\) ；第二部分为 \(x\) 限制 \(fa_{x}\) 。故再次以 \(fa_{x}\) 为根进行 \(DP\) ，得到的结果为 \(f_{fa_{x},0}\) 。这两部分合起来能够覆盖整个问题，故二者取 \(\max\) 即可。

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struct node
{
    ll nxt,to;
}e[1000010];
ll head[1000010],vis[1000010],u[1000010],v[1000010],w[1000010],f[1000010][2],rt,cnt=0;
void add(ll u,ll v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
ll dfs_huan(ll x)
{
    vis[x]=1;
    return (vis[u[x]]==1)?x:dfs_huan(u[x]);
}
void dfs(ll x)
{
    vis[x]=1;
    f[x][0]=0;
    f[x][1]=w[x];
    for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to==rt)
        {
            f[e[i].to][1]=-0x3f3f3f3f;
        }
        else
        {
            dfs(e[i].to);
            f[x][0]+=max(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1]);
            f[x][1]+=f[e[i].to][0];
        }
    }
}
int main()
{
    ll n,ans=0,maxx,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        v[i]=i;
        cin>>w[i]>>u[i];
        add(u[i],v[i]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            rt=dfs_huan(i);
            dfs(rt);
            maxx=max(f[rt][0],f[rt][1]);
            rt=u[rt];
            dfs(rt);
            ans+=max(maxx,f[rt][0]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

luogu P1453 城市环路

处理下无向图中的环即可。

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struct node
{
    ll nxt,to;
}e[200010];
ll head[200010],vis[200010],dfn[200010],low[200010],ins[200010],c[200010],w[200010],f[200010][2],id,rt,cnt=0,tot=0,ans=0;
vector<ll>scc[200010];
stack<ll>s;
void add(ll u,ll v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
void tarjan(int x,int fa)
{
    int i,k=0;
    tot++;
    dfn[x]=low[x]=tot;
    ins[x]=1;
    s.push(x);
    for(i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            if(dfn[e[i].to]==0)
            {
                tarjan(e[i].to,x);
                low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
            }
            else
            {
                if(ins[e[i].to]==1)
                {
                    low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
                }
            }
        }
    }
    if(dfn[x]==low[x])
    {
        ans++;
        while(x!=k)
        {
            k=s.top();
            ins[k]=0;
            c[k]=ans;
            scc[ans].push_back(k);
            s.pop();
        }
        if(scc[ans].size()>=2)
        {
            id=ans;
        }
    }
}
void dfs(ll x,ll fa)
{
    vis[x]=1;
    f[x][0]=0;
    f[x][1]=w[x];
    for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            if(e[i].to==rt)
            {
                f[e[i].to][1]=-0x3f3f3f3f;
            }
            else
            {
                dfs(e[i].to,x);
                f[x][0]+=max(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1]);
                f[x][1]+=f[e[i].to][0];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    ll n,u,v,ans=0,maxx,i;
    double k;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        u++;
        v++;
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    cin>>k;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dfn[i]==0)
        {
            tarjan(i,0);
        }
    }
    rt=scc[id][0];
    dfs(rt,scc[id][1]);
    maxx=max(f[rt][0],f[rt][1]);
    rt=scc[id][1];
    dfs(rt,scc[id][0]);
    ans+=max(maxx,f[rt][0]);
    printf("%.1lf\n",1.0*ans*k);
    return 0;
}

luogu P1543 [POI2004] SZP

多倍经验： BZOJ3037 创世纪
将 \(a_{i}\) 向 \(i\) 连一条有向边，这样就形成了基环外向树森林。

设 \(f_{x,0/1}\) 表示 \(x\) 不选/选时，以 \(x\) 为根的子树的最多选择个数，状态转移方程为 \(\begin{cases} f_{x,0}=\sum\limits_{y \in Son(x)} \max(f_{y,0},f_{y,1}) \\ f_{x,1}=1+\max\limits_{y \in Son(x)} \{ f_{y,0}+\sum\limits_{z \in Son(x),z \ne y} \max(f_{z,0},f_{z,1}) \}=1+f_{x,0}- \min\limits_{y \in Son(x)} \{ \max(f_{y,0},f_{y,1})-f_{y,0} \} \end{cases}\) 。

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struct node
{
    int nxt,to;
}e[2000010];
int head[2000010],vis[2000010],u[2000010],v[2000010],f[2000010][2],rt,cnt=0;
void add(int u,int v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
int dfs_huan(int x)
{
    vis[x]=1;
    return (vis[u[x]]==1)?x:dfs_huan(u[x]);
}
void dfs(int x)
{
    int minn=0x3f3f3f3f;
    vis[x]=1;
    f[x][0]=0;
    for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to==rt)
        {
            f[e[i].to][1]=-0x3f3f3f3f;
        }
        else
        {
            dfs(e[i].to);
            f[x][0]+=max(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1]);
            minn=min(minn,max(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1])-f[e[i].to][0]);
        }
    }
    f[x][1]=1+f[x][0]-minn;
}
int main()
{
    int n,ans=0,maxx,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        v[i]=i;
        cin>>u[i];
        add(u[i],v[i]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            rt=dfs_huan(i);
            dfs(rt);
            maxx=max(f[rt][0],f[rt][1]);
            rt=u[rt];
            dfs(rt);
            ans+=max(maxx,f[rt][1]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

luogu P5022 [NOIP2018 提高组] 旅行

当 \(m=n-1\) 时，贪心选取子节点中编号最小优先遍历即可。

当 \(m=n\) 时，暴力枚举删的是哪条边，使其变成一棵树，然后当成 \(m=n-1\) 的情况来做。

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int vis[10010],u[10010],v[10010],brokeu,brokev;
vector<int>e[10010],ans,ls;
bool check(int u,int v)
{
    return ((u==brokeu&&v==brokev)||(u==brokev&&v==brokeu))?false:true;
}
bool cmp()
{
    for(int i=0;i<ans.size();i++)
    {
        if(ans[i]>ls[i])
        {
            return true;
        }
        if(ans[i]<ls[i])
        {
            return false;
        }
    }
    return false;
}
void dfs1(int x,int fa)
{
    ans.push_back(x);
    for(int i=0;i<e[x].size();i++)
    {
        if(e[x][i]!=fa)
        {
            dfs1(e[x][i],x);
        }
    }
}
void dfs2(int x,int fa)
{
    vis[x]=1;
    ls.push_back(x);
    for(int i=0;i<e[x].size();i++)
    {
        if(vis[e[x][i]]==0&&check(x,e[x][i])==true)
        {
            dfs2(e[x][i],x);
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,i;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u[i]>>v[i];
        e[u[i]].push_back(v[i]);
        e[v[i]].push_back(u[i]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        sort(e[i].begin(),e[i].end());
    }
    if(m==n-1)
    {
        dfs1(1,0);
    }
    else
    {
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            brokeu=u[i];
            brokev=v[i];
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            ls.clear();
            dfs2(1,0);
            if(ls.size()==n)
            {
                if(ans.size()==0||cmp()==true)
                {
                    ans=ls;
                }
            }
        }
    }
    for(i=0;i<ans.size();i++)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    return 0;
}

luogu P4381 [IOI2008] Island

发现无向图不是很好处理，遂当成有向图来处理。
基环树的最长链来自两种情况。
- 在去掉环上所有边后的某棵子树中。
- 经过环，其两端分别在在去掉环上所有边后的两棵不同子树中。
设 \(f_{x}\) 表示在去掉环上所有边后的以 \(x\) 为根的子树中，以 \(x\) 为起点的最长链长度； \(g_{x}\) 表示在去掉环上所有边后的以 \(x\) 为根的子树中的最长链长度； \(dis_{x,y}\) 表示环上 \(x,y\) 之间的最短距离。
对于环上任意两点 \(s_{i},s_{j}(s_{i} \ne s_{j})\) ，对答案的贡献为 \(\max(g_{s_{i}},g_{s_{j}},f_{s_{i}}+f_{s_{j}}+dis_{s_{i},s_{j}})\) 。

\(f_{s_{i}}+f_{s_{j}}+dis_{s_{i},s_{j}}\) 类似 AcWing 289. 环路运输一样处理即可。

点击查看代码

struct node
{
    ll nxt,to,w;
}e[2000010];
ll head[2000010],din[2000010],vis[2000010],f[2000010],g[2000010],u[2000010],v[2000010],w[2000010],cnt=0;
void add(ll u,ll v,ll w)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].w=w;
    head[u]=cnt;
}
void top_sort(ll n)
{
    queue<ll>q;
    ll x,i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(din[i]==0)
        {
            q.push(i);
            vis[i]=1;
        }
    }
    while(q.empty()==0)
    {
        x=q.front();
        q.pop();
        for(i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
        {
            din[e[i].to]--;
            g[e[i].to]=max(g[e[i].to],max(f[e[i].to]+f[x]+e[i].w,g[x]));
            f[e[i].to]=max(f[e[i].to],f[x]+e[i].w);
            if(din[e[i].to]==0)
            {
                q.push(e[i].to);
                vis[e[i].to]=1;
            }
        }
    }
}
ll ask(ll y)
{
    ll x=y,ans1=g[x],ans2=-0x3f3f3f3f,len=w[x],maxx1=f[x],maxx2=f[x];
    for(y=v[x];y!=x;y=v[y])
    {
        vis[y]=1;
        ans1=max(ans1,max(g[y],maxx1+f[y]+len));
        ans2=max(ans2,f[y]+maxx2-len);
        maxx1=max(maxx1,f[y]-len);
        maxx2=max(maxx2,f[y]+len);
        len+=w[y];
    }
    return max(ans1,ans2+len);
}
int main()
{
    ll n,ans=0,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        u[i]=i;
        cin>>v[i]>>w[i];
        add(u[i],v[i],w[i]);
        din[v[i]]++;
    }
    top_sort(n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            vis[i]=1;
            ans+=ask(i);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

多倍经验： luogu P1399 [NOI2013]快餐店
断的边一定是环上的边，先把环转化成序列。

参考资料

《算法竞赛进阶指南》——李煜东

OI-WiKi

基环树学习笔记

[题解] BZOJ4203 同桌的你

posted @ 2024-03-29 17:56 hzoi_Shadow 阅读(31) 评论(0) 编辑收藏举报

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