复旦勰码 3 月月赛 II & ZHYOI Round 4

【LGR-179-Div.2】复旦勰码 3 月月赛 II & ZHYOI Round 4

\(T1\) luogu P10251 农场 \(100pts\)

注意到未注明给的是哪两个对角顶点。

赛时没注意到这一点，并因此吃了发罚时。

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int main()
{
    ll n,x1,y1,x2,y2,xmax=-0x7f7f7f7f,xmin=0x7f7f7f7f,ymax=-0x7f7f7f7f,ymin=0x7f7f7f7f,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        xmax=max(xmax,max(x1,x2));
        ymax=max(ymax,max(y1,y2));
        xmin=min(xmin,min(x1,x2));
        ymin=min(ymin,min(y1,y2));
    }
    cout<<(xmax-xmin)*(ymax-ymin)<<endl;
    return 0;
}

\(T2\) luogu P10252 线性变换 \(100pts\)

觉得比较像 luogu P3306 [SDOI2013] 随机数生成器。
递推式为 \(x_{n}=ax_{n-1}-b\) 。
当 \(a=0\) 时，递推式转化为 \(x_{n}=-b\) ，则经过操作能得到的 \(x\) 的最小值为 \(\min(x_{1},-b)=-b\) 。

当 \(a \ne 0\) 时，

当 \(b=0\) 时，有 \(ax_{1} \ge a\) ，则经过操作能得到的 \(x\) 的最小值为 \(x_{1}\) 。
当 \(b \ne 0\) 时，
- 当 \(a=1\) 时，递推式转化为 \(\begin{aligned} x_{n} &=x_{n-1}-b \\ &=x_{n-2}-2b \\ &=x_{n-3}-3b \\ &= \dots \\ &=x_{1}-(n-1)b \end{aligned}\) 。则经过操作能得到的 \(x\) 的最小值为 \(x_{1} \bmod b-b\) 。
- 当 \(a \ne 1\) 时，有 \(x_{n+1}-x_{n}=ax_{n}-b-x_{n}=(a-1)x_{n}-b\) ，其中 \((a-1)x_{n}-b\) 是呈指数级变化的，对于增长的直接特判即可，对于减少的直接暴力枚举即可。

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ll val(ll a,ll b,ll x)
{
    return a*x-b;
}
int main()
{
    ll t,x,a,b,i;
    cin>>t;
    for(i=1;i<=t;i++)
    {
        cin>>x>>a>>b;
        if(a==0)
        {
            cout<<-b<<endl;
        }
        else
        {
            if(b==0)
            {
                cout<<x<<endl;
            }
            else
            {
                if(a==1)
                {
                    cout<<x%b-b<<endl;
                }
                else
                {   
                    while(x>=0&&val(a,b,x)<x)
                    {
                        x=val(a,b,x);
                    }
                    cout<<x<<endl;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

\(T3\) luogu P10253 说唱 \(25pts\)

部分分

\(Subtask \ 1(10pts)+Subtask \ 2(15pts)=25pts\)

令 \(k=\left\lfloor \log_{10}{x} \right\rfloor+1\) 。

观察到 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k} \left\lfloor \frac{x}{10^{i-1}} \right\rfloor=y\) ，此时有 \(x \le y\) ，枚举即可。

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ll val(ll x)
{
    ll n=log10(x)+1,sum=0,i;    
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        sum+=x;
        x/=10;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    ll t,x,y,i,ans;
    cin>>t;
    for(i=1;i<=t;i++)
    {
        cin>>y;
        ans=-1;
        for(x=0;x<=y;x++)
        {
            if(val(x)==y)
            {
                if(ans==-1)
                {
                    ans=x;
                }
                else
                {
                    ans=-1;
                    break;
                }
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

正解

当 \(y=0\) 时，有 \(x=0\) 时满足 \(f(x)=y\) 。

当 \(y \ne 0\) 时，

设 \(g(x)\) 表示 \(x\) 在十进制表示下每位数字之和。
设 \(x=(x_{k}x_{k-1} \dots x_{1})_{10}\) ，观察到 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k}\begin{matrix}i 个 x_{i} \\ \overbrace{(x_{i}x_{i} \dots x_{i})}\end{matrix}_{10}=y\) 。
然后利用 luogu P4884 多少个 1？的结论，有 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{10^{i}x_{i}-x_{i}}{9}=\frac{10x-g(x)}{9}=y\) ，移项得 \(10x=9y+g(x)\) ，此时有 \(g(x)=10x-9y\) 。

考虑枚举 \(z=10x\) ，其中有 \(g(x)=g(z)\) 。

具体地，先令 \(z=9y\) ，先通过依次 \(+1\) 使 \(z \bmod 10 =0\) ，然后通过依次 \(+10\) 判断是否有 \(g(z)=g(x)=z-9y\) ，若成立则有 \(x= \frac{z}{10}\) 。
上界为 \(\max \{ g(x) \}=\max \{ z-9y \}=9|y|\) 。

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ll a[5000010],b[5000010],x[5000010],ans[5000010];
char y[5000010];
ll cheng(ll a[],ll &lena,ll b)
{
    ll i,sum=0,x=0;
    for(i=1;i<=lena;i++)
    {
        ans[i]=a[i]*b+x;
        x=ans[i]/10;
        ans[i]%=10;
    }
    lena++;
    ans[lena]=x;
    while(lena>0&&ans[lena]==0)
    {
        lena--;
    }
    if(lena==0)
    {
        lena++;
        ans[lena]=1;
    }
    for(i=1;i<=lena;i++)
    {
        a[i]=ans[i];
        sum+=a[i];
    }
    return sum;
}
void jia(ll a[],ll &lena,ll b[],ll lenb,ll &sum)
{
    ll i,x=0;
    lena=max(lena,lenb);
    for(i=1;i<=lena&&(i<=lenb||x>0);i++)
    {
        if(a[i]+b[i]+x>=10)
        {
            sum-=a[i]-(a[i]+b[i]+x)%10;
        }
        else
        {
            sum+=b[i]+x;
        }
        a[i]=a[i]+b[i]+x;
        x=a[i]/10;
        a[i]%=10;
    }
}
ll val(char x)
{
    return x-'0';
}
int main()
{
    ll t,flag,lena,lenx,leny,num,sum,i,j;
    cin>>t;
    for(j=1;j<=t;j++)
    {
        cin>>(y+1);
        flag=num=sum=lenx=0;
        lena=leny=strlen(y+1);
        if(leny==1&&y[1]=='0')
        {
            cout<<"0"<<endl;
        }
        else
        {
            for(i=1;i<=leny;i++)
            {
                a[lena-i+1]=val(y[i]);
            }
            sum=cheng(a,lena,9);
            while(a[1]!=0)
            {
                b[1]=1;
                b[2]=0;
                jia(a,lena,b,1,sum);
                num++;
            }
            for(;num<=9*leny;num+=10)
            {
                if(sum==num)
                {
                    flag=1;
                    lenx=lena-1;
                    for(i=1;i<=lenx;i++)
                    {
                        x[i]=a[i+1];
                    }   
                    break;
                }
                b[1]=0;
                b[2]=1;
                jia(a,lena,b,2,sum);
            }
            if(flag==1)
            {
                for(i=lenx;i>=1;i--)
                {
                    cout<<x[i];
                }
                cout<<endl;
            }
            else
            {
                cout<<-1<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

\(T4\) luogu P10254 口吃 \(10pts\)

部分分

\(10pts\) ：生成 \(1 \sim n\) 的全排列，计算其逆序对数求解。

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const ll p=998244353;
ll a[1000],c[1000],d[1000];
struct node
{
    ll dis,vis;
}b[1000];
bool cmp(node x,node y)
{
    return (x.dis==y.dis)?(x.vis<y.vis):(x.dis<y.dis);
}
ll lowbit(ll x)
{
    return (x&(-x));
} 
ll getsum(ll x)
{
    ll ans=0;
    for(ll i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    {
        ans+=c[i];
    }
    return ans;
} 
void add(ll n,ll x,ll key)
{
    for(ll i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    {
        c[i]+=key;
    }
} 
int main()
{
    ll n,k,sum=0,ans=0,i;
    cin>>n>>k;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=i;
    }
    do
    {
        sum=0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            b[i].dis=a[i];
            b[i].vis=i;
        }
        sort(b+1,b+1+n,cmp);
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            d[b[i].vis]=i;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            add(n,d[i],1);
            sum+=(i-getsum(d[i]));
        }
        if(sum==k)
        {
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
                ans=(ans+i*a[i]%p)%p;
            }
        }
    }while(next_permutation(a+1,a+1+n));
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}