2024初三集训模拟测试3

\(T1\) 计蒜客 T3726 排序 \(0pts\)

考虑先将 \(a\) 数组进行升序排列。然后题意转化为了把 \(1 \sim 2n\) 平均分成 \(2\) 组，使得每组乘积之和最小；把 \(2n+1 \sim 4n\) 平均分成 \(2\) 组，使得每组乘积之和最大。
对于 \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\) 若存在 \(x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}\) 则有 \(x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}>x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}>x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\) ,若加上等于号则有 \(x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4} \ge x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4} \ge x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}\) 。
- 其实就是普及模拟2 T2 内积的结论的推广。

故最终 \(\sum\limits_{i=2n+1}^{4n}[i \bmod 2=1] \times x_{i}x_{i+1}-\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}x_{2n-i+1}\) 即为所求。

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ll a[500001];
int main()
{
    ll n,ans=0,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=4*n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+1,a+1+4*n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        ans-=a[i]*a[2*n-i+1];
    }
    for(i=2*n+1;i<=4*n;i+=2)
    {
        ans+=a[i]*a[i+1];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

\(T2\) 计蒜客 T3727 牛吃草 \(0pts\)

部分分

\(90pts\)

为使最小覆盖大小最大，考虑二分答案，设当前二分出来的答案为 \(mid\) 。

设 \(f_{i}\) 表示对 \([1,i]\) 完成最小覆盖大小 \(\ge mid\) 的覆盖后的最大总覆盖大小，状态转移方程为 \(\begin{aligned} f_{i}=\max(f_{i-1},\max\limits_{j=i-w_{i}}^{i-mid} \{ f_{j}+(i-j) \})=\max(f_{i-1}, \max\limits_{j=i-w[i]}^{i-mid} \{ f_{j}-j \}+i) \end{aligned}\) 。暴力进行转移即可。

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int w[600000],f[600000];
bool check(int mid,int n,int m)
{
    int i,j;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=f[i-1];
        if(i-w[i]>=0)
        {
            for(j=i-w[i];j<=i-mid;j++)
            {
                f[i]=max(f[i],f[j]+(i-j));
            }
        }
    }
    return f[n]>=m;
}
int main()
{
    int n,m,s,l=1,r,mid,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i];
    }
    cin>>s;
    r=m=ceil(1.0*n*s/100);
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid,n,m)==true)
        {
            l=mid+1;
        }
        else
        {
            r=mid-1;
        }
    }
    cout<<r<<endl;
    return 0;
}

正解

由于 \(w_{i-1} \ge w_{i}-1\) ，故 \((i-1)-w_{i-1} \le i-w_{i}\) ，故当 \(i\) 增大时，有 \(j\) 的上界增加了 \(1\) ,下界减少了 \(w_{i-1}-(w_{i}-1)\) ，使用单调队列维护即可。

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int w[600000],f[600000];
bool check(int mid,int n,int m)
{
    deque<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=f[i-1];
        if(i-mid>=0)
        {
            while(q.empty()==0&&f[q.back()]-q.back()<=f[i-mid]-(i-mid))
            {
                q.pop_back();
            }
            q.push_back(i-mid);
            while(q.empty()==0&&q.front()<=i-w[i]-1)
            {
                q.pop_front();
            }
            if(q.empty()==0)
            {
                f[i]=max(f[i],f[q.front()]-q.front()+i);
            }
        }
    }
    return f[n]>=m;
}
int main()
{
    int n,m,s,l=1,r,mid,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i];
    }
    cin>>s;
    r=n;
    m=ceil(1.0*n*s/100);
    check(1,n,m);
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid,n,m)==true)
        {
            l=mid+1;
        }
        else
        {
            r=mid-1;
        }
    }
    cout<<r<<endl;
    return 0;
}

\(T3\) 计蒜客 T3728 树上的宝藏 \(0pts\)

部分分
- \(60pts\) ：设 \(f_{x,0},f_{x,1}\) 分别表示以 \(x\) 为根节点的子树内，不选和选 \(x\) 的方案数。状态转移方程为 \(\begin{cases} f_{x,0}=\prod\limits_{y \in Son(x)}^{}(f_{y,0}+f_{y,1}) \\ f_{x,1}=\prod\limits_{y \in Son(x)}^{}f_{y,0} \end{cases}\) 。对于一条边 \((x,y)\) ，砍断这条边后，进行树形 \(DP\) ，此时 \(f_{x,0}f_{y,1}+f_{x,1}f_{y,0}+f_{x,1}f_{y,1}\) 即为所求。

正解

发现砍断操作可以用换根 \(DP\) 优化。
- 钦定 \(1\) 为根节点。
- 第一遍 \(DFS\) 时，处理出 \(f_{x,0},f_{x,1}\) 。
- 第二遍 \(DFS\) 时，进行换根。设 \(g_{x,0},g_{x,1}\) 表示以 \(x\) 为整棵树的根节点时，不选和选 \(x\) 的方案数，仍钦定 \(1\) 为根节点。考虑根节点由 \(fa_{x}\) 变为 \(x(x \ne 1)\) 的过程中，以 \(x\) 为根的子树内的节点对答案的贡献不变，要消除以 \(x\) 为根的子树内的节点对以 \(fa_{x}\) 为根的子树的影响，故状态转移方程为 \(\begin{cases} g_{x,0}=f_{x,0} \times (\frac{g_{fa_{x},0}}{f_{x,0}+f_{x,1}}+\frac{g_{fa_{x},1}}{f_{x,0}}) \\ g_{x,1}=f_{x,1} \times \frac{g_{fa_{x},0}}{f_{x,0}+f_{x,1}} \end{cases}\) 。
对于一条边 \((x,y)\) ，进行分类讨论。
- 若不选 \(x\) ，选 \(y\) ，则有 \(f_{y,1} \times \frac{g_{x,0}}{f_{y,0}+f_{y,1}}\) 即为所求。
- 若选 \(x\) ，不选 \(y\) ，则有 \(f_{y,0} \times \frac{g_{x,1}}{f_{y,0}}=g_{x,1}\) 即为所求。
- 若选 \(x,y\) ，则有 \(f_{y,1} \times \frac{g_{x,1}}{f_{y,0}}\) 即为所求。

点击查看代码

const ll p=998244353;
struct node
{
    ll nxt,to;
}e[700000];
ll head[700000],dep[700000],u[700000],v[700000],g[700000][2],f[700000][2],cnt=0;
void add(ll u,ll v)
{
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a%p;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans;
}
void dfs(ll x,ll fa)
{
    f[x][0]=f[x][1]=1;
    dep[x]=dep[fa]+1;
    for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            dfs(e[i].to,x);
            f[x][0]=f[x][0]*((f[e[i].to][0]+f[e[i].to][1])%p)%p;
            f[x][1]=f[x][1]*f[e[i].to][0]%p;
        }
    }
}
void reroot(ll x,ll fa)
{
    if(x!=1)
    {
        ll f0=g[fa][0]*qpow((f[x][0]+f[x][1])%p,p-2,p)%p,f1=g[fa][1]*qpow(f[x][0],p-2,p)%p;
        g[x][0]=f[x][0]*((f0+f1)%p)%p;
        g[x][1]=f[x][1]*f0%p;
    }
    for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
    {
        if(e[i].to!=fa)
        {
            reroot(e[i].to,x);
        }
    }
}
int main()
{
    ll n,sum1,sum2,sum3,i;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>u[i]>>v[i];
        add(u[i],v[i]);
        add(v[i],u[i]);
    }
    dfs(1,0);
    g[1][0]=f[1][0];
    g[1][1]=f[1][1];
    reroot(1,0);
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        if(dep[v[i]]<dep[u[i]])
        {
            swap(u[i],v[i]);
        }
        sum1=((f[v[i]][1]*g[u[i]][0])%p)*qpow((f[v[i]][0]+f[v[i]][1])%p,p-2,p)%p;
        sum2=g[u[i]][1];
        sum3=((f[v[i]][1]*g[u[i]][1])%p)*qpow(f[v[i]][0]%p,p-2,p)%p;
        cout<<(((sum1+sum2)%p)+sum3)%p<<endl;
    }
    return 0;
}

\(T4\) 计蒜客 T3729 MEX \(0pts\)

Special Judge ： luogu P4137 Rmq Problem / mex

部分分

\(10pts\)

对于每个区间枚举左右端点，进行暴力求解。

点击查看代码

ll a[5000000],vis[5000000],ans[5000000];
int main()
{
    ll n,m,p,q,l,r,i;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(l=1;l<=n;l++)
    {
        for(r=l;r<=n;r++)
        {
            for(i=l;i<=r;i++)
            {
                vis[a[i]]=1;
            }
            for(i=0;i<=m;i++)
            {
                if(vis[i]==0)
                {
                    ans[i]++;
                    break;
                }
            }
            for(i=0;i<=m;i++)
            {
                vis[i]=0;
            }
        }
    }
    cin>>p>>q;
    for(i=p;i<=q;i++)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    return 0;
}

\(20pts\)

使用莫队进行统计答案。

点击查看代码

int a[3000010],cnt[3000010],lscnt[3000010],ans[3000010],L[3000010],R[3000010],pos[3000010],klen,ksum;
struct ask
{
    int l,r,id;
}q[3000010];
bool q_cmp(ask a,ask b)
{
    return (pos[a.l]==pos[b.l])?(a.r>b.r):(a.l<b.l);
}
void init(int n,int m)
{
    klen=n/sqrt(m)+1;
    ksum=n/klen;
    for(int i=1;i<=ksum;i++)
    {
        L[i]=R[i-1]+1;
        R[i]=R[i-1]+klen;
    }
    if(R[ksum]<n)
    {
        ksum++;
        L[ksum]=R[ksum-1]+1;
        R[ksum]=n;
    }
    for(int i=1;i<=ksum;i++)
    {
        for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
        {
            pos[j]=i;
        }
    }
}
void add(int cnt[],int x)
{
    cnt[a[x]]++;
}
void del(int cnt[],int x,int &sum)
{
    cnt[a[x]]--;
    sum=(cnt[a[x]]==0)?min(sum,a[x]):sum;
}
int main()
{
    int n,mm,m=0,x,y,l=1,r,anss=0,sum=0,tmp=0,lastblock=0,i,j;
    cin>>n>>mm;
    r=n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=i;j<=n;j++)
        {
            m++;
            q[m].l=i;
            q[m].r=j;
            q[m].id=m;
        }
    }
    init(n,m);
    sort(q+1,q+1+m,q_cmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        add(cnt,i);
    }
    while(cnt[anss]>=1)
    {
        anss++;
    }
    for(i=1;i<=m;i++)   
    {
        if(pos[q[i].l]==pos[q[i].r])
        {
            sum=0;
            for(j=q[i].l;j<=q[i].r;j++)
            {
                add(lscnt,j);
            }
            while(lscnt[sum]>=1)
            {
                sum++;
            }
            for(j=q[i].l;j<=q[i].r;j++)
            {
                lscnt[a[j]]--;
            }
        }
        else
        {
            if(lastblock!=pos[q[i].l])
            {
                while(r<n)
                {
                    r++;
                    add(cnt,r);
                }
                while(l<L[pos[q[i].l]])
                {
                    del(cnt,l,anss);
                    l++;
                }
                tmp=anss;
                lastblock=pos[q[i].l];
            }
            while(r>q[i].r)
            {
                del(cnt,r,tmp);
                r--;
            }
            sum=tmp;
            while(l<q[i].l)
            {
                del(cnt,l,sum);
                l++;
            }
            while(l>L[pos[q[i].l]])
            {
                l--;
                add(cnt,l);
            }
        }
        ans[sum]++;
    }
    cin>>x>>y;
    for(i=x;i<=y;i++)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    return 0;
}

\(30pts\)

点击查看 APJifengc 写的题解

正解

点击查看 APJifengc 写的题解

const int MAXN = 1e6 + 5;
int n, m;
int arr[MAXN];
int last[MAXN];
int nxt[MAXN];
long long answer[MAXN];

struct SegmentTree {
public:
    int min, num;
    long long sum;
    class LazyTag {
    public:
        int cover, tim;
        long long add;
        inline LazyTag() {
            cover = -1;
            add = 0;
            tim = 0;
        }
        inline LazyTag(const int cover): cover(cover) {
            if (cover == -1) {
                tim = 1;
            }
        }
    } tag;
} sgt[MAXN << 2];

inline void PushUp(const int now) {
    sgt[now].min = min(sgt[now << 1].min, sgt[now << 1 | 1].min);
}
void Build(const int now = 1, const int left = 0, const int right = m) {
    if (left == right) {
        sgt[now].num = sgt[now].min = last[left];
        return;
    }

    Build(now << 1, left, (left + right) >> 1);
    Build(now << 1 | 1, ((left + right) >> 1) + 1, right);
    PushUp(now);
}
inline void Down(const SegmentTree::LazyTag tag,
                const int now, const int left, const int right) {
    sgt[now].sum += 1ll * sgt[now].num * tag.tim + tag.add;

    if (~tag.cover) {
        if (~sgt[now].tag.cover) {
            sgt[now].tag.add += 1ll * sgt[now].tag.cover * tag.tim + tag.add;
        } else {
            sgt[now].tag.tim += tag.tim;
            sgt[now].tag.add = tag.add;
        }

        sgt[now].num = sgt[now].min = tag.cover;
        sgt[now].tag.cover = tag.cover;
    } else {
        if (~sgt[now].tag.cover) {
            sgt[now].tag.add += 1ll * sgt[now].tag.cover * tag.tim;
        } else {
            sgt[now].tag.tim += tag.tim;
        }
    }
}
inline void PushDown(const int now, const int left, const int right) {
    Down(sgt[now].tag, now << 1, left, (left + right) >> 1);
    Down(sgt[now].tag, now << 1 | 1, ((left + right) >> 1) + 1, right);
    sgt[now].tag = SegmentTree::LazyTag();
}
void Updata(const int now_left, const int now_right,
            const int cover, const int now = 1,
            const int left = 0, const int right = m) {
    if (now_right < left || right < now_left) {
        return;
    }

    if (now_left <= left && right <= now_right) {
        Down(SegmentTree::LazyTag(cover), now, left, right);
        return;
    }

    PushDown(now, left, right);
    Updata(now_left, now_right, cover, now << 1, left, (left + right) >> 1);
    Updata(now_left, now_right, cover,
        now << 1 | 1, ((left + right) >> 1) + 1, right);
    PushUp(now);
}
inline void Time() {
    Down(SegmentTree::LazyTag(-1), 1, 1, m);
}
int Find(const int now_left, const int now_right,
        const int val, const int now = 1,
        const int left = 0, const int right = m) {
    if (now_right < left || right < now_left || val <= sgt[now].min) {
        return -1;
    }

    if (left == right && now_left <= left && right <= now_right) {
        return left;
    }

    int result(Find(now_left, now_right, val, now << 1 | 1,
                    ((left + right) >> 1) + 1, right));
    return ~result ? result : Find(now_left, now_right,
                                val, now << 1, left, (left + right) >> 1);
}
void GetAnswer(const int now = 1, const int left = 0, const int right = m) {
    if (left == right) {
        answer[left] = sgt[now].sum;
        return;
    }

    PushDown(now, left, right);
    GetAnswer(now << 1, left, (left + right) >> 1);
    GetAnswer(now << 1 | 1, ((left + right) >> 1) + 1, right);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int last0 = 0;
    long long answer0 = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i]);

        if (arr[i] == 0) {
            answer0 += (i - last0 - 1ll) * (i - last0) >> 1;
            last0 = i;
        }
    }

    answer0 += (n - last0) * (n + 1ll - last0) >> 1;

    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        last[i] = n + 1;
    }

    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        nxt[i] = last[arr[i]];
        last[arr[i]] = i;
    }

    for (int i = 1; i <= m - 1; i++) {
        last[i] = max(last[i], last[i - 1]);
    }

    Build();

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        Time();
        int f = Find(arr[i], m, nxt[i]);

        if (~f) {
            Updata(arr[i], f, nxt[i]);
        }
    }

    GetAnswer();
    int l, r;
    scanf("%d%d", &l, &r);

    if (!l) {
        printf("%lld ", answer0);
        l = 1;
    }

    for (int i = l; i <= r; i++) {
        printf("%lld ", answer[i] - answer[i - 1]);
    }

    return 0;
}

总结

\(T1\) 场上结论没有猜出来，导致心态炸了。
\(T2\) 场上只看出来了二分答案，没有再接着去想，而且貌似还读错题了。
\(T3\) 场上读假题了。
\(T4\) 场上部分分没打，亏了。

posted @ 2024-02-22 07:00 hzoi_Shadow 阅读(39) 评论(0) 编辑收藏举报

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世上只有一种英雄主义，就是认清生活的真相后，依然热爱生活。纵使世界万般残酷，总有温暖值得守护……

2024初三集训模拟测试3

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\(T1\) 计蒜客 T3726 排序 \(0pts\)

\(T2\) 计蒜客 T3727 牛吃草 \(0pts\)

\(T3\) 计蒜客 T3728 树上的宝藏 \(0pts\)

\(T4\) 计蒜客 T3729 MEX \(0pts\)

总结

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