2024初三集训模拟测试1

2024初三集训模拟测试1

\(T1\) edit \(100pts\)

  • 字符串模拟即可。

  • 貌似不能写成 while(cin>s) ,因为每两个单词中可能不只有一个空格。

    点击查看代码
    string s;
    int main()
    {
    	freopen("edit.in","r",stdin);
    	freopen("edit.out","w",stdout);
    	getline(cin,s);
    	cout<<s[0];
    	for(int i=1;i<s.size();i++)
    	{
    		if(('0'<=s[i-1]&&s[i-1]<='9'&&(('a'<=s[i]&&s[i]<='z')||('A'<=s[i]&&s[i]<='Z')))||((('a'<=s[i-1]&&s[i-1]<='z')||('A'<=s[i-1]&&s[i-1]<='Z'))&&'0'<=s[i]&&s[i]<='9'))
    		{
    			cout<<" ";
    		}
    		cout<<s[i];
    	}
    	fclose(stdin);
    	fclose(stdout);
    	return 0;
    }
    

\(T2\) game \(50pts\)

  • 感觉和 luogu P8818 [CSP-S 2022] 策略游戏 很像,但事实证明读假题了。
  • 部分分
    • 测试点 \(1\)
      • \(10pts\) :由于 \(n=1\) ,故 \(a_{1}\) 即为所求。
    • 测试点 \(2 \sim 3\)
      • \(20pts\) :由于 \(0 \le a_{i} \le 10^{6}\) ,故 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}\) 即为所求。
    • 测试点 \(4 \sim 5\)
      • \(20pts\) :由于 \(-10^{6} \le a_{i} <0\) ,故 \(-\min\limits_{i=1}^{n} \{ a_{i} \}+\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}\) 即为所求。
  • 正解
    • Alice 一定只会在第一轮取大于等于 \(1\) 个数,且 Alice 会取完所有的非负数。然后两人轮流取最大值。故对 \(a\) 进行排序。
    • 贪心
      • Alice 第一轮取负数进行分讨。

        • 赛时及发现 \(hack\) 数据前只有 @wang54321\(DP\) 做法幸免于难。

          点击查看 hack 数据
          input:
          5
          -5121313 -81 -713 -25 -479
          
          ans:
          -819
          
          
        点击查看代码
        ll a[200000],b[200000];
        int main()
        {
        	freopen("game.in","r",stdin);
        	freopen("game.out","w",stdout);
        	ll n,m=0,ans=0,i;
        	cin>>n;
        	for(i=1;i<=n;i++)
        	{
        		cin>>a[i];
        		if(a[i]<0)
        		{
        			m++;
        			b[m]=a[i];
        		}
        		ans+=(a[i]>=0)*a[i];
        	}
        	sort(b+1,b+1+m,greater<int>()); 
        	if(n==m)
        	{
        		if(m%2==1)//取1 2 4 6 ...
        		{
        			ans+=b[1];//特判
        			for(i=2;i<=m;i++)
        			{
        				ans+=(i%2==0)*b[i];
        			}
        		}
        		else//取1 3 5 7 ...
        		{
        			for(i=1;i<=m;i++)
        			{
        				ans+=(i%2==1)*b[i];
        			}
        		}
        	}
        	else
        	{
        		if(m%2==1)//取2 4 6 ...
        		{
        			for(i=1;i<=m;i++)
        			{
        				ans+=(i%2==0)*b[i];
        			}
        		}
        		else//取1 3 5 7 ...
        		{
        			for(i=1;i<=m;i++)
        			{
        				ans+=(i%2==1)*b[i];
        			}
        		}
        	}
        	cout<<ans<<endl;
        	fclose(stdin);
        	fclose(stdout);
        	return 0;
        }
        
    • \(DP\)
      • \(f_{i,0}\) 表示第 \(i\) 个数 Bob 选的最大得分, \(f_{i,1}\) 表示第 \(i\) 个数 Alice 选的最大得分。状态转移方程为 \(\begin{cases} f_{i,0}=f_{i-1,1} \\ f_{i,1}=\max(f_{i-1,0},f_{i-1,1})+a_{i} \end{cases}\)
        • Alice 第一轮取负数进行分讨。具体地,规定 \(\begin{cases} f_{1,0}=-\infty \\ f_{1,1}=a_{1} \end{cases}\)
      • 最终,有 \(\max(f_{n,0},f_{n,1})\) 即为所求。

\(T3\) score \(50pts\)

  • 简化题意:给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ,求 \(\sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}[(\sum\limits_{k=l}^{r}a_{k}) \bmod (r-l+1)]\)

  • 部分分

    • 测试点 \(1 \sim 5\)
      • \(50pts\) :前缀和优化暴力枚举。时间复杂度为 \(O(n^{2})\)
    • 测试点 \(6 \sim 7\)
      • \(20pts\) :由于 \(0 \le a_{i} \le 2\) ,故对于每段最长的一段连续区间 \([l,r]\) 满足 \(a_{l}=a_{l+1}=a_{l+2}= \dots =a_{r}\) ,则这段区间对答案产生的贡献为 \(\dbinom{r-l+1}{2}=\dfrac{(r-l+1)(r-l)}{2}\)
  • 正解

    • \(\sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}[(\sum\limits_{k=l}^{r}a_{k}) \bmod (r-l+1)]\) 等价于 \(\sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}[\sum\limits_{k=l}^{r}(a_{k}-\frac{\sum\limits_{k=l}^{r}a_{k}}{r-l+1})=0]\)
    • 观察到 \(0 \le a_{i} \le 100\) ,考虑枚举 \(\frac{\sum\limits_{k=l}^{r}a_{k}}{r-l+1}=x(\min\limits_{i=1}^{n} \{ a_{i} \} \le x \le \max\limits_{i=1}^{n} \{ a_{i} \})\)
    • 使用前缀和优化 \(\sum\limits_{k=l}^{r}(a_{k}-x)\) 。具体地,有 \(sum_{i}=\sum\limits_{k=1}^{i}(a_{k}-x)\) 。此时有 \(\begin{aligned} \sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}[\sum\limits_{k=l}^{r}(a_{k}-x)=0]=\sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}[sum_{r}-sum_{l-1}=0]=\sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}[sum_{r}=sum_{l-1}] \end{aligned}\)
    • 用桶来记录 \(sum\) 出现的次数即可。
      • 因存在负数的情况,故将得到的 \(sum\) 加上一个比较大的数。
      • 记得要处理 \(sum_{0}\)
    点击查看代码
    ll a[200001],sum[200001],vis[21000001];
    int main()
    {
    	freopen("score.in","r",stdin);
    	freopen("score.out","w",stdout);
    	ll n,ans=0,minn=0x7f7f7f7f,maxx=0,i,j;
    	cin>>n;
    	for(i=1;i<=n;i++)
    	{
    		cin>>a[i];
    		minn=min(minn,a[i]);
    		maxx=max(maxx,a[i]);
    	}
    	for(i=minn;i<=maxx;i++)
    	{
    		vis[sum[0]+maxx*n]=1;
    		for(j=1;j<=n;j++)
    		{
    			sum[j]=sum[j-1]+a[j]-i;
    			ans+=vis[sum[j]+maxx*n];
    			vis[sum[j]+maxx*n]++;
    		}
    		for(j=0;j<=n;j++)
    		{
    			vis[sum[j]+maxx*n]=0;
    		}
    	}
    	cout<<ans<<endl;
    	fclose(stdin);
    	fclose(stdout);
    	return 0;
    }
    

\(T4\) city \(75pts\)

  • 部分分

    • \(60pts\) :输出 -1
    • 测试点 \(5 \sim 7\)
      • \(15pts\) :由于 \(x=1\) ,故只有一个强连通分量(环)。此时 \(m\) 需满足 \(n \le m \le A_{n}^{2}=(n-1)n\) 时有解,构造时先拿出 \(n\) 条边使得 \(1 \sim n\) 构成一个环,剩下的随便构造即可(上界为完全图);否则无解。

        点击查看代码
        if(x==1)
        {
        	sum=0;
        	if(n<=m&&m<=n*(n-1))
        	{
        		for(i=1;i<=n-1;i++)
        		{
        			cout<<i<<" "<<i+1<<endl;
        		}
        		cout<<n<<" "<<1<<endl;
        		sum=n;
        		if(sum<m)
        		{
        			for(i=1;i<=n-1;i++)
        			{
        				for(j=1;j<=n;j++)
        				{
        					if(j!=i&&j!=i+1)
        					{
        						sum++;
        						cout<<i<<" "<<j<<endl;
        						if(sum==m)
        						{
        							break;
        						}
        					}
        				}
        				if(sum==m)
        				{
        					break;
        				}
        			}
        			if(sum<m)
        			{
        				i=n;
        				for(j=1;j<=n;j++)
        				{
        					if(j!=n&&j!=1)
        					{
        						sum++;
        						cout<<i<<" "<<j<<endl;
        						if(sum==m)
        						{
        							break;
        						}
        					}
        				}
        			}
        		}
        	}
        	else
        	{
        		cout<<-1<<endl;
        	}
        }
        
    • 测试点 \(8 \sim 10\)
      • \(15pts\) :由于 \(x=n\) ,故有 \(n\) 个强连通分量(孤立点)。此时 \(q,m\) 需满足 \(q=0,0 \le m \le \dbinom{n}{2}=\dfrac{(n-1)n}{2}\) 时有解,构造时随便构造;否则无解。

        点击查看代码
        if(x==n)
        {
        	sum=0;
            if(q==0)
            {
                if(m<=(n-1+1)*(n-1)/2)
                {
                    for(i=1;i<=n-1;i++)
                    {
                        for(j=i+1;j<=n;j++)
                        {
                            sum++;
                            cout<<i<<" "<<j<<endl;
                            if(sum==m)
                            {
                                break;
                            }
                        }
                        if(sum==m)
                        {
                            break;
                        }
                    }
                }
                else
                {
                    cout<<-1<<endl;
                }
            }
            else
            {
                cout<<-1<<endl;
            }
        }
        
  • 正解

    • \(a_{i},b_{i}\) 属于同一个强连通分量,但并没有其具体的边的方向,故可以使用并查集维护连通性,求出此时的强连通分量 \(scc\) 数量 \(num\)
      • 孤立的一个点也属于一个强连通分量。
    • \(num \ge x\) ,则将 \(scc\) 进行任意合并至只有 \(x\) 个强连通分量;否则无解。
    • 求出边数的最小值 \(m'_{min}\) 和最大值 \(m'_{max}\)
      • 对于第 \(i\) 个强连通分量,若 \(|scc_{i}|=1\) ,则其内部没有边,否则其内部最少有 \(|scc_{i}|\) 条边,最多有 \(A_{scc_{i}}^{2}=(scc_{i}-1)scc_{i}\) 条边。
        • 最少情况是一个环。
        • 最多情况是一个完全子图。
      • 对于第 \(i\) 和第 \(j\) 个强连通分量,需保证 \(i\)\(j\) 不能形成一个更大的强连通分量,故 \(i\)\(j\) 之间最少有 \(0\) 条边,最多有 \(\dbinom{|scc_{i}|}{1}\dbinom{|scc_{j}|}{1}=|scc_{i}| \times |scc_{j}|\) 条边。
        • 最多情况是对于 \(scc_{i}\) 中的每个点,均向 \(scc_{j}\) 中的每个点连一条有向边或对于 \(scc_{j}\) 中的每个点,均向 \(scc_{i}\) 中的每个点连一条有向边。
    • \(m'_{min} \le m \le m'_{max}\) ,则有解;否则无解。
    • 构造时,先将属于同一个强连通分量内的点形成一个强连通分量,此时可用边数减少了 \(m'_{min}\) ;接着构造剩下的 \(m-m'_{min}\) 条边,类比求边数的最小、最大值的构造方式即可。
    点击查看代码
    ll f[600000],c[600000],sum[600000],ans=0; 
    vector<ll>scc[600000];
    ll find(ll x)
    {
    	return (f[x]==x)?x:f[x]=find(f[x]);
    }
    void merge(ll x,ll y)
    {
    	x=find(x);
    	y=find(y);
    	if(x!=y)
    	{
    		f[x]=y;
    	}
    }
    bool cmp(vector<ll>a,vector<ll>b)
    {
    	return a.size()>b.size();
    }
    int main()
    {
    	freopen("city.in","r",stdin);
    	freopen("city.out","w",stdout);
    	ll n,m,mm=0,x,q,a,b,minn=0,maxx=0,i,j,k,h;
    	cin>>n>>m>>x>>q;
    	for(i=1;i<=n;i++)
    	{
    		f[i]=i;
    	}
    	for(i=1;i<=q;i++)
    	{
    		cin>>a>>b;
    		merge(a,b);
    	}
    	for(i=1;i<=n;i++)
    	{
    		if(f[i]==i)
    		{
    			ans++;
    			c[i]=ans;
    		}
    	}
    	for(i=1;i<=n;i++)
    	{
    		scc[c[find(i)]].push_back(i);
    	}
    	if(x<=ans)
    	{   
    		sort(scc+1,scc+1+ans,cmp);
    		for(i=x+1;i<=ans;i++)
    		{
    			for(j=0;j<scc[i].size();j++)
    			{
    				scc[x].push_back(scc[i][j]);
    			}
    		}
    		for(i=1;i<=x;i++)
    		{
    			minn+=(scc[i].size()>=2)*scc[i].size();
    			maxx+=(scc[i].size()>=2)*scc[i].size()*(scc[i].size()-1);
    			sum[i]=sum[i-1]+scc[i].size();
    		}
    		for(i=1;i<=x;i++)
    		{
    			maxx+=scc[i].size()*(sum[x]-sum[i]);
    		}
    		if(minn<=m&&m<=maxx)
    		{
    			for(i=1;i<=x;i++)
    			{
    				if(scc[i].size()>=2)
    				{
    					for(j=0;j+1<scc[i].size();j++)
    					{
    						cout<<scc[i][j]<<" "<<scc[i][j+1]<<endl;
    						mm++;
    					}
    					cout<<scc[i][scc[i].size()-1]<<" "<<scc[i][0]<<endl;
    					mm++;
    				}
    			}
    			if(mm<m)
    			{
    				for(i=1;i<=x;i++)
    				{
    					for(j=0;j<scc[i].size();j++)
    					{
    						for(h=0;h<scc[i].size();h++)
    						{
    							if(h!=j&&h!=j+1&&(!(j==scc[i].size()-1&&h==0)))
    							{
    								cout<<scc[i][j]<<" "<<scc[i][h]<<endl;
    								mm++;
    								if(mm==m)
    								{
    									break;
    								}
    							}
    						}
    						if(mm==m)
    						{
    							break;
    						}
    						for(k=i+1;k<=x;k++)
    						{
    							for(h=0;h<scc[k].size();h++)
    							{
    								cout<<scc[i][j]<<" "<<scc[k][h]<<endl;
    								mm++;
    								if(mm==m)
    								{
    									break;
    								}
    							}
    							if(mm==m)
    							{
    								break;
    							}
    						}
    						if(mm==m)
    						{
    							break;
    						}
    					}
    					if(mm==m)
    					{
    						break;
    					}
    				}
    			}
    		}
    		else
    		{
    			cout<<"-1"<<endl;
    		}
    	}   
    	else
    	{
    		cout<<"-1"<<endl;
    	}
    	fclose(stdin);
    	fclose(stdout);
    	return 0;
    }
    

总结

  • 赛时估分 \(100+30+50+30=210pts\) ,实际得分 \(100+50+50+75 = 275pts\)
    • 部分分造得很足。
  • \(T2\) 贪心想假了。
  • \(T3\) 测试点 \(6 \sim 7\)\(20pts\) 没写。

后记

  • 数据有点水,明显的 \(hack\) 数据没有加。
  • \(T4\) 赛时没有 Special Judge ,所以开的“文本比较”。赛后 @wkh2008@xrlong 的代码把 Special Judge 写了。但 Special Judge 很“脆弱”,放过了部分错解,但只要不太离谱就不会挂。
posted @ 2024-02-18 10:40  hzoi_Shadow  阅读(66)  评论(1编辑  收藏  举报
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