UVA12655 Trucks 题解

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前言

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前置知识

Kruskal 重构树 | 最近公共祖先

简化题意

给定一个 \(N\) 个点 \(M\) 条边的有向图，共有 \(S\) 次询问，每次询问从 \(L\) 到 \(H\) 所有的路径中最小的权值的最大值（多组数据）。

• 本题即最大瓶颈路问题。

解法

使最小的权值最大，不难想到利用 Kruskal 重构树算法求解。

• 最小的权值最大的这个权值一定出现在原图的最大生成树上。

令 \(rt\) 表示原图的最大生成树的树根，\(dis_{i,j}\) 表示从 \(i\) 到 \(j\) 的路径上的最小值，不难得出 \(dis_{i,j}=\min(dis_{i,lca_(i,j)},dis_{j,lca(i,j)})\)。求任意两点的 LCA 可以用倍增或树剖等做法，此题使用倍增做法。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define sort stable_sort 
#define endl '\n'
struct node
{
	int nxt,from,to,w;
}e[700001],E[700001];
int head[700001],dep[700001],fminn[700001][25],fa[700001][25],f[700001],N,cnt=0;
bool cmp(node a,node b)
{
	return a.w>b.w;
}
void add(int u,int v,int w)
{
	cnt++;
	e[cnt].nxt=head[u];
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].w=w;
	head[u]=cnt;
}
int find(int x)
{
	if(f[x]==x)
	{
		return x;
	}
	else
	{
		return f[x]=find(f[x]);
	}
}
void kruskal(int m)
{
	int i,x,y;
	sort(E+1,E+1+m,cmp);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		x=find(E[i].from);
		y=find(E[i].to);
		if(x!=y)
		{
			f[x]=y;
			add(E[i].from,E[i].to,E[i].w);
			add(E[i].to,E[i].from,E[i].w);
		}
	}
}
void dfs(int x,int father,int w)
{
	fa[x][0]=father;
	dep[x]=dep[father]+1;
	fminn[x][0]=w;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++)
	{
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		fminn[x][i]=min(fminn[x][i-1],fminn[fa[x][i-1]][i-1]);
	}
	for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
	{
		if(e[i].to!=father)
		{
			dfs(e[i].to,x,e[i].w);
		}
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(find(x)!=find(y))
	{
		return -1;
	}
	else
	{
		int minn=0x7f7f7f7f;
		if(dep[x]>dep[y])
		{
			swap(x,y);
		}
		for(int i=N;i>=0;i--)
		{
			if(dep[x]+(1<<i)<=dep[y])
			{
				minn=min(minn,fminn[y][i]);
				y=fa[y][i];
			}
		}
		if(x==y)
		{
			return minn;
		}
		else
		{
			for(int i=N;i>=0;i--)
			{
				if(fa[x][i]!=fa[y][i])
				{
					minn=min(minn,min(fminn[x][i],fminn[y][i]));
					x=fa[x][i];
					y=fa[y][i];
				}
			}
			minn=min(minn,min(fminn[x][0],fminn[y][0]));
			return minn;
		}
	}
	
}
int main()
{
	int n,m,k,i,u,v,w,l,r;
	while(cin>>n>>m>>k)
	{
		cnt=0;
		memset(e,0,sizeof(e));
		memset(E,0,sizeof(E));
		memset(fa,0,sizeof(fa));
		memset(dep,0,sizeof(dep));
		memset(head,0,sizeof(head));
		memset(fminn,0x3f,sizeof(fminn));
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			f[i]=i;
		}
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			cin>>E[i].from>>E[i].to>>E[i].w;
		}
		kruskal(m);
		N=log2(n)+1;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			if(dep[i]==0)
			{
				dfs(i,0,0x7f7f7f7f);
			}
		}
		for(i=1;i<=k;i++)
		{
			cin>>l>>r;
			cout<<lca(l,r)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

后记

多倍经验：P1967 | P9235 | UVA12655 | P2245 | UVA11354 | AT_joisc2014_e