【学习笔记】数学知识-约数

合集 - 数学知识(8)

1.【学习笔记】数学知识-目录2023-08-182.【学习笔记】数学知识-基本数论算法2023-12-18

3.【学习笔记】数学知识-约数2023-08-18

4.【学习笔记】数学知识-质数2023-08-185.【学习笔记】数学知识-同余2023-12-186.【学习笔记】数学知识-高斯消元与线性空间2023-08-207.【学习笔记】数学知识-组合计数2023-11-108.【学习笔记】原根01-18

收起

约数

• 若整数 $n$ 除以整数 $d$ 的余数为 $0$ ，即 $d$ 能整除 $n$ ，则称 $d$ 是 $n$ 的约数， $n$ 是 $d$ 的倍数，记为 $d|n$ 。若整数 $n$ 除以整数 $d$ 的余数不为 $0$ ，即 $d$ 不能整除 $n$ ，则记为 $d\nmid n$ 。
• 性质
  • 若 $n$ 为正整数，则 $\sum _{i=1}^n[i|n]\le 2\sqrt{n}$ 。
  • 若 $n$ 为正整数，则 $\sum _{i=1}^n\sum _{d=1}^i[d|i]\approx n\times \log n$ 。
• $gcd(a,b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，同理可推广到 $gcd(a,b,c,\dots )$ 。
  • $gcd(a,b)$ 在数学中用符号记作 $(a,b)$ 。
  • 性质
    • 特别地，若 $a>0$ ，有 $gcd(a,0)=a$ 。
    • 若 $n,a,b$ 为正整数，且有 $2\le n,a<b\le n$ ，则 $max\{gcd(a,b)\}=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor$ 。
      • 构造 $a=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor ,b=2a=2\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor$ 即可。
      • CF1370A Maximum GCD
    • 若 $n,m$ 均为正整数，则 $gcd(n!,m!)=min(n,m)!$ 。
      • CF822A I'm bored with life
• $\mathrm{lcm}(a,b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数，同理可推广到 $\mathrm{lcm}(a,b,c,\dots )$ 。
  • $\mathrm{lcm}(a,b)$ 在数学中用符号记作 $[a,b]$ 。
  • 性质
    • 若 $n,a,b$ 为正整数，且有 $a,b\le n$ ，则 $max\{\mathrm{lcm}(a,b)\}=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ n(n-1)& n\ne 1\end{array}$ 。
      • 当 $n\ne 1$ 时，构造 $a=n,b=n-1$ 即可。
      • luogu P5436 【XR-2】缘分
• 若 $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$ ，则 $gcd(a,b)\times \mathrm{lcm}(a,b)=a\times b$ 。

九章算术·更相减损法

• 若 $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N},a\le b$ ，则 $gcd(a,b)=gcd(a,b-a)=gcd(b,b-a)$ 。
  • 证明：设 $d=gcd(a,b),k_1=\frac{a}{d},k_2=\frac{b}{d}$ ，移项得 $a=k_{1}d,b=k_{2}d$ ，又因为 $d|(b-a),b-a=(k_2-k_1)d$ ，故 $gcd(a,b-a)=gcd(k_{1}d,(k_2-k_1)d)=d$ ，$b$ 与 $b-a$ 同理。
• 若 $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N},a\le b\le c$ ，则 $gcd(a,b,c)=gcd(a,b-a,c-b)$ 。
  • 证明：设 $d=gcd(a,b),k_1=\frac{a}{d},k_2=\frac{b}{d}$ ，移项得 $a=k_{1}d,b=k_{2}d$ ，又因为 $d|(b-a),b-a=(k_2-k_1)d$ ，故 $gcd(a,b-a)=gcd(k_{1}d,(k_2-k_1)d)=d$ ，$b$ 与 $b-a$ 同理。
• 若 $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$ ，则 $gcd(2a,2b)=2gcd(a,b)$ 。
  • 例题
    • luogu P2152 [SDOI2009] SuperGCD
      • 考虑对更相减损法进行优化：
        • 当 $a,b$ 均为偶数时，有 $gcd(a,b)=2\times gcd({\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{b}{2}})$ 。
        • 当 $a$ 为偶数， $b$ 为奇数时，有 $gcd(a,b)=gcd({\displaystyle \frac{a}{2}},b)$ 。
        • 当 $b$ 为偶数， $a$ 为奇数时，有 $gcd(a,b)=gcd(a,{\displaystyle \frac{b}{2}})$ 。
      • 代码
• 应用
  • 若 $n$ 为正整数，则 $\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}gcd(i,n)=\{\begin{array}{ll}n& nmod2=1\\ {\displaystyle \frac{n}{2}}⨁n& nmod2=0\end{array}$ 。
    • luogu P10031 「Cfz Round 3」Xor with Gcd
    • 证明
      • 依据更相减损法，有 $gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$ ，即与 $n$ 互质的数 $x,n-x$ 成对出现。
      • 当 $n$ 为奇数时，有 $\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}gcd(i,n)=n\underset{i=1}{\overset{\frac{n-1}{2}}{⨁}}gcd(i,n)⨁gcd(n-1,n)=n$ 。当 $n$ 为偶数时，有 $\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}gcd(i,n)=n⨁gcd({\displaystyle \frac{n}{2}},n)\underset{i=1}{\overset{\frac{n}{2}-1}{⨁}}gcd(i,n)⨁gcd(n-1,n)=n⨁gcd({\displaystyle \frac{n}{2}},n)={\displaystyle \frac{n}{2}}⨁n$ 。

欧几里得算法

• 若 $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}$ ，则 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$ 。

  • 证明

    • 若 $a<b$ ，则 $gcd(b,amodb)=gcd(b,a)=gcd(a,b)$ 。
    • 若 $a\ge b$ ，设 $d=gcd(a,b),a=q\times b+r(0\le r<b)$ ，则 $r=amodb=a-q\times b$ ，又因为 $d|a,d|b,d|(q\times b)$ ，则 $d|(a-q\times b)$ ，即 $d|r$ ，故 $gcd(a,b)=gcd(b,r)=gcd(b,amodb)$ 。

  • 时间复杂度为 $O(\log max(a,b))$ 。

  • 代码实现

    点击查看代码

    int gcd(int a, int b)
    {
    	return b?gcd(b,a%b):a;
    }
    

  • 例题

    • luogu B4025 最大公约数

扩展欧几里得算法

• 裴蜀定理（贝祖定理， $Bézout$ 定理）

  • 对于任意一对整数 $a,b$ ，存在一对整数 $x,y$ ，满足 $ax+by=gcd(a,b)$ 。
    • 证明
      • 当 $b=0$ 时，有一对整数 $x=1,y=0$ 满足 $a\times 1+0\times 0=a=gcd(a,0)$ 。
      • 若 $b\ne 0$ 时，则 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$ 。假设存在一对整数 $x,y$ ，满足 $b\times x+(amodb)\times y=gcd(b,amodb)$ ，又因为 $b\times x+(amodb)\times y=b\times x+(a-b\times \lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor )\times y=a\times y+b\times (x-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor \times y)$ ，所以令 $x^{\prime }=y,y^{\prime }=x-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor \times y$ ，此时有 $a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=gcd(a,b)$ 。
  • 应用
    • 若 $a,b$ 为正整数且互质，则不在集合 $\{ax+by|x,y\in \mathbb{N}\}$ 中的最大正整数为 $ab-a-b$。
      • luogu P3951 [NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑 / [蓝桥杯 2013 省] 买不到的数目
      • 证明
        • $ax+by=ab-a-b$ 无非负整数解。
          • 证明：易得两组解 $\{\begin{array}{l}{x}_1=b-1\\ y_1=-1\end{array},\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ y_1=a-1\end{array}$ 。利用 $exgcd$ 不难求出 $ax+by=ab-a-b$ 的一组特解 $x_0,y_0$ ，则其通解可以表示为 $\{\begin{array}{l}x=x_0+kb\\ y=y_0-ka\end{array}$ ，其中 $k\in \mathbb{Z}$ ，即 $k$ 取遍整数集合。设 $\{\begin{array}{l}b-1=x_0+k_{1}b\\ -1=y_0-k_{1}a\end{array},\{\begin{array}{l}-1=x_0+k_{2}b\\ a-1=y_0-k_{2}a\end{array}$ ，易得 $k_1-k_2=1$ ，故 $ax+by=ab-a-b$ 无非负整数解。
        • $ax+by=ab-a-b+c$ 有非负整数解，其中 $c$ 为正整数。

          • 证明：利用 $exgcd$ 不难求出 $ax+by=ab-a-b+c$ 的一组特解 $x_0,y_0$ ，则其通解可以表示为 $\{\begin{array}{l}x=x_0+kb\\ y=y_0-ka\end{array}$ ，其中 $k\in \mathbb{Z}$ ，即 $k$ 取遍整数集合。取一组解 $x^{\prime },y^{\prime }$ 使得 $0\le x^{\prime }\le b-1$ ，

            故 $0\le a{x}^{\prime }\le ab-a$ ，

            故 $b{y}^{\prime }\le a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }\le ab-a+b{y}^{\prime }$ ，

            故 $b{y}^{\prime }\le ab-a-b+c\le ab-a+b{y}^{\prime }$ ，

            故 $-b+c=c-b\le b{y}^{\prime }$ ，

            故 ${\displaystyle \frac{c}{b}}-1\le y^{\prime }$ 。

            又因为 $b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ，

            故 $0<{\displaystyle \frac{c}{b}}$ ，

            故 $-1<{\displaystyle \frac{c}{b}}-1\le y^{\prime }$ 。

            又因为 $y^{\prime }\in \mathbb{N}$ ，

            故 $ax+by=ab-a-b+c$ 有非负整数解，其中 $c$ 为正整数。

  • 推广
    • 对于任意非零整数 $a_1,a_2,a_3,\dots a_n$ ，存在与之相对应的整数 $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$ ，满足 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+\cdots =gcd(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$ 。
      • luogu P4549 【模板】裴蜀定理
      • CF1010C Border
        • 题解

• 代码实现

  点击查看代码

  int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
  {
  	if(b==0)
  	{
  		x=1;
  		y=0;
  		return a;
  	}
  	else
  	{
  		int d=exgcd(b,a%b,y,x);
  		y-=a/b*x;
  		return d;
  	}
  }
  

  • 上述程序求出方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组特解 $x_0,y_0$ ，并返回 $a,b$ 的最大公约数 $d$ 。
    • $x_0,y_0$ 是 $ax+by=gcd(a,b)$ 中 $|x|+|y|$ 最小的整数解。
      • UVA10104 Euclid Problem | CF7C Line

• 推广

  • 对于更为一般的方程 $ax+by=c$ ，它有整数解当且仅当 $gcd(a,b)|c$ 。
    • 令 $d=gcd(a,b),p={\displaystyle \frac{b}{d}},q={\displaystyle \frac{a}{d}}$ 。
    • 特解：先求出 $ax+by=d$ 的一组特解 $x_0,y_0$ ，此时就得到了 $ax+by=c$ 的一组特解 $\{\begin{array}{l}{x}_0^{\prime }={\displaystyle \frac{c}{d}}\times x_0\\ y_0^{\prime }={\displaystyle \frac{c}{d}}\times y_0\end{array}$ 。
    • $x$ 的最小正整数解为 $x_{min}=x_0^{\prime }+\lceil {\displaystyle \frac{1-x_0^{\prime }}{p}}\rceil \times p$ ，此时 $y_0^{″}=y_0^{\prime }-\lceil {\displaystyle \frac{1-x_0^{\prime }}{p}}\rceil \times q$ 。
      • 若 $y^{″}>0$ ，即存在正整数解时，正整数解的数量为 $\lfloor {\displaystyle \frac{y^{″}-1}{q}}\rfloor +1$ ，$x$ 的最大正整数解为 $x_{max}=x_0^{\prime }+\lfloor {\displaystyle \frac{y^{″}-1}{q}}\rfloor \times p$ ，$y$ 的最小正整数解为 $y_{min}=((y^{″}-1)modq)+1$ ，$y$ 的最大正整数解为 $y_{max}=y_0^{\prime }$ 。
      • 若 $y^{″}\le 0$ ，即不存在正整数解时， $y$ 的最小正整数解为 $y_{min}=y_0^{\prime }+\lceil {\displaystyle \frac{1-y_0^{\prime }}{q}}\rceil \times q$ 。
    • luogu P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
      • 通解： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }={\displaystyle \frac{c}{d}}\times x_0+pk\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{c}{d}}\times y_0-qk\end{array}$ 。其中 $x_0,y_0,d$ 的定义同上， $k$ 取遍整数集合 $\mathbb{Z}$ 。

• 例题

  • luogu P1516 青蛙的约会
  • luogu P1292 倒酒
  • luogu P2421 [NOI2002] 荒岛野人

数论分块（整除分块）

• 数论分块可以快速计算一些含有除法向下取整的和式，例如 $\sum _{i=1}^n\lfloor {\displaystyle \frac{k}{i}}\rfloor$ ，主要利用了富比尼原理，基本思想是对一段 ${\displaystyle \frac{k}{i}}$ 相同的数进行打包运算。
• 由 $\sum _{i=1}^n[i|n]\le 2\sqrt{n}$ ，有 ${\displaystyle \frac{n}{i}}$ 至多有 $O(\sqrt{n})$ 个取值。
• 然后考虑计算每个取值的左右边界。
  • 设 $f(x)=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor }}\rfloor$ ，有 $f(x)\ge \lfloor {\displaystyle \frac{n}{\frac{n}{x}}}\rfloor =x$ ，进而有 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{f(x)}}\rfloor \le \lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$ 。
  • 又因为 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{f(x)}}\rfloor \ge \lfloor {\displaystyle \frac{n}{{\displaystyle \frac{n}{\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor }}}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$ ，有 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{f(x)}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$ 。
  • 进而得到 $i\in [x,f(x)]$ ，有 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor$ 均相等。
• 例题
  • UVA11526 H(n)
    • 多倍经验： [ABC230E] Fraction Floor Sum
    • 题解
  • luogu P3935 Calculating
    • 题解
  • luogu P2424 约数和
    • 题解
  • luogu P2261 [CQOI2007] 余数求和
    • 多倍经验： SP10677 NAGAY - Joseph’s Problem | UVA1363 约瑟夫的数论问题 Joseph's Problem
    • 题解 | CF616E Sum of Remainders
  • luogu P2260 [清华集训2012] 模积和
    • 题解