【学习笔记】数学知识-基本数论算法

快速幂

• 例题
  • luogu P1226 【模板】快速幂

    • 已知 \(b\) 在二进制表示下有 \(\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil\) 位，设 \(c_i\) 表示其中第 \(i(1 \le i \le \left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil)\) 位的数字，且 \(c_i \in [0,1]\)，那么有 \(b=\sum\limits_{i=1}^{\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil}c_i 2^{i-1}\) ，于是有 \(a^b=a^{\sum\limits_{i=1}^{\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil}c_i 2^{i-1}}\) 。又因为 \(a^{2^i}=(a^{2^{i-1}})^2\) ，遍历 \(b\) 在二进制表示下的 \(\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil\) 位中满足 \(c_i=1\) 的即可。

    • 时间复杂度为 \(O(\log_{2}{b})\)。

      点击查看代码

      ll qpow(ll a,ll b,ll p)
      {
      	ll ans=1;
      	while(b>0)
      	{
      		if(b&1)
      		{
      			ans=ans*a%p;
      		}
      		b>>=1;
      		a=a*a%p;
      	}
      	return ans;
      }
      int main()
      {
      	ll a,b,p;
      	cin>>a>>b>>p;
      	cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"="<<qpow(a,b,p);
      	return 0;
      }
      

  • luogu P5035 金坷垃 | AT_atc002_b n^p mod m | UVA374 Big Mod | UVA1230 MODEX | SP3442 LASTDIG - The last digit | SP9494 ZSUM - Just Add It

龟速乘

• 例题

  • SP26368 PWRANDMOD - Power and Mod

    • 已知 \(b\) 在二进制表示下有 \(\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil\) 位，设 \(c_i\) 表示其中第 \(i(1 \le i \le \left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil)\) 位的数字，且 \(c_i \in [0,1]\)，那么有 \(b=\sum\limits_{i=1}^{\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil}c_i 2^{i-1}\) ，于是有 \(a \times b=a \times {\sum\limits_{i=1}^{\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil}c_i 2^{i-1}}\) 。又因为 \(a \times 2^i=a \times 2^{i-1} \times 2\) ，遍历 \(b\) 在二进制表示下的 \(\left\lceil \log_{2}{(b+1)} \right\rceil\) 位中满足 \(c_i=1\) 的即可。

  • 时间复杂度为 \(O(\log_{2}{b})\)。

    点击查看代码

    ll read()
    {
    	ll x=0,f=1;
    	char c=getchar();
    	while(c>'9'||c<'0')
    	{
    		if(c=='-')
    		{
    			f=-1;
    		}
    		c=getchar();
    	}
    	while('0'<=c&&c<='9')
    	{
    		x=x*10+c-'0';
    		c=getchar();
    	}
    	return x*f;
    }
    void write(ll x)
    {
    	if(x<0)
    	{
    		putchar('-');
    		x=-x;
    	}
    	if(x>9)
    	{
    		write(x/10);
    	}
    	putchar((x%10)+'0');
    }
    ll smul(ll a,ll b,ll p)
    {
    	ll ans=0;
    	while(b>0)
    	{
    		if(b&1)
    		{
    			ans=(ans+a)%p;
    		}
    		b>>=1;
    		a=(a+a)%p;
    	}
    	return ans;
    }
    ll qpow(ll a,ll b,ll p)
    {
    	ll ans=1;
    	while(b>0)
    	{
    		if(b&1)
    		{
    			ans=smul(ans,a,p);
    		}
    		b>>=1;
    		a=smul(a,a,p);
    	}
    	return ans;
    }
    int main()
    {
    	ll t,a,b,p,i;
    	t=read();
    	for(i=1;i<=t;i++)
    	{
    		a=read();
    		b=read();
    		p=read();
    		write(qpow(a,b,p));
    		cout<<endl;
    	}
    	return 0;
    }
    

快速乘

• 例题
  • luogu P10446 64位整数乘法

    • 容易有 \(a \times b \bmod p=a \times b-\left\lfloor\dfrac{ab}{p}\right\rfloor \times p\) 。接着借助 unsigned long long 和 long double 实现即可。 另外，因精度误差，最后得到的结果可能为负数，这就需要 \(+p\) 使之变为整数。

      • 快速乘误差较大，请谨慎使用。

    • 时间复杂度为 \(O(1)\) 。

      点击查看代码

      ll qmul(ll a,ll b,ll p)
      {
      	return ((ull)((ull)a*b-(ull)(1.0L*a/p*b+0.5L)*p)+p)%p;
      }
      int main()
      {
      	ll a,b,p;
      	cin>>a>>b>>p;
      	cout<<qmul(a,b,p)<<endl;
      	return 0;
      }