【学习笔记】数学知识-基本数论算法

合集 - 数学知识(8)

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快速幂

• 例题
  • luogu P1226 【模板】快速幂

    • 已知 $b$ 在二进制表示下有 $\lceil {\log }_2(b+1)\rceil$ 位，设 $c_i$ 表示其中第 $i(1\le i\le \lceil {\log }_2(b+1)\rceil )$ 位的数字，且 $c_i\in [0,1]$，那么有 $b=\sum _{i=1}^{\lceil {\log }_2(b+1)\rceil }{c}_i{2}^{i-1}$ ，于是有 $a^b=a^{\sum _{i=1}^{\lceil {\log }_2(b+1)\rceil }{c}_i{2}^{i-1}}$ 。又因为 $a^{2^i}=(a^{2^{i-1}}{)}^2$ ，遍历 $b$ 在二进制表示下的 $\lceil {\log }_2(b+1)\rceil$ 位中满足 $c_i=1$ 的即可。

    • 时间复杂度为 $O({\log }_{2}b)$。

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      ll qpow(ll a,ll b,ll p)
      {
      	ll ans=1;
      	while(b>0)
      	{
      		if(b&1)
      		{
      			ans=ans*a%p;
      		}
      		b>>=1;
      		a=a*a%p;
      	}
      	return ans;
      }
      int main()
      {
      	ll a,b,p;
      	cin>>a>>b>>p;
      	cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"="<<qpow(a,b,p);
      	return 0;
      }
      

  • luogu P5035 金坷垃 | AT_atc002_b n^p mod m | UVA374 Big Mod | UVA1230 MODEX | SP3442 LASTDIG - The last digit | SP9494 ZSUM - Just Add It

龟速乘

• 例题

  • SP26368 PWRANDMOD - Power and Mod

    • 已知 $b$ 在二进制表示下有 $\lceil {\log }_2(b+1)\rceil$ 位，设 $c_i$ 表示其中第 $i(1\le i\le \lceil {\log }_2(b+1)\rceil )$ 位的数字，且 $c_i\in [0,1]$，那么有 $b=\sum _{i=1}^{\lceil {\log }_2(b+1)\rceil }{c}_i{2}^{i-1}$ ，于是有 $a\times b=a\times \sum _{i=1}^{\lceil {\log }_2(b+1)\rceil }{c}_i{2}^{i-1}$ 。又因为 $a\times 2^i=a\times 2^{i-1}\times 2$ ，遍历 $b$ 在二进制表示下的 $\lceil {\log }_2(b+1)\rceil$ 位中满足 $c_i=1$ 的即可。

  • 时间复杂度为 $O({\log }_{2}b)$。

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    ll read()
    {
    	ll x=0,f=1;
    	char c=getchar();
    	while(c>'9'||c<'0')
    	{
    		if(c=='-')
    		{
    			f=-1;
    		}
    		c=getchar();
    	}
    	while('0'<=c&&c<='9')
    	{
    		x=x*10+c-'0';
    		c=getchar();
    	}
    	return x*f;
    }
    void write(ll x)
    {
    	if(x<0)
    	{
    		putchar('-');
    		x=-x;
    	}
    	if(x>9)
    	{
    		write(x/10);
    	}
    	putchar((x%10)+'0');
    }
    ll smul(ll a,ll b,ll p)
    {
    	ll ans=0;
    	while(b>0)
    	{
    		if(b&1)
    		{
    			ans=(ans+a)%p;
    		}
    		b>>=1;
    		a=(a+a)%p;
    	}
    	return ans;
    }
    ll qpow(ll a,ll b,ll p)
    {
    	ll ans=1;
    	while(b>0)
    	{
    		if(b&1)
    		{
    			ans=smul(ans,a,p);
    		}
    		b>>=1;
    		a=smul(a,a,p);
    	}
    	return ans;
    }
    int main()
    {
    	ll t,a,b,p,i;
    	t=read();
    	for(i=1;i<=t;i++)
    	{
    		a=read();
    		b=read();
    		p=read();
    		write(qpow(a,b,p));
    		cout<<endl;
    	}
    	return 0;
    }
    

快速乘

• 例题
  • luogu P10446 64位整数乘法

    • 容易有 $a\times bmodp=a\times b-\lfloor {\displaystyle \frac{ab}{p}}\rfloor \times p$ 。接着借助 unsigned long long 和 long double 实现即可。 另外，因精度误差，最后得到的结果可能为负数，这就需要 $+p$ 使之变为整数。

      • 快速乘误差较大，请谨慎使用。

    • 时间复杂度为 $O(1)$ 。

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      ll qmul(ll a,ll b,ll p)
      {
      	return ((ull)((ull)a*b-(ull)(1.0L*a/p*b+0.5L)*p)+p)%p;
      }
      int main()
      {
      	ll a,b,p;
      	cin>>a>>b>>p;
      	cout<<qmul(a,b,p)<<endl;
      	return 0;
      }