莫比乌斯反演题目总结
之前的小结：https://blog.csdn.net/fufck/article/details/78844309
题意：满足 a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d ，且gcd(x,y) = k 的个数（1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000）
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#define ll long long
#define maxn 401000
const int P=1e9+7;
using namespace std;
inline int rd()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int tot;
int a,b,c,d,k;
int sum[50005],mu[50005],pri[50005];
bool mark[50005];
void getmu()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=50000;i++)
{
if(!mark[i]){mu[i]=-1;pri[++tot]=i;}
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=50000;j++)
{
mark[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=50000;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int cal(int n,int m)
{
if(n>m) swap(n,m);
int ans=0,pos;
for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
{
pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
return ans;
}
int main()
{
getmu();
int T=rd();
while(T--)
{
a=rd();b=rd();c=rd();d=rd();k=rd();
a--;c--;
a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
int ans=cal(a,c)+cal(b,d)-cal(a,d)-cal(b,c);
printf("%d\n",ans);
}
}题意：求∑f（i，j）的值，当gcd（i，j）为完全平方数 f（i，j）=1；否则为0（1≤n,m≤10,000,000)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#define ll long long
#define maxn 1e7
const int P=1e9+7;
using namespace std;
inline int rd()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int tot;
int a,b,c,d,k,n,m;
int sum[10000005],mu[10000005],pri[10000005];
bool mark[10000005];
ll ans;
void getmu()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!mark[i]){mu[i]=-1;pri[++tot]=i;}
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=maxn;j++)
{
mark[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i*i<=maxn;i++)
for(int j=i*i,k=1;j<=maxn;k++,j+=i*i)
sum[j]+=mu[k];
for(int i=1;i<=maxn;i++) sum[i]+=sum[i-1];
}
ll cal(int n,int m)
{
if(n>m) swap(n,m);
int pos;ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
{
pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1ll*(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
return ans;
}
int main()
{
getmu();
int T=rd();
while(T--)
{
n=rd();m=rd();
printf("%lld\n",1ll*n*m-cal(n,m));
}
}题意：两个序列，A，B，A序列给出，Bi<=Ai，问满足所有区间 gcd(bl,bl+1...br)≥2 B序列的方案数
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#define ll long long
#define maxn 1e5
const int P=1e9+7;
using namespace std;
inline int rd()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int tot;
int n,m,cas=0,ed,mi,x;
int sum[100005],mu[100005],pri[100005],a[100005];
bool mark[100005];
ll ans;
void getmu()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!mark[i]){mu[i]=-1;pri[++tot]=i;}
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=maxn;j++)
{
mark[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
}
int qpow(ll x,ll n)
{
ll res=1;
while(n)
{
if(n&1) res=(res*x)%P;
n>>=1;x=(x*x)%P;
}
return res;
}
ll cal()
{
ll ans=0;
for(int i=2;i<=mi;i++)
if(mu[i])
{
ll cnt=-mu[i];
for(int j=2;j<=ed/i;j++)
{
int l=i*j,r=min(ed,i*(j+1)-1) ;
cnt=(cnt*qpow(j,a[r]-a[l-1]))%P;
}
ans=(ans+cnt)%P;
}
return (ans+P)%P;
}
void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
ed=0;mi=1e5;
n=rd();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
x=rd();ed=max(ed,x);mi=min(mi,x);
a[x]++;
}
for(int i=2;i<=ed;i++) a[i]+=a[i-1];
}
int main()
{
getmu();
int T=rd();
while(T--)
{
init();
printf("Case #%d: %lld\n",++cas,cal());
}
}题意：求（1，b）区间和（1，d）区间里面gcd(x, y) = k的数的对数（1<=x<=b , 1<= y <= d）。（x,y） (y,x）是同一对
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#define ll long long
#define maxn 401000
const int P=1e9+7;
using namespace std;
inline int rd()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int tot;
int a,b,c,d,k,cas=0;
int sum[150005],mu[150005],pri[150005];
bool mark[150005];
void getmu()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=100000;i++)
{
if(!mark[i]){mu[i]=-1;pri[++tot]=i;}
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=100000;j++)
{
mark[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=100000;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
ll cal(int n,int m)
{
if(n>m) swap(n,m);
ll ans=0;
int pos;
for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
{
pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1ll*(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
return ans;
}
int main()
{
getmu();
int T=rd();
while(T--)
{
a=rd();b=rd();c=rd();d=rd();k=rd();
if(k==0){printf("Case %d: 0\n",++cas);continue;}
a--;c--;
a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
if(b>d) swap(b,d);
ll ans=cal(b,d)-cal(b,b)/2;
printf("Case %d: %lld\n",++cas,ans);
}
}题意：给你一个集合，求所有子集的gcd之和
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#define ll long long
#define maxn 401000
const int P=1e8+7;
using namespace std;
ll ans;
int a[1010],f[1010],p[1010],t,x,n;
void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(f,0,sizeof(f));
ans=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x),a[x]++;
for(int i=1;i<=1000;i++)
{
int w=0;
for(int j=i;j<=1000;j+=i) w+=a[j];
f[i]=p[w]-1;
}
}
void work()
{
for(int i=1000;i>=1;i--)
{
for(int j=i+i;j<=1000;j+=i) f[i]=(f[i]-f[j]+P)%P;
ans=(ans+1ll*f[i]*i)%P;
}
}
int main()
{
p[0]=1;
for(int i=1;i<=1000;i++) p[i]=(p[i-1]*2)%P;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
init();
work();
printf("%lld\n",ans);
}
}
风在前，无惧！
