3.27 算法补全：行列式（扩展）

行列式 Ex

海森堡矩阵行列式

上海森堡阵是满足其次对角线下的值都为 $0$，即只有 $i\le j+1$ 处的 $a_{i,j}$ 的矩阵。

上海森堡阵的行列式可以 $O(n^2)$ DP 求解，因为在这个矩阵中选择一个不含 $0$ 的排列，一定满足会形成如下形式：$x,1,2,\dots,x-1\mid y,x+1,\dots,y-1\mid\dots$，即若干个区间的环拼接起来。于是我们直接 DP，$f_i$ 表示 $[1,i]$ 构成若干个环的方案权值和，那么 $f_i=\sum_{j}(-1)^{j-i}f_{j}g_{j+1,i}$，其中 $g_{l,r}=a_{l,r}\prod_{i=l+1}^{r} a_{i,i-1}$.

特征多项式

对于方阵 $A$，定义其特征多项式 $p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)$。

对于方阵 $A,B$，若存在初等可逆矩阵 $P$ 满足 $B=PAP^{-1}$，那么称 $A,B$ 互为相似矩阵。

相似矩阵特征多项式相同。

证明：

$$p_B(\lambda)=\det(\lambda I-PAP^{-1})=\det(\lambda PIP^{-1}-PAP^{-1})=\det(P(\lambda I-A)P^{-1})\\=\det(P)\det(\lambda I-A)\det(P^{-1})=p_A(\lambda)$$

任意一个方阵，都可以找到一个海森堡矩阵与其相似。

消元方法：考虑我们在消元（构造 $P$）的同时，算上 $P^{-1}$ 带来的贡献。我们进行消元的时候会进行行变换：$R_i:=R_i+kR_{j}$，那么其对应右乘 $P^{-1}$ 带来的变换就是列变换 $C_j:=C_j-kC_i$；类似的，交换 $R_i,R_j$ 的操作，对应右乘 $P^{-1}$ 带来的变换就是交换 $C_i,C_j$。我们若怀着消成海森堡阵的目标，容易发现列变换不会造成什么影响。

于是普通方阵求特征多项式只需要先变消成一个上海森堡阵，然后再 DP 出其特征多项式即可。

对于上海森堡阵，就很好做了，直接对上述 DP 进行一个修改，得到 $p_i=\lambda p_{i-1}-\sum_j p_jg_{j+1,i}$。

https://judge.yosupo.jp/submission/199210

$A+Bz$ 行列式

首先我们可以用求特征多项式一样的方法求出 $\det(A+I_nz)$（代 $A_{i,j}=-A_{i,j}$ 就是特征多项式）。

于是对于 $A+Bz$，考虑把 $B$ 消元成 $I_n$。但是有可能 $B$ 不满秩，那么就无法消成 $I_n$。这种情况下，考虑一个操作：将这一行乘上 $z$，即把这一行从 $R_{A}+R_{B}z$ 变成 $R_Az+R_Bz^2$，由于 $R_B$ 处满足该行该列为 $0$ 所以不产生贡献，所以就变成了 $R_Az$，然后再进行消元。然后我们不断这样做，直到 $B_{i,i}\neq 0$，或者乘的 $z$ 的个数 $>n$。

https://qoj.ac/submission/368908

范德蒙德行列式

考虑方阵 $a_{i,j}=x_i^j$，$0\le i,j<n$，那么其行列式为 $\prod_{0\le i<j<n} (x_j-x_i)$。

可以归纳得证。

神秘题 1

（忘了出处的模拟赛）给定常数 $c$，矩阵 $a$ 满足对于 $i=j$ 有 $a_{i,j}=1$，$i\neq j$ 时 $a_{i,j}=c\times [i\not \mid j]$，求其行列式。$n\le 10^{11}$。

注意到一个下三角全为 $c$，所以考虑直接差分，$a_{i,j}=a_{i,j}-a_{i-1,j}$，得到一个上海森堡阵。然后我们直接 DP，得到 $f_i=\sum_{j<i}f_{j-1}(c-1)^{i-j}(-1)^{i-j}ca_{j,i}+f_{i-1}(1-c)$，令 $h_i=f_i(c-1)^{-i}(-1)^i$，那么有 $h_i=\sum_{j<i}ca_{j,i}h_{j-1}+h_{i-1}$。令 $g_{i}=h_i-h_{i-1}$，那么 $g_i=\sum_{j<i}ca_{j,i}h_{j-1}$，带入题目中的矩阵得到 $g_i=c\sum_{j<i}([j\not\mid i]-[j-1\not\mid i])h_{j-1}=c(h_{i-2}-\sum_{j<i-1}[j\not\mid i]g_j)=c\sum_{j\mid i,j<i-1}g_j$，可以发现 $g$ 是 $[0,c,c,\dots]$ 的迪利克雷逆，所以直接杜教筛即可。

神秘题 2

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