2.15 Kamui ——ARC131~133

但是今天的古报还是发。明天就没古报了，因为要回学校集训，一天打不了三场，所以可能 128~130 的古报会几天之后发。

ARC131

ARC131D AtArcher

对于两侧，我们选的个数一定最多差 \(1\)。而对于一侧，我们选的点一定是 \(r,r+d,\dots,r+kD\)，其中 \(r\le D\)。于是我们对于每一个 \(k,r\) （\(k\in[n/2-1,n/2+1]\)）都算出一侧的答案即可。用差分即可。

ARC131E Christmas Wreath

考虑到 \(n\le 5\) 或 \(n\%3=2\) 显然无解。然后考虑如何构造 \(n=6\)。我们发现可以让 \(1\) 连向其余的边全为 R。这么操作的意义是，之后所有含 \(1\) 的三元环就不可能同色了。于是我们推而广之，每次可以选择一个点，将其出边全部染成相同颜色，然后就可以把这个点给删掉了。也就是我们需要将 \(1,2,\dots,n-1\) 划分成三类，每类 sum 相同。这个 DP 一下即可。

ARC132

ARC132D Between Two Binary Strings

考虑到在答案串中每个 \(1\) 的位置，都应该处于 \([l_i,r_i]\)，其中 \((l_i,r_i)\) 为 \(s,t\) 中第 \(i\) 个 \(1\) 的位置。于是我们贪心地进行操作，最大化相邻 \(1\) 的个数，每次能与左边相邻就相邻，否则贪心放在 \(r_i\) 处。最后一个 \(1\) 若处在末尾则有额外的相邻的 \(0\) 的贡献。然后还需要考虑第一个 \(1\) 放在最左侧会有额外的相邻的 \(0\) 的贡献，于是钦定第一个 \(1\) 在首位之后后面在做一次，两者取 max 即可。

ARC132E Paw

考虑最终局面状态。由于一定不会有 ><，所以一定长成 <<<...>>> 这种样子，其中 ... 是原串部分。于是考虑 \(f_i\) 表示从头开始 \(i\) 个洞都是 < 的概率。那么从 \(i-1\) 转移过来后，第一个洞要么向左，要么早于其它洞，所以有 \(1-\frac{1}{2i}\) 的概率。于是 \(f_i=f_{i-1}\times \frac{2i-1}{2i}\)。然后就结束了。

ARC132F Takahashi the Strongest

这种奇怪的变换给人一种多进制 FWT 的感觉。先补集转换，并考虑简化成出的与其余两个人相同时获胜（这个与原题没有区别），那么就得到 1+1->1, 2+2->2, 3+3->3, 其余全部变成 0。考虑对这个编一个蝴蝶变换：第一次变换 0‘=1+2+3，其余不变，然后再点积后，逆变换做 0’=0-1-2-3, 1‘=0-1, 2‘=0-2, 3’=0-3。容易得知这样可以得到答案序列。复杂度 \(O(k4^k)\)。

ARC133

ARC133D Range XOR

首先考虑变成前缀 xor。然后我们发现如果考虑除了最低位的其余位，若 \(x\) 是偶数，那么前缀 xor 为 \(0\)，否则前缀 xor 为自身。并且最低位只与 \(x\) 模 \(4\) 的余数有关。于是我们枚举 \(l,r\) 模 \(4\) 的余数，然后对其余位数位 DP 即可。

ARC133E Cyclic Median

首先需要考虑将其变成对于每个 \(k\)，算出中位数 \(> k\) 的方案数，于是每个数都变成了 \(0/1\)。然后我们发现如果 \(x=y\) 那么 \((a,x,y)\) 一定会变成 \(x\)。并且对于 \(k\) 和 \(v-k\)，\(x=y\) 的贡献对称。所以我们只需要统计 \(x\neq y\) 的贡献，此时只有 \(k<a\) 时才有贡献。这个是容易的，对于每一个环（共 \(\gcd(n,m)\) 个环），方案都是 \(k^{n'}(v-k)^{m'}+k^{m'}(v-k)^{n'}\)。于是对于每个 \(k\) 把方案数叠加起来即可。