2.7 それは命の证 ——ARC113~115

今天的赞助歌曲是，Blessing！

Blessings for your birthday
Blessings for your everyday
最後の一秒まで前を向け

ほらここをじっと见つめてみて
最高の味方が映ってるでしょ？
それは命の证

还有很多我很喜欢的歌词。歌就不多介绍了。进入正题。

ARC113

ARC113D Sky Reflector

对于 $n,m$ 都 $\neq 1$ 时条件为 $\max a\le \min b$。直接求就行了。

ARC113E Rvom and Rsrev

分亿些情况讨论。如果全相同或 $a...ab..b$ 就做完了。否则如果 $s_n=b$ 且 $a$ 数量为偶数那么就做完了。否则如果后缀 $b$ 数量 $\le 2$ 也做完了。否则如果没有后缀 $b$ 那么这些 $b$ 就都能用上，否则一定会少两个 $b$。考虑最大化 $a$ 的数量。$a$ 会划分成若干连续段。大小为 $1$ 的连续段可以互相消掉。大小 $>1$ 的连通块可以消一次让它们连起来。然后注意要特殊看一下最后那个连续段大小为 $1$ 的时候，且减少 $b$ 的那次消去操作不能减少 $a$ 的连通块，那么就需要额外再多用一步。

ARC113F Social Distance

目前唯一一道我还没写的题。感觉很牛逼。首先考虑 $\ge w$ 的概率。那么就要求 $a_{i+1}-a_i\ge w$。修改一下，变成 $b_i=a_i-iw$，$b_i$ 递增。$b_i$ 的界为 $[x_{i-1}-wi,x_i-wi]$。容易发现本质不同的，影响这些界的相对大小排序的只有 $O(n^2)$ 种。于是我们对每一类进行 DP，DP 时需要记录一个多项式，然后最后再积分。

ARC114

ARC114D Moving Pieces on Line

容易发现，向左走的棋子，与向右走的棋子，之间的路径不会相交。于是考虑离散化后 DP：$f(i,j,0/1)$ 表示前 $i$ 段，第 $i$ 段被向左/右走的棋子覆盖了 $j$ 层。转移是容易的。

ARC114E Spread of Information

先二分，然后再进行贪心。$f_u$ 表示 $u$ 子树中选点个数，$h _u$ 表示子树中关键点到 $u$ 的最小距离，$g _u$ 表示子树中未满足的点到 $u$ 的最大距离。直接做即可。

ARC114F Deque Game

考虑一下只有一堆的方案。容易发现长度为奇数那么后手获利，长度为偶数那么先手获利。于是一定先去尝试抢偶数的先手，然后把偶数变为奇数的情况。于是一定是先轮流挑偶数的先手步（删最左还是最右），之后所有都是长度为奇数了。长度为偶数不会改变先后手。所以就做完了。

ARC115

ARC115D Odd Degree

注意到对于一个连通块，非树边随意选，然后假如我们钦定除了根之外的其余点的度数奇偶性，那么树边是否被选择，以及根的奇偶性都能被确定。分析一下，发现一个大小为 $s$ 的连通块，有 $x$ 条非树边，产生 $y$ 个奇度点的方案数为 $2^x(\binom{s-1}{y-1}+\binom{s-1}{y})$。于是对每个连通块都算出结果，然后再卷积一下即可。易知总复杂度 $O(n^2)$。

ARC115E LEQ and NEQ

考虑对 neq 限制进行容斥。容斥结果会形成几个连续段。$f_i$ 表示考虑 $[1,i]$ 的答案。那么 $f_i=-\sum_j f_{j-1}\max(a[j,i])$。考虑直接用单调栈来维护这个即可。

ARC115F Migration

首先一定存在一个谷局面，即过程中 $\sum h$ 最小的局面。于是我们一方面从初始局面走到谷局面，一方面从最终局面走到谷局面。但是这个谷局面是不确定的。

考虑一些贪心：每次找到一个 $u$，把它挪到一个 $h_v$ 比自己小的位置。容易发现，令 $w_{u,v}$ 表示路径上最大值，我们分步移动，每次移 $h_v<h_u$ 且 $w_{u,v}$ 最小的一定不劣。于是我们开两个堆，维护两个局面的不断的这样操作，并尽可能贪心做决策使得上界增长小，直到两个局面相同。