2.2 如何把一道简单思维题变难

今天是搞笑场，符合“精神状况记录”的 tag。

方法一：将 \(O(n)\) 甚至 \(O(\log n)\) 的需要一定思维的题目，将 \(n\) 开到 \(1000\)，\(100\) 等两级。

ARC108D AB

给定 \(c_{A/B,A/B}\in\{A,B\}\)，每次可以在 \(XY\) 间插入 \(c_{X,Y}\)，问可以得到多少种长 \(n\) 序列。

重要：数据范围，\(n\le 1000\)。

想必在看完“方法一”时，大家都已经秒了吧！

首先如果有 \(c_{A,B}=B\) 且 \(c_{B,B}=B\) 那么就没救了。否则 \(c_{B,B}=A\)。我们先给序列中插上若干个 \(B\)，然后两个 \(B\) 之间可以插入零个或一个 \(A\)。

然后再看 \(c_{B,A}\)，如果 \(c_{B,A}=B\) 那么就没救了，答案为斐波那契数列。如果 \(c_{B,A}=A\) 那么相邻的 \(A\) 填什么都可以。答案为二的幂次。

\(C_{A,B}=A\) 就同理了。

然后就做完了吗？我们再看一看数据范围，\(n\le1000\)！

所以我们绝对不能写 \(O(n)\) 的递推，更不能写 \(O(\log n)\) 的快速幂。

于是，求解 \(c_{B,A}=A\) 的那个的时候，我们竟然发现 \(f_n=\sum_{i<n} f_i\)！于是 \(O(n^2)\) 搞定。

方法二：对于一道操作数为 \(n\)（或 \(n-1\)） 的构造题，将其构造步数限制设为 \(c\times n\)，其中 \(c\) 可以为 \(>1\) 的正整数，或者设为 \(O(n\log n)\)。

例子是我和 black_trees 的一道构造题，但是不方便公开。应该有部分人看到过。