1.25 两道结论题的解法与思考

背景 1：今天确实没啥好活可以整。

背景 2：今天确实被两道结论题整破防了。

背景 3：拒绝偷跑！卑力下降！

背景 4：当学校寒假的学科答疑和做题冲突的时候，果断选择做题！

背景 5：背景怎么成碎碎念了。

背景 6：原来是吐槽役。

1. ARC094F Normalization

给定 \(\Sigma=\{a,b,c\}\) 的串，每次可以选择两个相邻的不同的字符，把它们同时都替换成除去这两种字符外的另一种字符。给定串 \(S\)，问能通过操作到达多少种不同的串。\(O(n)\)。

首先这种无厘头的操作，先考虑不变量：这是容易的，主要到将 \(a,b,c\) 看作 \(0,1,2\) 后，任何操作都不会改变全串的和模 \(3\) 后的余数。

然后再找一些必要条件，比如一开始的串不能全部相等，最后的串不能任意相邻位置都不同。这都是容易发现的。

然后我们发现 \(n=3\) 的时候形成了一个反例：abc 不能到达 bbb，但能到达 aaa 和 ccc。怎么办呢？

答案是，\(n\ge 4\) 的时候就没有反例啦！

实际上，由于题目的操作过于复杂，没法进行限制，所以研究其可达性基本上是唯一解题方法。研究可达性就是很多必要条件拼凑起来的。而对于可达性，验证结论正确性的一个方法是写个暴力玩玩，还有个方法是尝试归纳。

尤其是对于这种 \(n=3\) 不行的时候。我们发现 \(n=4\) 的时候自由度更高了。我们尝试归纳，然后发现，我们可以把首字母给任意替换！于是就证明成功了。

但是笔者止步于“怎么办呢”。说明猜测结论正确性和归纳的显然性的功底还远远不够。

2. ARC152E XOR Annihilation

Annihilation 的意思是淫灭，毁灭。学习这个新单词或许比看这篇 blog 更加有用。

有 \(2^n-1\) 个球，每个球上有标号 \(w_i\)，标号形成 \(1\) 到 \(2^n-1\) 的排列。每个时刻，每个球如果其左侧的权值异或和 \(\oplus Z\) 大于右侧权值异或和 \(\oplus Z\) 那么就往左走，反之往右，或者相同就不动。两球位置相同会合并，新的权值也为异或和。问有多少个 \(0\le Z<2^n\) 使得最后球能不再运动。

首先注意到是排列，所以全体异或和为 \(0\)。于是，\(x\) 右侧的异或和相当于 \(x\) 的前缀异或和。

一个很重要的一步，是我们用前缀异或和 \(s_i\) 去替代 \(w\)，于是每个球运动的依据在于 \(s_i\oplus Z\) 与 \(s_{i-1} \oplus Z\) 的大小关系。令 \(t_i=s_i\oplus Z\)。

这样的好处是，相邻两个球碰撞在一起的时候，实际上造成的后果，是 \(t_i\) 消失了（Annihilation）。这个就变得更清楚了。

这样更好的地方在于，由于我们会在 \(t_{i-1}\le t_i\ge t_{i+1}\) 的时候才能进行合并（如果同时取等那么不行），所以最终的 \(t\) 序列要么全是 \(Z\)（合法情况），要么一定形成一个单谷序列，且 \(t<Z\)（不合法情况）。

于是我们就可以在原先的 \(t\) 序列中考虑最终序列。我们考虑最小的 \(t\)，如果 \(\min t< Z\) 那么一定不合法，如果 \(\min t\ge Z\) 那么一定合法。

于是问题就变成了所有的 \(s_i\oplus Z\ge Z\) 了。很神奇吧？

之后就简单了，因为这个条件等价于 \(Z\) 在 \(s_i\) 的最高位处为 \(0\)。

但是笔者止步于“一个很重要的一步”之前。问题出现在哪里呢？我们发现这题的解题过程，在于分析（排列的性质）-发现-转换（用 \(s_i\) 来表示）-分析（变化的条件与结果局面的性质）-发现-转换（\(\min t\ge Z\)）-分析-解出。

如果我们发现了性质，但是没有进行进一步的转换：将操作表示成我们更容易接受的形式，那么一切都是白搭。要时刻记得要下笔去尝试进行转换，并进行进一步的分析。