1.24 两道树上问题的解法与思考

内容过于简单，勿喷。

勘误：access 次数是 \(O(n \log n)\) 的，所以 2.2 不存在单 log 做法。

1.1 P6072 Path（双 log）

选择两条简单路径，满足没有重合的点，且边权异或和之和最大。\(n\le 10^5\)。

我们可以把问题转化为选出一个 \(u\)，令在子树内选出两个点的异或和最大为 \(f_u\)，子树外为 \(g_u\)，那么我们需要求 \(f_u+g_u\) 的最大值。

首先，通过 DSU on tree，我们可以搞出一种比较巨大的双 log 做法。不多赘述。

1.2 P8511 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_68

本题需要求出所有 \(g_u\)，但是复杂度单 log。

考虑如下做法：首先找到全局的最优的链 \((x,y)\)。我们发现，对于不在 \(1\to x\) 与 \(1\to y\) 路径上的点，\(g_i\) 一定是 \((x,y)\) 这条路径。

现在问题转化为对于一条 \(1\to x\) 的路径进行求解。这是容易的，考虑从 \(1\to x\) 走的时候，“子树外”这个集合是不断扩大的，暴力增加即可。

1.3 P6072 Path（单 log）

我们回到第一个问题上。现在我们已经能够单 log 求出所有 \(g\)。求出所有 \(f\) 看上去不能够利用以上解法得到单 log 解。

但是由于我们需要求的是最大的 \(f+g\)。于是对于 \(g\) 相同的 \(u,v\)，若 \(v\in T_u\) 那么 \(v\) 没有任何用处。所以，我们实际上需要求出的 \(f\) 只有一些极大的子树，以及 \(1\to x\) 与 \(1\to y\) 的链。两者都是好求的，于是总复杂度 \(O(n\log n)\)。

2.1 LOJ6041 事情的相似度（双 log）

给定 01 串，令 \((i,j)\) 的贡献表示为 \(i\) 起始的后缀与 \(j\) 起始后缀的 LCP，每次问询求区间两两贡献的最大值。

通过建立后缀树，转化为区间两两 lca 的最大深度。

首先，我们有一种双 log 的做法。考虑我们在 lca 处统计贡献。进行 DSU on tree，并且在遍历轻子树时，将其在重子树中的（标号的）前驱后继找出。于是我们可以发现，有用的点对一定产生于这些中，只有 \(O(n\log n)\) 个。于是总复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

2.2 LOJ6041 事情的相似度（跑的更快的双 log）

在“本质不同子串个数”一题中，我们有了在后缀树上扫描线做 access 操作的想法。这个想法同样可以运用于这题。

考虑扫描线的同时，维护这个点的贡献。考虑每次到 \(r\) 做一次类似 access 操作，给祖先点染颜色 \(r\)。那么如果一个节点先前染色为 \(l\)，那么就把 \((l,r)\) 加入点对集中。由于 access 更改次数单 log，所以总复杂度为 \(O(n\log^2 n)\)。

在 LOJ 上这个解法跑的非常快。大概是因为字符串题 access 操作比较难以卡满。

3 总结

讲真我觉得这两题关系不大，但是关系很大。

所以没啥好总结的吧。但是确实很有趣。以前并不熟悉这些技巧。