JOI Final 2020 题解

JOI 2020 Just Long Neckties

首先一定是贪心将两个从小到大排。然后考虑维护 $a_i-b_i$ 的前缀 max 与 $a_{i+1}-b_i$ 的后缀 max 即可。

https://qoj.ac/submission/113106

JOI 2020 JJOOII 2

考虑维护出每个点往前跳 $k$ 个 J/O/I 跳到哪里。于是枚举右端点，然后往前跳找到最大的左端点即可。

https://qoj.ac/submission/113117

JOI 2020 Collecting Stamps 3

考虑破环后设计 DP：$f(l,r,x)$ 表示目前走遍了 $[l,r]$ 并停在了 $l$ 并拿了 $x$ 个邮票的最小用时，$g(l,r,x)$ 表示停在 $r$ 的最小用时。于是 $f(l+1,r,x)$ 就可以转移到 $f(l,r,x')$ 满足 $x'=x+[f(l+1,r,x)+d_{l+1}-d_l\le t_l]$。同时还有 $f(l,r,x)$ 和 $g(l,r,x)$ 的互相松弛（用 $d_r-d_l$ 松弛）。

https://qoj.ac/submission/113146

JOI 2020 Olympic Bus

考虑对于边 $u\to v$，翻转后对于 $1\to n$ 和 $n\to 1$ 的影响。以 $1\to n$ 为例。如果 $u\to v$ 是最短路必经边，那么就求一下删掉之后的最短路；如果不是，那么就有两种情况，取原最短路，和取反边后 $1\to v\to u\to n$，显然两者都不会用到 $u\to v$。删掉之后的最短路考虑最短路图后支配树。由于这题有零边所以不能直接 DAG 支配树！暴力复杂度 $O(nm)$ 即可。

https://qoj.ac/submission/113239

JOI 2020 Fire

首先考虑 $L=1,R=N$ 怎么做。我们发现每个 $s_i$ 覆盖的区间会不断右移。$a_i$ 表示 $s_i$ 覆盖的区间左端点开始动的时间，即最大的 $j$ 满足 $s[i-j,i)\le s_i$；同理 $b_i$ 表示区间右端点停止的时间，即最大的 $j$ 满足 $s(i,i+j]<s_i$。考虑 $f_t$ 表示 $t$ 时间的和，那么 $s_i$ 对 $f_t$ 的贡献是一个类似梯形的一个关于 $t$ 的函数，我们可以轻易通过 $a_i,b_i$ 找到 $i$ 对 $f$ 的二阶差分的贡献的位置。然后考虑分块，同理我们也可以对于每个块，处理出它的 $f$，遍历每个 $i$ 看 $s_i$ 对这个块的 $f$ 的二阶差分的贡献的位置。具体而言，对于块 $[L,R]$，块左边的贡献为 $L-i$ 处 $+s_i$，$L-i+a_i+1$ 处 $-s_i$，$\min(R-i,b_i)+1$ 处 $-s_i$，$\min(R-i,b_i)+a_i+2$ 处 $+s_i$。块内部点的贡献后面两个是相同的，前面的是 $0$ 处 $+s_i$ 以及 $a_i+1$ 处 $+s_i$。

https://qoj.ac/submission/113415