JOISC 2021 题解

JOISC21 フードコート (Food Court)

首先我们发现我们这个删除实际上可以假删除，我们每次问询时求出这个队列目前被删了几个（维护区间加，区间 \(\max(0,A-x)\)）就可以把删除操作给弄掉了。

然后我们考虑对商店做扫描线！因为我们现在其实就是对商店的单点问询，我们这个加入操作也可以在左端点加入，右端点删除，再开一个线段树维护每个时刻的团体是否出现，然后再在线段树上二分就好了。

JOISC21 道路の建設案 (Road Construction)

首先考虑平面曼哈顿距离最近点对的一个分治做法。我们对于分治线 \(x\)，我们从上到下扫，然后每次扫问询最小值，加入一个点。我们考虑把这个过程可持久化了，这样我们就能查询到在这一次分治过程中这个点的 \(k\) 小值。

然后我们对所有分治局面，用堆维护。我们每个局面维护这个局面 \(S\) 中的点统计了几个值 \(p_{S,x}\)，以及目前这个局面的还能使用的最小值以及在哪里取到的，再用一个堆维护每个点的情况。然后我们每次取出最小值最小的局面 \(S\)，找到 \(S\) 中最小值所对应的 \(x\)，求出这个局面下这个点的 \(p_{S,x}+1\) 小值，然后更新一下这个在堆中的取值。复杂度是双 log 的。

https://qoj.ac/submission/84012

JOISC21 ビーバーの会合 2 (Meetings 2)

我们发现奇数的时候一定为 \(1\)，偶数设为 \(2k\)，那么合法的点一定在一条路径上，路径端点 \(u,v\)，然后把路径给割开后，\(u,v\) 所在连通块的大小都 \(\ge k\)。于是我们考虑点分治，就好了。

https://qoj.ac/submission/85202

JOISC21 ボディーガード (Bodyguard)

我们考虑把它二维化，然后再变换一下坐标系（\((t,x)\) 变换成 \((x-t,x+t)\)），每个 VIP 的路径就变成了有一堆横向或纵向线段，然后我们相当于从一个起点出发，可以往下或往右走，然后走到线段上会有一个贡献。我们暴力把它离散化后扩成一个完整的网格图，然后 \(O(n^2)\) 做一次 DP，\(f(i,j)\) 表示从 \((i,j)\) 开始走的最大贡献和。规定一下，这里的坐标在平面直角坐标系上考虑，即向右 \(x\) 增大，向下 \(y\) 减小。

然后我们考虑如何从一个不在网格图上的格点的贡献。实际上，在非网格上走一定不优，所以我们实际上一定会先竖直地往下走，然后走到一个网格图上的线，然后走到向右的那个格点。或者先水平向右，走到一个网格线，再向下。

暴力 \(O(qn)\) 在原题恐怖的 25s 时限下是可能是可过的吧。不过这个显然可以优化。我们离线下来。先考虑向下走到格线。对于 \(i,i+1\) 两列之间的询问点，我们要求的是其实就是对于 \(j\) 所在列的真实坐标位于 \((x,y)\) 下面的 \(\max_{j} f_{i+1,j}+p_{x,y}w_{i,j}\)，其中 \(p\) 表示 \((x,y)\) 到第 \(i\) 列的距离，\(w_{i,j}\) 表示从离散化的网格的 \((i,j)\) 走到 \((i+1,j)\) 的单位时间的收受益。注意到相同 \(i\) 情况下 \(f\) 随着 \(j\) 递增而单调不降，于是实际上如果存在变大的 \(w\) 那原本 \(w\) 小的那个一定不优。我们单调栈维护凸壳，然后每次加入的时候额外把 \(w\) 更小的栈顶（栈中显然 \(w\) 单调）给弹掉即可。向右走到格线，本质相同，不再具体展开。