ARC160 题解

A - Reverse and Count

考虑从前往后考虑每一位是什么。对于 $i$ ，令 $j$ 表示目前枚举到的答案的 $q_i$ ，那么如果 $j=p_i$ ，那么满足 $q_i=j$ 的排列个数是后面的随便 swap，或者前面的单点 swap；否则就必须从后面把 $j$ swap 过来，只有一种方案。

复杂度 $O(n ^2)$ 。

https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41416098

B - Triple Pair

考虑枚举三者之间的等价关系。有一个严格最大值的时候，数量即 $3\sum_{x} \min(x-1,\lfloor\frac{N}{x}\rfloor)^2$ ；有恰好两个最大值的时候，数量即 $3\sum_{x} \min(x-1,\lfloor\frac{N}{x}\rfloor)$ ；三个都一样，暴力枚举即可。计算式子可以整出分块。

复杂度 $O(T\sqrt N)$ 。

https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41417286

C - Power Up

我们把所有操作排序，这样不同的操作可以唯一对应一个结果序列。考虑 DP。 $f(i,j)$ 表示只考虑前 $i$ 个，满足 $i$ 有 $j$ 个的方案数。转移枚举 $i$ 删多少个。 $\sum j$ 显然是 $O(n\log n)$ 的。

复杂度 $O(n\log n)$ 。

https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41418507

D - Mahjong

首先我们先进行横着删（即连续 $k$ 个数减一），再竖着删，保证每个点作为横着删的段尾的数量 $<k$ ，那么显然我们的合法数列和删除方案是可以一一对应的。于是我们对前面那个 $<k$ 的限制进行容斥，然后再插板，枚举横着删多少次，令 $m'=m/k$ ，可以得到

a n s = \sum_{i} (- 1)^{i} (\binom{n - k + 1}{i}) \sum_{j} (\binom{j - i + n - k}{n - k}) (\binom{m^{'} - j + n - 1}{n - 1}) = \sum_{i} (- 1)^{i} (\binom{n - k + 1}{i}) (\binom{m^{'} - i + 2 * n - k}{2 * n - k})

$ans=\sum_{i}(-1)^{i}\binom{n-k+1}{i}\sum_j \binom{j-i+n-k}{n-k}\binom{m'-j+n-1}{n-1} = \sum_{i} (-1)^i \binom{n-k+1}{i}\binom{m'-i+2*n-k}{2*n-k}$

https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41422157

E - Make Biconnected

首先每个叶节点一定要连边。而叶节点为偶数的情况，在题目的 $deg<3$ 条件下，一定存在一种方式使得它们能够匹配，且形成双连通分量：找到一个点 $r$ ，使得其三个儿子的子树中叶节点个数各不超过叶节点总数的一半，然后就可以匹配了。然后我们考虑奇数的情况，一定是会多一个点出来，然后这个点往上跳到第一个三度点形成一个路径，这个多出来的点可以与路径外的点连边形成双连通图。暴力枚举多出来的点即可。

https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41434636

F - Count Sorted Arrays

首先考虑做如下转化：对于排列，由于这题中的操作只与大小有关，于是我们把它转化成一组 $n$ 个二进制数，第 $i$ 个二进制数表示每一位上是否大于等于 $i$ ，于是一个排列转化成 $n$ 阶超立方体上的 $(0,...,0)$ 到 $(1,...,1)$ 的路径。而一个排列有序，当且仅当其所有二进制数有序，所以我们只需要维护交换对于二进制数的影响，然后再求一次路径数即可。我们可以每次求出每个二进制数是否合法，然后用它来暴力更新的话，总复杂度 $O(3^n)$ 。我们维护每个二进制数在经过这些变换之后会变成什么，然后每次 check 哪些变成了有序的状态。考虑维护集合 $V(x,y)$ 表示 $x$ 位置 $=1$ ， $y$ 位置 $=0$ 的所有二进制数，然后对于修改 $x,y$ 就暴力找 $V(x,y)$ 内部的点，然后暴力更新 $V(x,y)$ 。实际操作中不需要完全动态维护 $V(x,y)$ ，因为一次 $x,y$ 操作会把 $V(x,y)$ 清空，所以我们只需要维护加入，不用维护删除。