ARC160 题解
A - Reverse and Count
考虑从前往后考虑每一位是什么。对于 \(i\)，令 \(j\) 表示目前枚举到的答案的 \(q_i\)，那么如果 \(j=p_i\)，那么满足 \(q_i=j\) 的排列个数是后面的随便 swap，或者前面的单点 swap；否则就必须从后面把 \(j\) swap 过来，只有一种方案。
复杂度 \(O(n ^2)\)。
https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41416098
B - Triple Pair
考虑枚举三者之间的等价关系。有一个严格最大值的时候，数量即 \(3\sum_{x} \min(x-1,\lfloor\frac{N}{x}\rfloor)^2\)；有恰好两个最大值的时候，数量即 \(3\sum_{x} \min(x-1,\lfloor\frac{N}{x}\rfloor)\)；三个都一样，暴力枚举即可。计算式子可以整出分块。
复杂度 \(O(T\sqrt N)\)。
https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41417286
C - Power Up
我们把所有操作排序，这样不同的操作可以唯一对应一个结果序列。考虑 DP。\(f(i,j)\) 表示只考虑前 \(i\) 个，满足 \(i\) 有 \(j\) 个的方案数。转移枚举 \(i\) 删多少个。\(\sum j\) 显然是 \(O(n\log n)\) 的。
复杂度 \(O(n\log n)\)。
https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41418507
D - Mahjong
首先我们先进行横着删（即连续 \(k\) 个数减一），再竖着删，保证每个点作为横着删的段尾的数量 \(<k\)，那么显然我们的合法数列和删除方案是可以一一对应的。于是我们对前面那个 \(<k\) 的限制进行容斥，然后再插板，枚举横着删多少次，令 \(m'=m/k\)，可以得到
https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41422157
E - Make Biconnected
首先每个叶节点一定要连边。而叶节点为偶数的情况，在题目的 \(deg<3\) 条件下，一定存在一种方式使得它们能够匹配，且形成双连通分量：找到一个点 \(r\)，使得其三个儿子的子树中叶节点个数各不超过叶节点总数的一半，然后就可以匹配了。然后我们考虑奇数的情况，一定是会多一个点出来，然后这个点往上跳到第一个三度点形成一个路径，这个多出来的点可以与路径外的点连边形成双连通图。暴力枚举多出来的点即可。
https://atcoder.jp/contests/arc160/submissions/41434636
F - Count Sorted Arrays
首先考虑做如下转化：对于排列，由于这题中的操作只与大小有关，于是我们把它转化成一组 \(n\) 个二进制数，第 \(i\) 个二进制数表示每一位上是否大于等于 \(i\)，于是一个排列转化成 \(n\) 阶超立方体上的 \((0,...,0)\) 到 \((1,...,1)\) 的路径。而一个排列有序，当且仅当其所有二进制数有序，所以我们只需要维护交换对于二进制数的影响，然后再求一次路径数即可。我们可以每次求出每个二进制数是否合法，然后用它来暴力更新的话，总复杂度 \(O(3^n)\)。我们维护每个二进制数在经过这些变换之后会变成什么，然后每次 check 哪些变成了有序的状态。考虑维护集合 \(V(x,y)\) 表示 \(x\) 位置 \(=1\)，\(y\) 位置 \(=0\) 的所有二进制数，然后对于修改 \(x,y\) 就暴力找 \(V(x,y)\) 内部的点，然后暴力更新 \(V(x,y)\)。实际操作中不需要完全动态维护 \(V(x,y)\)，因为一次 \(x,y\) 操作会把 \(V(x,y)\) 清空，所以我们只需要维护加入，不用维护删除。
