JOISC2019 時をかけるビ太郎 / Bitaro, who Leaps through Time / 穿越时空 Bitaro
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首先全部变换成 \([l_i-i-1,r_i-i-1]\)。然后相当于就是对于一个初始的 $a $，然后我们不断做 \(a=\max (a,l)\)，\(a=\min(a,r)\)，其中后者对答案会产生贡献。
考虑做一个信息的合并。对于两个相交的区间，我们发现它和这两个区间的交是等价的。而对于两个不交的区间 \(P_1,P_2\)，我们依次走过 \(P_1,P_2\)，我们发现无论我们从哪里开始走，经过这两个区间后得到的 \(x'\) 都和初始的 \(x\) 无关。而我们从初始往右走，在走到第一次区间无交集前，\(a\) 的贡献一定可以用一个 \(\max(0,a-x)\) 表示；走到第一次区间无交集之后，贡献就固定下来了。所以我们考虑记录在第一次遇到无交集前的 \(x\) 以及最后会从哪里出去 \(y\)。
我们考虑如何去描述这样的信息。我们可以敏锐地观察到，这样的信息是满足结合率的！所以对于链上的一个区间 \([x,y]\)，区间 \([l_x,r_x],[l_{x+1},r_{x+1}],\dots,[l_{y,r_y}]\) 合并出来的结果只有两种：
- 这些区间存在一个交集。于是我们记录这些区间的交集，记其为 \((A,x,y)\)。
- 这些区间不存在交集。于是我们记录第一次无交集前的 \(x=\min(r)\)，以及最后会从哪来出去 \(y\)，以及第一次无交集之后的贡献 \(z\)，记其为 \((B,x,y,z)\)。
我们定义一个函数 \(f(a,S)\)，其中 \(S\) 为 \(A\) 或 \(B\) 类型，返回对于初始的 \(a\)，经过 \(S\) 之后的位置。同理 \(g(a,S)\) 表示贡献。
现在考虑这些信息的合并：
- \(A_l+A_r\)
- \(x_r\le y_l\) 时，结果为 \((A,x_r,y_l)\)；
- \(y_l\le x_r\) 时，结果为 \((B,y_l,x_r,0)\)；
- \(y_r\le x_l\) 时，结果为 \((B,x_l,y_r,x_l-y_r)\)。
- \(B_l+B_r=(B,x_l,f(y_l,B_r),g(y_l,B_r)+z_l+z_r)\)。
- \(B_l+A_r=(B,x_l,f(y_l,A_r),g(y_l,A_r)+z_l)\)。
- \(A_l+B_r\)
- \(y _l\le x_r\) 时，结果为 \((B,y_l,y_r,z_r)\)。
- \(x_r\le x_l\) 时，结果为 \((B,x_l,y_r,x_l-x_r+z_r)\)。
- 否则，结果为 \(B_r\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define fi first
#define se second
#define eb emplace_back
#define popc __builtin_popcount
#define sgn(x) ((x)&1?-1:1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<pii> vp;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
int read() {
int x=0,w=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
while(isdigit(c)) {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
return x*w;
}
const int N=3e5+9,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,al[N],ar[N],yl[N],yr[N],a[N],b[N],c[N],d[N],t[N],ans[N];
struct Nod {
int x,y,z; //!~z => A, ~z => B
Nod(int _x=0,int _y=inf,int _z=-1) {x=_x,y=_y,z=_z;}
int f(int a) {return ~z?y:(a<=x?x:(a>=y?y:a));}
int g(int a) {return ~z?(a<=x?z:z+a-x):(a<=y?0:a-y);}
};
Nod operator + (Nod l,Nod r) {
if((~l.z)&&(~r.z)) return Nod(l.x,r.y,l.z+r.g(l.y));
else if(~l.z) return Nod(l.x,r.f(l.y),l.z+r.g(l.y));
else if(~r.z) return l.y<=r.x?Nod(l.y,r.y,r.z):(r.x<=l.x?Nod(l.x,r.y,l.x-r.x+r.z):r);
else return l.y<=r.x?Nod(l.y,r.x,0):(r.y<=l.x?Nod(l.x,r.y,l.x-r.y):Nod(max(l.x,r.x),min(l.y,r.y),-1));
}
namespace SegT {
int ls[N<<1],rs[N<<1],tot; Nod s[N<<1];
void build(int p,int l,int r) {
if(l==r) {s[p]=Nod(al[l],ar[l],-1); return;} int mid=l+r>>1;
build(ls[p]=++tot,l,mid), build(rs[p]=++tot,mid+1,r); s[p]=s[ls[p]]+s[rs[p]];
}
void mdf(int p,int l,int r,int x) {
if(l==r) {s[p]=Nod(al[l],ar[l],-1); return;} int mid=l+r>>1;
if(x<=mid) mdf(ls[p],l,mid,x); else mdf(rs[p],mid+1,r,x); s[p]=s[ls[p]]+s[rs[p]];
}
Nod qry(int p,int l,int r,int x,int y) {
if(x>y) return Nod();
if(l==x&&r==y) return s[p]; int mid=l+r>>1;
if(y<=mid) return qry(ls[p],l,mid,x,y);
else if(x>mid) return qry(rs[p],mid+1,r,x,y);
else return qry(ls[p],l,mid,x,mid)+qry(rs[p],mid+1,r,mid+1,y);
}
void init() {tot=1; build(1,1,n-1);}
void update(int x) {mdf(1,1,n-1,x);}
int query(int u,int tu,int v,int tv) {
tu-=u, tv-=v;
Nod s=qry(1,1,n-1,u,v-1);
int p=s.f(tu), w=s.g(tu);
return max(0ll,p-tv)+w;
}
}
void work() {
rep(i,1,n-1) al[i]=yl[i]-i, ar[i]=yr[i]-i-1;
SegT::init();
rep(i,1,m) {
if(t[i]==1) al[a[i]]=b[i]-a[i], ar[a[i]]=c[i]-a[i]-1, SegT::update(a[i]);
else if(a[i]<=c[i]) ans[i]=SegT::query(a[i],b[i],c[i],d[i]);
}
}
signed main() {
n=read(), m=read();
rep(i,1,n-1) yl[i]=read(), yr[i]=read();
rep(i,1,m) {
t[i]=read();
if(t[i]==1) a[i]=read(), b[i]=read(), c[i]=read();
else a[i]=read(), b[i]=read(), c[i]=read(), d[i]=read();
}
if(n==1) {
rep(i,1,m) printf("%lld\n",max(0ll,b[i]-d[i]));
return 0;
}
work();
reverse(yl+1,yl+n), reverse(yr+1,yr+n);
rep(i,1,m) if(t[i]==1) a[i]=n-a[i];
rep(i,1,m) if(t[i]==2) a[i]=n-a[i]+1, c[i]=n-c[i]+1;
work();
rep(i,1,m) if(t[i]==2) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
