NOIp前做题记录

CSP2021

A 廊桥分配

考场上做出来了。比较简单，但是考场上脑抽了好久。

用一个 set 增量维护第 \(i\) 个飞机来后要全部填满的廊桥数，然后随便统计一下即可。

https://loj.ac/s/1281530

B 括号序列

我设计了一个比较复杂的状态，但是实际上感觉很清晰。\(f(i,j,0/1/2/3/4)\) 代表 \([i,j]\) 区间样式分别为 *...*，*...*A，A*...*，(...) 和 A 的一个字符串（*...* 代表一段 *，... 代表一段任意字符串但是满足内部括号匹配，A 是一个合法串）。

https://loj.ac/s/1281526

C 回文

实际上挺简单的。考虑你提取出第一个字符（两种情况，头或者尾）后序列分成两端，于是就可以把这两段用两个双端队列维护，每次贪心考虑取头还是取尾。

https://loj.ac/s/1288236

D 交通规划

待补。

BJOI2015 树的同构

树哈希板子题。随便设一个哈希：子节点有序的情况下的有根树的一个子树的哈希为（设 \(sz_u\) 为目前的一个前缀 \(sz_v\) 的和）

\[h(u)=B\times d(u)+\sum_v h(v)\times B^{sz_u} \]

对于处理有序问题，考虑给子节点按照哈希值排序即可；对于根的问题，取重心即可（两个话就都求一下）。

https://hydro.ac/d/bzoj/record/617caee363b6465eb4e5811b

BJOI2015 糖果

答案为

\[\binom{m+k-1}{m}^{\underline{n}} \]

那如何计算组合数膜合数呢？

\[\binom{m+k-1}{m} = \frac{1}{m!} \prod_{i=1}^{m} (m+k-i) \]

处理一下 \(m!\) 的分解质因数。没了。

SCOI2015 小凸玩矩阵

Binary search 一下，然后就是一个套路行列匹配。

https://loj.ac/s/1294409

方伯伯的 OJ

用两个 map 建立用户的原编号和现编号的双重映射，然后用一个线段树维护排名即可。

https://loj.ac/s/1294649

JOISC2018 比太郎的聚会

首先考虑一个 \(O(n^2)\) 的显然做法，对于每一个点维护一个序列 \(S\) 表示自己的前驱中按到自己距离的一个排序，然后询问的时候扫一遍。

实际上，对于询问 \(i\)，只有前 \(T_i+1\) 个是有用的。考虑根号分治。对于每个点，我们只保存前 \(B\) 个值，然后对于 \(T_i<B\) 的问询扫一遍即可。而对于 \(>B\) 的问询，我们暴力更新一遍，令 \(P=\sum T\) 有复杂度 \(O((n+Q)B+n\frac{P}{B})\)，取 \(B=\sqrt{\frac{n\sum T}{n+Q}}\) 可得到理论最优复杂度 \(O(\sqrt{n(n+Q)P})\)。不过第一部分常数巨大，所以快长开小一点好。

https://loj.ac/s/1299147

HNOI2016 网络

考虑把一个请求路径变成其补子图（即整个树去掉这段路径），在树剖后会形成 \(O(\log n)\) 个区间。然后询问相当于一个树上点询问，即点上覆盖的补子图的最大权值。由于它是一个加入和回撤（删除）操作，考虑线段树上套一个可删堆（用两个优先队列维护的）。由于这题的删除时回撤操作，所以其实线段树可以简单很多。

https://loj.ac/s/1301150

HNOI2016 大数

考虑一段区间数的表示，用后缀和，然后如果 \(p\neq 2,5\) 就直接莫队，否则直接算。

A2OJ Ladder 题板刷

\(\color{blue}{蓝色}\) 自己攻克了的的简单题；\(\color{green}{绿色}\) 自己攻克了的稍复杂题；\(\color{pink}{粉色}\) 自己没攻克的简单题；\(\color{purple}{紫色}\) 自己没攻克的复杂题，\(*\) 表示感觉相对有趣的题（数量决定程度）。

\(\color{pink}{\text{*CF248D}}\)

给定一个一维地图，\(H\) 表示一户人家（遇到可以送糖果或者不送），\(S\) 表示一个糖果（遇到可以捡起或者不捡），\(.\) 表示空地，走过一格需要一单位时间。问从第一格左边开始，最少提前准备多少糖果才能在 \(t\) 时间内给每户人家都有一份糖果。

先上 binary search。

Observation：糖一定捡，并且一定送。

但是我一开始想的直接来回是错的。因为还有一种情况，拿到糖先回去送人然后再往后走。

这种情况可以这样理解：我先把糖欠着，然后一旦糖够了立马还回来。可以发现这样的决策在决定走 S 形（去+回+去）的方法上是最优的。

当然你也可以不还。但实际上，一旦你在第 \(i\) 户做出决定要全部赖账然后跑回来再还，那你就在之后不可能再做上述决定了。所以我们在按上述决策跑的同时，每一步都看一下，如果剩下的要跑过去然后跑回来要花多少时间。每次最远到达的那个点必然是固定的，所以求出来后直接做就好了。

https://codeforces.com/contest/248/submission/134194983

\(\color{blue}{\text{CF237D}}\)

这题属于是把做法写脸上了。给每条边分配一个集合，集合内就边的两个端点，然后用类似兄弟儿子的东西连边即可。

https://codeforces.com/contest/237/submission/134198693

\(\color{blue}{\text{CF209C}}\)

考虑处理每个连通块。忽略那些孤点无边连通块。如果连通块中存在奇点，则留两个奇点可以向外面连，其他奇点就随便和连通块内点自我消化。这样我们就得到了 \(k\) 个连通块，希望把这 \(k\) 个连通块连起来使得每个连通块度数都为 \(2\)。连一个环即可。

还有 1 一定要连上就算 1 是孤立的。

https://codeforces.com/contest/209/submission/134201806

\(\color{pink}{\text{CF144E}}\)

只要配上那必然能够形成不相交路径。然后就是一个贪心的区间匹配问题了。

对于如何处理区间匹配，我们考虑对于每一个位置维护所有覆盖它的区间，以右端点为关键字塞入堆中，然后每次选择右端点最小的区间即可。

https://codeforces.com/contest/144/submission/134219867

\(\color{pink}{**\text{CF150D}}\)

感觉好强。

\(f(l,r)\) 表示区间 \([l,r]\) 全部删完的最大价值。\(h(l,r)\) 表示区间 \([l,r]\) 不需要全部删完的最大价值。\(g(l,r,k)\) 表示区间 \([l,r]\) 删到只剩下一个长 \(k\) 的回文串的价值。

\[f(l,r)=\max g(l,r,k)+a_k\\ h(l,r)=\max f(l,r),h(l,k-1)+h(k+1,r)\\ g(l,r,k)=\max f(l,p-1)+g(p,r,k), f(p+1,r)+g(l,p,k), [s_l=s_r]g(l+1,r-1,k-1)\\ \]

初值有

\[g(x,x,1)=0\\ g(x,x,0)=a_1\\ f(l,r)=h(l,r)=g(l,r,0)=0\quad (l>r)\\ \]

其余为 \(-\inf\)

被卡常了 /fn

https://codeforces.com/contest/150/submission/134637277

\(\color{pink}{*CF404E}\)

Observation 1：如果存在两块石头同侧，则必然远的那块是没有意义的。所以每一侧最多有一块石头。然而，如果原点两侧都必须要有石头，则中间的所有点都一定会被经过（否则有一块石头无意义），即不存在只经过一次的终点。所以只能有一块石头（没有石头也可能可以）。

Observation 2：最后一步一定有效，所以如果最后一步是 L 则终点一定在原点左侧；否则在右侧。

Observation 3：如果在 \(x\) 放可以，则更靠近原点的同侧点 \(y\) 也可以。所以有单调性。Go and use binary search.

然后这题就结束了。

但是巨大多 corner case……………………

https://codeforces.com/contest/404/submission/134724547

\(\color{blue}{CF309C}\)

如果要放的话，肯定是放小的几个。但是放的时候必然是先考虑大的怎么放，于是二分一下，然后从大往小考虑。

至于从大到小做的时候就先给所有数二进制拆分，然后直接贪即可。

https://codeforces.com/contest/309/submission/134730847