组合计数学习笔记1

P1450 [HAOI2008]硬币购物

多组问询。每次 \(c_i\) 相同，给定 \(d_i,s\)，求满足 \(0\le x_i\le d_i\) 且 \(\sum_{i=1}^{4} x_ic_i=S\) 的 \(x\) 的方案数。

考虑容斥。我们假设 \(f_i\) 表示不受限制时，和为 \(i\) 的方案数。那么我们容斥哪些物品一定超额使用。

\[ans=\sum_{s\subset \{1,2,3,4\}} (-1)^{|s|} f_{(S-\sum_{i\in s}c_i(d_i+1))} \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=1e5+9;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int Q,n=4,ss=15,c[5],d[5],S,f[N];

bool get(int s,int i) {return s&(1<<i-1);}

signed main() {
	rep(i,1,n) c[i]=read();
	Q=read();
	f[0]=1;
	rep(i,1,n) rep(j,c[i],100000) f[j]+=f[j-c[i]];
	while(Q--) {
		rep(i,1,n) d[i]=read();
		S=read();
		int ans=0;
		rep(s,0,ss) {
			int popc=0,w=0,res=0,tS=S;
			rep(i,1,n) if(get(s,i)) {
				popc++;
				tS-=c[i]*(d[i]+1);
			}
			res=(tS<0?0:f[tS]), w=(popc%2?-1:1);
			ans+=res*w;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

P3158 [CQOI2011]放棋子

\(n\times m\) 的棋盘，有 \(c\) 种不同颜色的棋子，每种颜色的棋子有 \(a_i\) 个。棋子不能叠放，且每行每列的所有棋子颜色必须相同。问方案数。

考虑 DP。\(f(i,j,k)\) 表示对于前 \(i\) 种颜色的棋子，放了 \(j\times k\) 大小的的棋盘格。转移觉得要枚举第 \(i\) 类棋子占了多少格子，设其占了 \(x\) 行 \(y\) 列。贡献很难算。所以我们要求 \(g(i,j,k)\) 表示 \(i\) 枚同色棋子占了 \(j\) 行 \(k\) 列（也可以理解成 \(j\times k\) 的棋盘格）。我们按行考虑。我们转移时枚举第 \(j+1\) 行放置了多少枚棋子，且有多少枚棋子原本就在 \(j\times k\) 的格子中。我们设前者为 \(x\)，后者为 \(y\)，则有

\[g(i+x,j+1,k+x-y) \leftarrow \binom{k}{y} \binom{k+x-y}{k} g(i,j,k) \]

于是我们 \(f\) 就有转移

\[f(i+1,j+x,k+y) \leftarrow \binom{j+x}{x} \binom{k+y}{y} f(i,j,k) g(a_{i+1},x,y) \]

最后我们就可以计算答案

\[ans=\sum_j \sum_k \binom{n}{j} \binom{m}{k} f_{c,j,k} \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=69,mod=1e9+9;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int fac[N], inv[N], ifac[N];
void pre(int mn=30) {
    inv[0]=inv[1]=fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=mn;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<=mn;i++) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(int i=1;i<=mn;i++) ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int x,int y) {
    if(x<0||y<0||x<y) return 0;
    else return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod;
}
void add(int &x,int y) {(x+=y)%=mod;}

int n,m,c,a[N],g[909][N][N],f[N][N][N];

signed main() {
	n=read(), m=read(), c=read();
	int mx=0;
	rep(i,1,c) a[i]=read(), mx=max(mx,a[i]);
	pre();
	g[0][0][0]=1;
	rep(i,0,mx) rep(j,0,n-1) rep(k,0,m) if(g[i][j][k]) {
		rep(x,1,m) rep(y,0,min(x,k)) {
			if(k+x-y>m) continue;
			add(g[i+x][j+1][k+x-y],C(k,y)*C(k+x-y,k)%mod*g[i][j][k]%mod);
		}
	}
	f[0][0][0]=1;
	rep(i,0,c-1) rep(j,0,n) rep(k,0,m) if(f[i][j][k]) {
		rep(x,1,n-j) rep(y,1,m-k) {
			add(f[i+1][j+x][k+y],C(j+x,x)*C(k+y,y)%mod*f[i][j][k]%mod*g[a[i+1]][x][y]%mod);
		}
	}
	int ans=0;
	rep(j,1,n) rep(k,1,m) add(ans,C(n,j)*C(m,k)%mod*f[c][j][k]%mod);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

后记：你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！你不要写错模数啊喂！

P3349 [ZJOI2016]小星星

暴力状压的话由于枚举子集所以 \(O(3^nn^3)\)。DP 为 \(f(u,i,S)\) 表示 \(u\) 子树内，树点 \(u\) 对应图点 \(i\)，图点使用状态为 \(S\)。

考虑容斥。我们要求做到树点和图点一一对应，即最终所有的图点都被使用了。我们用容斥优化的时候考虑丢掉状压的 \(S\) 维度，容斥哪些点一定不使用，设其状态为 \(S\)。于是我们有

\[f_S(u,i)=\prod_{v\in son_u} \sum_{(i,j)\in E_G} f_{S}(v,j)\\ ans=\sum_{S\subset V_G} (-1)^{|S|} \sum_{i\not\in S} f_{S}(1,i) \]

复杂度 \(O(2^nn^3)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=19;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,f[N][N];
vector<int>G[N],T[N];

bool get(int s,int i) {return s&(1<<i-1);}
void dfs(int u,int fa,int s) {
	for(auto v:T[u]) if(v!=fa) dfs(v,u,s);
	rep(i,1,n) f[u][i]=!get(s,i);
	rep(i,1,n) if(!get(s,i)) {
		for(auto v:T[u]) if(v!=fa) {
			int res=0;
			for(auto j:G[i]) if(!get(s,j)) res+=f[v][j];
			f[u][i]*=res;
		}
	}
}

signed main() {
	n=read(), m=read();
	rep(i,1,m) {
		int u=read(), v=read();
		G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
	}
	rep(i,2,n) {
		int u=read(), v=read();
		T[u].push_back(v), T[v].push_back(u);
	}
	int S=(1<<n)-1,ans=0;
	rep(s,0,S) {
		int w=1,res=0;
		dfs(1,0,s);
		rep(i,1,n) {
			if(get(s,i)) w=-w;
			else res+=f[1][i];
		}
		ans+=w*res;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

P3214 [HNOI2011]卡农

卡农好听！！这出题人怕不是不会乐理！！

有 \(n\) 个不同元素，一个片段是一个包含任意多个元素的不可重非空集合。问有多少种由 \(m\) 片段组成的的不可重集合，使得集合中每个元素出现次数为偶数。

神仙题。

Trick1：有序集合更加方便，于是我们将无序集转化为有序集，最终除以 \(m!\) 就行了。
Trick2：补集转换。

同样是 DP。\(f(i)\) 表示 \(i\) 个片段组成的合法集合数。首先考虑总数。我们发现如果任意确定了 \(i-1\) 个不可重片段，那么第 \(i\) 个片段也就随之确定了。这解决了偶数的问题。所以（满足偶数条件以及前 \(i-1\) 不可重的条件）总数为 \(A_{2^n-1}^{i-1}\)。

由两个可能不满足的条件，片段不同以及片段非空。考虑存在片段相同的情况，由于前 \(i-1\) 不可重，那么一定是第 \(i\) 个和之前的有重复，由于减去两个相同的片段后总数还是偶数，并且我们重复的片段有 \(2^n-1-(i-2)\) 种，所以这部分答案为 \((i-1)(2^n-i+1)f(i-2)\)；考虑片段非空的情况，由于前 \(i-1\) 非空，那么一定是第 \(i\) 个是空片段，所以这部分答案为 \(f(i-1)\)。

\[f(0)=1\\ f(1)=0\\ f(i)=A_{2^n-1}^{i-1}-f(i-1)-(i-1)(2^n-i+1)f(i-2) \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=1e6+9,mod=1e8+7;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,a[N],f[N];

int ksm(int x,int y) {
	if(y==0) return 1;
	else return ksm(x*x%mod,y/2)*(y%2?x:1)%mod;
}

signed main() {
	n=read(), m=read();
	int s=ksm(2,n);
	a[0]=1, f[0]=1, f[1]=0;
	rep(i,1,m) a[i]=a[i-1]*(s-i)%mod;
	rep(i,1,m) f[i]=(a[i-1]-f[i-1]-(i-1)*(s-i+1)%mod*f[i-2]%mod)%mod;
	f[m]=(f[m]+mod)%mod;
	rep(i,1,m) f[m]=f[m]*ksm(i,mod-2)%mod;
	printf("%lld\n",f[m]);
	return 0;
}

P6672 [清华集训2016] 你的生命已如风中残烛

有 \(m\) 张不同的牌，其中有 \(n\) 张牌上有正整数 \(w\)（满足 \(\sum w=m\)），另有 \(m-n\) 上有 0。问有多少种排列方法，使得 \(\forall i\in[1,m] \sum w_{j=1}^{i}\ge i\)。

神仙题。

Trick1 如果每个 \(w\) 都减去 \(1\)，那么我们只需要保证前缀和非负。这样每个 \(i\) 的约束限制就一样了。

然后就是 Raney 定理。参考具体数学中的处理方法。因为不能保证每次1都在前面，于是我们数列取反然后再前面加上1，此时有 \(m-n+1\) 个 \(1\)。

于是 \(ans=\frac{m!}{m-n+1}\)。

https://www.luogu.com.cn/blog/forever-captain/solution-p6672

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int mod=998244353;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

signed main() {
    int n=read(),m=0,ans=1;
    rep(i,1,n) m+=read();
    rep(i,2,m) ans=ans*(i==m-n+1?1:i)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

P2606 [ZJOI2010]排列计数

很水的一道题。可以转化为一棵完全二叉树的满足小根堆性质的标号排列数量。考虑树形 DP \(f(u)\) 表示 \(u\) 子树内的答案。转移时可以首先确定 \(u\) 一定是最小的 \(1\)，然后我们把剩下的几个随便分配给左右子树，然后让左右子树来安排这些标号的排列。

\[f(u)=\binom{sz_l+sz_r}{sz_l} f(l) f(r) \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=2e6+9;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int n,mod,sz[N],f[N],fac[N],inv[N],ifac[N];

void pre() {
    inv[0]=inv[1]=fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int x,int y) {
    if(x<0||y<0||x<y) return 0;
    else return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod;
}

void dfs(int u) {
	if(u>n) return f[u]=1,void();
	dfs(u*2),dfs(u*2+1);
	sz[u]=sz[u*2]+sz[u*2+1]+1;
	f[u]=C(sz[u*2]+sz[u*2+1],sz[u*2])*f[u*2]%mod*f[u*2+1]%mod;
}

signed main() {
	n=read(), mod=read();
	pre();
	dfs(1);
	printf("%lld\n",f[1]);
	return 0;
} 

P3244 [HNOI2015]落忆枫音

给定一个 DAG，问添加了一条单向边 \((x,y)\) 后，有多少叶向生成树。

考虑不管加入的边，答案危

\[\prod_{i=2}^n deg^{in}_i \]

每个点都选择一个父亲，乘起来。

然后我们加了一条边。现在我们连成的可能形成了环。于是我们不能要这种情况。我们考虑补集转换。对于一个环 \(S\)，满足选择了 \(S\) 的方案数为 \(\prod u\not\in S deg^{in}_u\)，即环上的点指定父亲为环上的点，其他点随意选择。

所以答案是

\[ans=\prod_{u=2}^n deg^{in}_u - \sum_S \frac{\prod_{u=1}^n deg^{in}_u}{\prod_{u\in S} deg^{in}_u} \]

设

\[f_u=\sum_{s\in {u\to x}} \frac{\prod deg(i)}{\prod deg_{s_i}} \]

则有答案为 \(-dp_x+\prod deg(i)\)，初始值有 \(dp_y=\frac{\prod deg(i)}{deg_y}\)

转移有

\[f_u=\frac{1}{deg_u}\sum_{v\to u} f_v \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=200009,mod=1e9+7;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int ksm(int x,int y) {
	if(y==0) return 1;
	else return ksm(x*x%mod,y/2)*(y%2?x:1)%mod; 
}

int n,m,x,y,deg[N],f[N],prod=1,ans=1;
vector<int>fr[N];
bool vst[N];

void dfs(int u) {
	if(vst[u]) return; vst[u]=1;
	if(u==y) {f[u]=prod*ksm(deg[u],mod-2); return;}
	for(auto v:fr[u]) dfs(v);
	for(auto v:fr[u]) f[u]=(f[u]+f[v])%mod;
	f[u]=f[u]*ksm(deg[u],mod-2)%mod;
}

signed main() {
	n=read(), m=read(), x=read(), y=read();
	rep(i,1,m) {
		int u=read(), v=read();
		fr[v].push_back(u), deg[v]++;
	}
	deg[1]++;
	rep(i,1,n) {
		prod=(prod*deg[i])%mod,
		ans=(ans*(deg[i]+(i==y)))%mod;
	}
	dfs(x);
	printf("%lld\n",(ans-f[x]+mod)%mod);
	return 0;
}

P3643 [APIO2016]划艇

求有多少个数列 \(c_N\) ，对于每个非零位置 \(c_i\) 满足

• \(c_i=0\)
• \(a_i\le c_i\le b_i\)\
• \(c_i>c_{上一个非零位置}\)

sub1：\(a_i=b_i\)，直接 check 是否满足 \(a_i>a_{i-1}\)，如果是那么1个，否则0个
sub2：\(\sum_{b_i-a_i}\le 10^6\)，考虑 DP \(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 个数且第 \(i\) 个数为 \(a_i+j\)。用vector存DP数组。应该不简单。

现在考虑优化这个DP。可以考虑离散化。我们把所有的 \([a_i,b_i]\) 区间离散化成 \(O(n)\) 个端点，形成 \(O(n)\) 个区间。\(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 个数，第 \(i\) 个数非零且在第 \(j\) 个区间内。我们 DP 的时候枚举上一个区间，以及出现在上一个区间的最后一个数是哪个。于是我们现在要计算在第 \(j\) 个区间内，有 \(m\) 个数且第 \(i\) 个数不为 0 的方案数。显然我们能得到，设有 \(m\) 数满足条件，则其贡献为 \(\binom{len+m-1}{m}\)。

所以有 DP 方程

\[f(i,j)=\sum_{k=1}^{j-1} \sum_{p=0}^{i-1} \binom{len_j-m+1}{m} f_{p,k} \]

由于这个 \(k\) 和组合数没有关系，考虑把 k 的求和以到组合数后面去，然后就可以前缀和优化

\[f(i,j)=\sum_{p=0}^{i-1}\binom{len_j+m-1}{m} s_{p,j-1} \]

组合数不能直接贺板子，很不好，还需要吸收恒等式硬搞。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=1009,mod=1e9+7;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int n,inv[N],l[N],r[N],p[N],li[N],ri[N],len[N],cnt,c[N],f[N][N],s[N];

void pre() {
    inv[0]=inv[1]=1;
    rep(i,2,1000) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}

struct node {int id,val,lr;} b[N];
bool cmp(const node &x,const node &y) {return x.val<y.val;}
void discrete() {
	rep(i,1,n)
		b[i*2-1]=(node){i,l[i],0}, b[i*2]=(node){i,r[i],1};
	sort(b+1,b+2*n+1,cmp);
	rep(i,1,2*n) {
		if(b[i].val!=b[i-1].val) cnt++;
		if(b[i].lr) ri[b[i].id]=cnt;
		else li[b[i].id]=cnt;
		p[cnt]=b[i].val;
	} 
}

signed main() {
	n=read();
	pre();
	rep(i,1,n) l[i]=read(), r[i]=read(), r[i]++;
	discrete();
	rep(i,1,cnt-1) len[i]=p[i+1]-p[i];
	s[0]=1;
	rep(j,1,cnt-1) {
		c[0]=1;
		rep(i,1,n) c[i]=c[i-1]*(len[j]+i-1)%mod*inv[i]%mod;
		per(i,n,1) if(li[i]<=j&&j<ri[i]) {
			int m=1,cur=len[j];
			per(p,i-1,0) {
				f[i][j]=(f[i][j]+cur*s[p]%mod)%mod;
				if(li[p]<=j&&j+1<=ri[p]) cur=c[++m];
			}
			s[i]=(s[i]+f[i][j])%mod;
		}
	}
	int ans=0;
	rep(i,1,n) ans=(ans+s[i])%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

P3228 [HNOI2013]数列

对于20%数据，可以DP \(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 天且第 \(i\) 天为 \(j\) 的方案数。卡卡常应该能过去。

正解要一个trick考虑差分序列的情况。显然知道差分序列和 \(a_1\) 就可以唯一确定整个序列。一共有 \(m^{k-1}\) 种差分序列/假如确定了差分序列 \(d\)，则 \(a_1\) 有

\[f(d)=n-\sum_i d_i \]

种可能性

于是题目中求得即

\[ans=\sum_d f(d)\\ =\sum_d (n-\sum_{i=1}^{k-1} d_i)\\ = m^{k-1}n-\sum_{i=1}^{k-1}\sum_{d} d_i\\ \]

令 \(c_i\) 为 \(i\) 在所有可能的差分序列中所出现的次数，有

\[ans=m^{k-1}n-\sum_{i=1}^{m} i c_i \]

由于每一个数分布概率均匀，所以 \(c_i\) 都是相等的。所以设出现次数为 \(c\)，有

\[c=m^{k-1}\times \frac{k-1}{m}\\ ans=m^{k-1}n-c\sum_{i=1}^{m} i\\ = m^{k-1}n-m^{k-2}\times (k-1) \times \frac{m(m+1)}{2} \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int n,k,m,p;

int ksm(int x,int y) {
	if(y==0) return 1;
	else return ksm(x*x%p,y/2)*(y%2?x:1)%p;
}

signed main() {
	n=read(), k=read(), m=read(), p=read();
	n%=p;
	int c=ksm(m,k-2)*(k-1)%p;
	int ans=ksm(m,k-1)*n%p;
	ans-=c*((m+1)*m/2%p)%p;
	printf("%lld\n",(ans+p)%p);
	return 0;
}

P4071 [SDOI2016]排列计数

连我都能一眼看出答案的sb题。设错排数 \(f_n\)，则有

\[ans=\binom{n}{m} f_{n-m} \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=1e6+9,mod=1e9+7;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int f[N],fac[N], inv[N], ifac[N];
void pre(int n) {
    inv[0]=inv[1]=fac[0]=ifac[0]=f[0]=f[2]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%mod;
    for(int i=3;i<=n;i++) f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%mod;
}
int C(int x,int y) {
    if(x<0||y<0||x<y) return 0;
    else return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod;
}

signed main() {
	int T=read();
	pre(1000000);
	while(T--) {
		int n=read(), m=read();
		printf("%lld\n",C(n,m)*f[n-m]%mod);
	}
	return 0;
}

P1350 车的放置

还是连我都能做出来的sbt。

首先考虑 \((a+c)\times d\) 的长方形，易得答案

\[ans=k!\binom{a+c}{k} \binom{d}{k} \]

然后考虑假如这个上方的长方形，我们枚举其中有几个车，易得答案

\[ans=\sum_{i=0}^{k} i! \binom{a}{i} \binom{b}{i} (k-i)!\binom{a+c-i}{k-i} \binom{d}{k-i} \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int N=2009,mod=1e5+3;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int a,b,c,d,k,fac[N],inv[N],ifac[N],ans;
void pre(int n) {
    inv[0]=inv[1]=fac[0]=ifac[0]=1;
    rep(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    rep(i,2,n) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    rep(i,1,n) ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int x,int y) {
    if(x<0||y<0||x<y) return 0;
    else return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod;
}

signed main() {
	a=read(), b=read(), c=read(), d=read(), k=read();
	pre(2000);
	rep(i,0,k) {
		int res=C(a,i)*C(b,i)%mod*C(a+c-i,k-i)%mod*C(d,k-i)%mod*fac[i]%mod*fac[k-i]%mod;
		ans=(ans+res)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

P3166 [CQOI2014]数三角形

还是小清新组合数题。

我们考虑补集转换。随便选3个点-横着共线-竖着共线-斜着共线，其中斜着要枚举向量 \(\vec{AC}=(x,y)\)。

我们为了方便让 \(n:=n+1, m:=m+1\)，即 \(n,m\) 分别代表格点数

随便选3个点：\(\binom{nm}{3}=\frac{nm(nm-1)(nm-2)}{6}\)

横着共线：\(n\binom{m}{3}=\frac{nm(m-1)(m-2)}{6}\)

竖着共线：\(m\binom{n}{3}=\frac{mn(n-1)(n-2)}{6}\)

斜着共线：考虑到以整点为端点的向量 \((x,y)\) 所经过整点数（不包括两端）为 \(\gcd (x,y)-1\)，所以我们计算点 A 的取法数量和点 B 的取法数量

\[2\sum_{x=1}^{n} \sum_{y=1}^{m} (n-x) (m-y) (\gcd(x,y)-1) \]

OEIS 上好像有 \(n=1\) 和 \(n=2\) 的。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;

inline int read() {
    register int x=0, f=1; register char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();}
    return x*f;
}

int gcd(int a,int b) {
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

signed main() {
	int n=read()+1, m=read()+1;
	int a=n*m*(n*m-1)/2*(n*m-2)/3, b=n*m*(m-1)/2*(m-2)/3, c=m*n*(n-1)/2*(n-2)/3, d=0;
	rep(x,1,n) rep(y,1,m) d+=2*(n-x)*(m-y)*(gcd(x,y)-1);
	printf("%lld\n",a-b-c-d);
	return 0;
}