神经网络中的感受野(Receptive Field)

　　在机器视觉领域的深度神经网络中有一个概念叫做感受野，用来表示网络内部的不同位置的神经元对原图像的感受范围的大小。神经元之所以无法对原始图像的所有信息进行感知，是因为在这些网络结构中普遍使用卷积层和pooling层，在层与层之间均为局部相连（通过sliding filter）。神经元感受野的值越大表示其能接触到的原始图像范围就越大，也意味着他可能蕴含更为全局、语义层次更高的特征；而值越小则表示其所包含的特征越趋向于局部和细节。因此感受野的值可以大致用来判断每一层的抽象层次。

　　那么这个感受野要如何计算呢？我们先看下面这个例子。

　　可以看到在Conv1中的每一个单元所能看到的原始图像范围是3*3，而由于Conv2的每个单元都是由 $2\times2$ 范围的Conv1构成，因此回溯到原始图像，其实是能够看到 $5\times5$ 的原始图像范围的。因此我们说Conv1的感受野是3，Conv2的感受野是5. 输入图像的每个单元的感受野被定义为1，这应该很好理解，因为每个像素只能看到自己。

　　通过上图这种图示的方式我们可以“目测”出每一层的感受野是多大，但对于层数过多、过于复杂的网络结构来说，用这种办法可能就不够聪明了。因此我们希望能够归纳出这其中的规律，并用公式来描述，这样就可以对任意复杂的网络结构计算其每一层的感受野了。那么我们下面看看这其中的规律为何。

　　由于图像是二维的，具有空间信息，因此感受野的实质其实也是一个二维区域。但业界通常将感受野定义为一个正方形区域，因此也就使用边长来描述其大小了。在接下来的讨论中，本文也只考虑宽度一个方向。我们先按照下图所示对输入图像的像素进行编号。

　　接下来我们使用一种并不常见的方式来展示CNN的层与层之间的关系（如下图，请将脑袋向左倒45°观看>_<），并且配上我们对原图像的编号。

　　图中黑色的数字所构成的层为原图像或者是卷积层，数字表示某单元能够看到的原始图像像素。我们用 $r_n$ 来表示第 $n$ 个卷积层中，每个单元的感受野（即数字序列的长度）；蓝色的部分表示卷积操作，用 $k_n$ 和 $s_n$ 分别表示第 $n$ 个卷积层的kernel_size和stride。

　　对Raw Image进行kernel_size=3, stride 2的卷积操作所得到的fmap1 (fmap为feature map的简称，为每一个conv层所产生的输出)的结果是显而易见的。序列[1 2 3]表示fmap1的第一个单元能看见原图像中的1，2，3这三个像素，而第二个单元则能看见3，4，5。这两个单元随后又被kernel_size=2，stride 1的Filter 2进行卷积，因而得到的fmap2的第一个单元能够看见原图像中的1,2,3,4,5共5个像素（即取[1 2 3]和[3 4 5]的并集）。

　　接下来我们尝试一下如何用公式来表述上述过程。可以看到，[1 2 3]和[3 4 5]之间因为Filter 1的stride 2而错开（偏移）了两位，而3是重叠的。对于卷积两个感受野为3的上层单元，下一层最大能获得的感受野为 $3\times2=6$ ，但因为有重叠，因此要减去(kernel_size - 1)个重叠部分，而重叠部分的计算方式则为感受野减去前面所说的偏移量，这里是2. 因此我们就得到 $r_2=r_1\times k_2-(r_1-s_1)\times(k_2-1)=3\times2-(3-2)\times(2-1)=5$