调和级数发散的一种另类证法

数学课上脑子抽了想的。

即求证：

$$\sum_{i=1}^{+\infty}\dfrac1i=+\infty$$

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证明：

若无特殊说明，下文中 $\mathbb N$ 指正整数集。

设数列 $\{l_i\},\{r_i\},\{m_i\}$，满足 $l_i=\dfrac{3^{i-1}+1}{2},r_i=\dfrac{3^i-1}{2},m_i=3^{i-1}\quad(i\ge 1)$。则显然有：

• $\forall i\ge 2$，$l_i=r_{i-1}+1$。

• $\forall i\ge 1$，$m_i=\dfrac{l_i+r_i}{2}$。

由此可推

$$\bigcup_{i=1}^{+\infty}{S}_i=\mathbb{N}$$

其中 $S_i=\{j\mid j\in \mathbb N, l_i\le j\le r_i\}$。

故原式左边为

$$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=l_i}^{r_i}\dfrac1j \\ =& \sum_{i=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{m_i}+\sum_{j=1}^{m_i-l_i}\dfrac1{m_i-j}+\dfrac1{m_i+j} \right)\\ =& \sum_{i=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{m_i}+\sum_{j=1}^{\frac{3^{i-1}-1}{2}}\dfrac{2m_i}{m_i^2-j^2} \right)\\ \ge& \sum_{i=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{m_i}+\sum_{j=1}^{\frac{3^{i-1}-1}{2}}\dfrac{2m_i}{m_i^2} \right)\\ =& \sum_{i=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{m_i}+\sum_{j=1}^{\frac{3^{i-1}-1}{2}}\dfrac{2}{m_i} \right)\\ =& \sum_{i=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{m_i}+\sum_{j=1}^{3^{i-1}-1}\dfrac{1}{m_i} \right)\\ =& \sum_{i=1}^{+\infty}\dfrac{3^{i-1}}{m_i}\\ =& \sum_{i=1}^{+\infty}1\\ =&+\infty\\ \end{aligned} $$

证毕。