瞎证一个以前忘了证的东西

以前学类欧的时候有这样一个问题：$\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor}{c}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor$ 是否恒成立。

设 $p=\dfrac{a}{b}$。则左边是 $\left\lfloor\dfrac {\left\lfloor p\right\rfloor}c\right\rfloor$，右边是 $\left\lfloor\dfrac pc\right\rfloor$。

考虑反证。若 $\left\lfloor\dfrac pc\right\rfloor\neq \left\lfloor\dfrac {\left\lfloor p\right\rfloor}c\right\rfloor$，由于 $\lfloor p\rfloor\le p$，则必然存在整数 $n$ 使得 $\dfrac {\left\lfloor p\right\rfloor}c<n\le \dfrac pc$，即 $\left\lfloor p\right\rfloor\lt cn\le p$。

$cn$ 显然为整数。而 $(\left\lfloor p\right\rfloor,p]$ 之间显然不存在整数，矛盾，证毕。