P2791 幼儿园篮球题

击你胎没。

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题目所求即为

$$ \dfrac { \Large{\sum\limits_{i=0}^{\tiny{\min(k, m, L)}}}\normalsize{\dbinom{m}{i}\dbinom{n-m}{k-i}i^L} } { \dbinom{n}{k} } $$

下面分母非常简洁可以不看，尝试化简分子。形如 $i^L$ 的东西不好处理，看起来像一个第二类斯特林数的经典结论：

$$i^n=\sum_{j=0}^i\dbinom{i}{j}\begin{Bmatrix}{n}\\{j}\end{Bmatrix}j!$$

把它套进去。得到

$$\sum\limits_{i=0}^{\min(k, m, L)}\dbinom{m}{i}\dbinom{n-m}{k-i}\sum_{j=0}^i\dbinom{i}{j}\begin{Bmatrix}{L}\\{j}\end{Bmatrix}j!$$

把 $j$ 提到 $i$ 前面，由 $j\le i$ 得到 $i\ge j$。

$$\sum\limits_{j=0}^{\min(k, m, L)}\begin{Bmatrix}{L}\\{j}\end{Bmatrix}j!\sum_{i=j}^{\min(k, m, L)}\dbinom{m}{i}\dbinom{n-m}{k-i}\dbinom{i}{j}$$

同时我们有

$$ \begin{aligned} &\dbinom{m}{i}\dbinom{i}{j} \\ =&\dfrac{m!\ i!}{i!\ j!\ (m-i)! \ (i-j)!} \\ =&\dfrac{m!}{j!\ (m-i)! \ (i-j)!} \\ =&\dfrac{m!\ (m-j)!}{j!\ (m-i)! \ (i-j)!\ (m-j)!} \\ =&\dbinom{m}{j}\dbinom{m-j}{i-j} \end{aligned} $$

原式化为

$$ \begin{aligned} &\sum\limits_{j=0}^{\min(k, m, L)}\begin{Bmatrix}{L}\\{j}\end{Bmatrix}\dbinom{m}{j}j!\sum_{i=j}^{\min(k, m, L)}\dbinom{n-m}{k-i}\dbinom{m-j}{i-j}\\ =&\sum\limits_{j=0}^{\min(k, m, L)}\begin{Bmatrix}{L}\\{j}\end{Bmatrix}\dbinom{m}{j}j!\sum_{i=0}^{\min(k, m, L)}\dbinom{n-m}{k-i-j}\dbinom{m-j}{i}\\ \end{aligned} $$

后面是明显的范德蒙德卷积形式，即 $\dbinom{n-j}{k-j}$。于是关于 $i$ 的和式就被拆掉了。

$$\sum\limits_{j=0}^{\min(k, m, L)}\begin{Bmatrix}{L}\\{j}\end{Bmatrix}\dbinom{m}{j}\dbinom{n-j}{k-j}j!$$

这里的复杂度瓶颈在于第二类斯特林数的一个求，参考 P5395 第二类斯特林数·行 可以使用 NTT 在 $\Theta(N\log N)$ 预处理求出 $\begin{Bmatrix}{L}\\{j}\end{Bmatrix}(0\le j\le L)$。

总复杂度 $\Theta(N\log N+SL)$。

Code。