P9745 「KDOI-06-S」树上异或

就直接嗯 dp。

设 $f_{u,i,d}$ 表示 $u$ 为根的子树内，满足 $u$ 所在连通块的第 $i$ 位为 $d$ ，除去 $u$ 所在连通块的其余连通块的乘积在所有情况下的和。

然后为了方便转移记 $g_u$ 为 $u$ 子树的答案。

转移。直接从选儿子的角度不好转移，考虑一个一个把儿子挂上来。

一开始没有儿子，$f_{u,i,f(a_u,i)}=1$，否则为 $0$，其中 $f(x,i)$ 表示 $x$ 二进制下第 $i$ 位的值。

然后一个一个加儿子。加一个儿子，可以选择断开到儿子的这条边，也可以选择连上这条边。状态转移为：

$$ \begin{aligned} f_{u,i,0}&=\mathop{f_{u,i,0}\cdot g_v}\limits_{\text{不连这条边}}+\mathop{f_{u,i,0}\cdot f_{v, i, 0}}\limits_{\text{连上这条边，底下原有的连通块第 $\tiny i$ 位为 $\tiny 0$}}+\mathop{f_{u,i,1}\cdot f_{v, i, 1}}\limits_{\text{连上这条边，底下原有的连通块第 $\tiny i$ 位为 $\tiny 1$}} \\ f_{u,i,1}&=\mathop{f_{u,i,1}\cdot g_v}\limits_{\text{不连这条边}}+\mathop{f_{u,i,1}\cdot f_{v, i, 0}}\limits_{\text{连上这条边，底下原有的连通块第 $\tiny i$ 位为 $\tiny 0$}}+\mathop{f_{u,i,0}\cdot f_{v, i, 1}}\limits_{\text{连上这条边，底下原有的连通块第 $\tiny i$ 位为 $\tiny 1$}} \end{aligned} $$

注意等号右边的 $f_{u,i,0},f_{u,i,1}$ 是上一个儿子及以前的 $f$ 值，不能直接转移，需要存在 $tmp$ 中转移。

随后更新 $g_u$ 值为 $\sum\limits_{d=0}^{\log V} 2^d\cdot f_{u,i,1}$ 即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int maxn = 5e5 + 10;
const int maxd = 61;
const int mod = 998244353;

int n;
int a[maxn];
int p[maxn];
vector<int> tr[maxn];
int f[maxn][maxd][2];
int g[maxn];
int tmp[maxd][2];

void dfs(int u) {
    for (int v : tr[u]) dfs(v);
    memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
    for (int i = 0; i < maxd; i++) f[u][i][a[u] >> i & 1] = tmp[i][a[u] >> i & 1] = 1;
    for (int v : tr[u]) {
        for (int i = 0; i < maxd; i++) {
            f[u][i][0] = (tmp[i][0] * ((g[v] + f[v][i][0]) % mod) % mod + tmp[i][1] * f[v][i][1] % mod) % mod;
            f[u][i][1] = (tmp[i][1] * ((g[v] + f[v][i][0]) % mod) % mod + tmp[i][0] * f[v][i][1] % mod) % mod;
        }
        for (int i = 0; i < maxd; i++) {
            tmp[i][0] = f[u][i][0];
            tmp[i][1] = f[u][i][1];
        }
    }
    for (int i = 0; i < maxd; i++) g[u] = (g[u] + (1ll << i) % mod * f[u][i][1] % mod) % mod;
}

signed main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 2; i <= n; i++) cin >> p[i], tr[p[i]].push_back(i);
    dfs(1);
    cout << g[1] << endl;
    return 0;
}