P9493 「SFCOI-3」进行一个列的排

非常好的题，拜谢 irris 老师。

首先就是既然 $0\sim n-1$ 的 $\operatorname{mex}$ 都要出现，那么对于所有 $x$，排列中 $\le x$ 的数必然会构成一个连续的区间，也就是说这个序列以 $0$ 为分界点，左边单调下降，右边单调递增，可以证明或打表发现。

然后剩下的事情就很好办！设 $f_{i,j}$ 表示 $0\sim i$ 的数，填在 $j$ 开头的区间 $[j,j+i]$ 内的方案数。那么显然可以按当前最大值 $i$ 在最左端/最右端转移。最左端的转移即 $f_{i-1,j+1}$，此时要满足的条件是 $j+1$ 后面的位置要足够多，能组成一个长度为 $L_i$ 的区间，即 $n-j\ge L_i$；最右端的转移同理，$f_{i-1,j}$，条件是 $i+j-1\ge L_i$。

初始状态 $f_{0,j}$ 为 $[\max(j-1,n-j)\ge L_0]$，因为至少要有一个区间不包含 $0$，即 $\operatorname{mex}=0$。

滚动数组实现。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int maxn = 5e3 + 10;
const int mod = 998244353;

int T, n;
int a[maxn];
int f[maxn];

signed main() {
    cin >> T;
    while (T--) {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        bool fl = 1;
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
            if (a[i] < i) fl = 0;
        }
        if (!fl) {
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        for (int j = 1; j <= n; j++) f[j] = max(j - 1, n - j) >= a[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                f[j] *= (i + j - 1 >= a[i]);
                if (n - j >= a[i]) (f[j] += f[j + 1]) %= mod;
            }
        }
        cout << f[1] << endl;
    }
    return 0;
}